§4. PHÉP ĐỐI XỨNG TÂM

I. TÓM TẮT LÝ THUYẾT:

1. Định nghĩa:

- Cho điểm I, phép biến hình biến điểm I thành chính nó, biến mỗi điểm M khác I thành M' sao cho I là trung điểm của đoạn thẳng MM' gọi là phép đối xứng tầm I.

- Điểm I được gọi là tâm đối xứng. Phép đối xứng tâm I thường được kí hiệu là Đ$_{I}$.

- Nếu hình là ảnh của hình qua Đ$_{I}$ thì ta còn nói đối xứng với qua tâm I, hay và đối xứng với nhau qua I.

- Ta có: M' = Đ$_{I}$(M) ⇔ $\vec{IM'}$ = - $\vec{IM}$.

2. Biểu thức tọa độ của phép đối xứng qua gốc tọa độ:

Trong hệ tọa độ Oxy cho M = (x; y), M' = Đo (M) = (x'; y'). Khi đó:

$\left\{\begin{matrix} x'=-x\\ y'=-y \end{matrix}\right.$

3. Tính chất:

Tính chất 1:

- Nếu Đ$_{I}$ (M) = M', Đ$_{I}$ (N) = N' thì: $\vec{M'N'}$ = -$\vec{MN}$ và từ đó suy ra M'N' = MN.

- Ta còn nói, phép đối xứng tâm bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm bất kì.

Tính chất 2:

- Phép đối xứng tâm biến đường thẳng thành đường thẳng song song hoặc trùng với nó, biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng bằng nó, biến tam giác thành tam giác bằng nó, biến đường tròn thành đường tròn cùng bán kính.

4. Tâm đối xứng của một hình:

Định nghĩa:

- Điểm I được gọi là tâm đối xứng của hình nếu phép đối xứng tâm I biến thành chính nó.

- Khi đó ta nói là hình có tâm đối xứng.

II. GIẢI ĐÁP CÂU HỎI SÁCH GIÁO KHOA:

1. Chứng minh rằng: M' = Đ$_{I}$ (M) ⇔ M = Đ$_{I}$ (M').

BÀI GIẢI

• M' = Đ$_{I}$ (M) ⇔ $\vec{IM'}$ = - $\vec{IM}$ ⇔ $\vec{IM}$ = -$\vec{IM'}$ ⇔ M = Đ$_{I}$ (M').

2. Cho hình bình hành ABCD. Gọi O là giao điểm của hai đường chéo. Đường thẳng kẻ qua O vuông góc với AB, cắt AB ở E và cắt CD ở F. Hãy chỉ ra các cặp điểm trên hình vẽ đối xứng với nhau qua tâm O

BÀI GIẢI

• Các cặp điểm cần tìm là: (A; C), (B; D) và (E; F).

3. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho điểm A(-4; 3). Tìm ảnh của A qua phép đối xứng tâm O.

BÀI GIẢI

• Biểu thức tọa độ của phép đối xứng tâm O là: $\left\{\begin{matrix} x'=-x\\ y'=-y \end{matrix}\right.$

• Tọa độ ảnh của A là A'(4; -3).

4. Chọn hệ tọa độ Oxy, rồi dùng biểu thức tọa độ của phép đối xứng tâm O chứng minh lại tính chất 1.

BÀI GIẢI

• Chọn hệ tọa độ Oxy sao cho tâm đối xứng trùng với gốc tọa độ, giả sử các điểm M' (x'; y') và N' ($x'_{1}$; $y'_{1}$) là ảnh của các điểm M(x; y) và N($x_{1}$; $y_{1}$) qua Đo.

• Khi đó: $\left\{\begin{matrix} x'=-x\\ y'=-y \end{matrix}\right.$ và $\left\{\begin{matrix} x'_{1}=-x_{1}\\ y'_{1}=-y_{1} \end{matrix}\right.$ do đó:

• M'N' = $\sqrt{(x'_{1}-x')^{2}+(y'_{1}-y')^{2}}$ = $\sqrt{(-x_{1}+x)^{2}+(-y_{1}+y)^{2}}$

= $\sqrt{(x_{1}-x)^{2}+(y_{1}-y)^{2}}$ = MN

5. Trong các chữ sau, chữ nào là hình có tâm đối xứng?

Η Α Ν Ο Ι

BÀI GIẢI

• Các chữ cái H, N, O, I là những hình có tâm đối xứng.

6. Tìm một số hình tứ giác có tâm đối xứng.

BÀI GIẢI

• Hình bình hành là một tứ giác có tâm đối xứng.

III.GIẢI BÀI TẬP SÁCH GIÁO KHOA:

1. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho điểm A(-1; 3) và đường thẳng d có phương trình x - 2y + 3 = 0. Tìm ảnh của A và d qua phép đối xứng tâm O.

BÀI GIẢI

• Gọi A' = Đo(A), suy ra: $\left\{\begin{matrix} x_{A'}=-x_{A}=1\\ y_{A'}=-y_{A}=-3 \end{matrix}\right.$ ⇒ A'(1; -3).

• Gọi M(x; y) tùy ý thuộc d, suy ra x - 2y + 3 = 0 (1)

M' (x'; y') = Đo (M) suy ra $\left\{\begin{matrix} x'=-x\\ y'=-y \end{matrix}\right.$ ⇔ $\left\{\begin{matrix} x=-x'\\ y=-y' \end{matrix}\right.$

• Thay vào (1), ta được: (- x') - 2( - y') + 3 = 0 ⇔ x' - 2y' – 3 = 0.

• Vậy tọa độ M' thỏa phương trình d': x - 2y - 3 = 0.

2. Trong các hình tam giác đều, hình bình hành, ngũ giác đều, lục giác đều, hình nào có tâm đối xứng?

BÀI GIẢI

• Hình bình hành có tâm đối xứng là giao điểm hai đường chéo.

• Lục giác đều có tâm đối xứng là tâm đường tròn ngoại tiếp của nó.

3. Tìm một hình có vô số tâm đối xứng.

BÀI GIẢI

• Đường thẳng là hình có vô số tâm đối xứng:

+ Giải thích: Lấy O $\in$ d.

- Gọi M là ảnh của M' qua phép đối xứng tâm Đo, ta có O là trung điểm của MM' ⇒ M, O, M' thẳng hàng.

- Vì có vô số cách chọn điểm O nên d có vô số tâm đối xứng.

• Hai đường thẳng song song có vô số tâm đối xứng:

+ Giải thích: Lấy M $\in$ d và M' $\in$ d'.

- Gọi O là trung điểm của MM', ta có M' là ảnh của M qua phép đối xứng tâm Đo ⇒ Hình “d // d' ” có tâm đối xứng là O.

- Vì có vô số cách chọn cặp điểm M, M' nên có vô số điểm O.

Vậy hình “d // d' ” có vô số tâm đối xứng và tập hợp các tâm đối xứng này là đường thẳng $\Delta$ song song và cách đều d và d'.