§8. PHÉP ĐỒNG DẠNG

I. TÓM TẮT LÝ THUYẾT:

1. Định nghĩa:

Phép biến hình F được gọi là phép đồng dạng tỉ số K (K > 0), nếu với hai điểm M, N bất kì và ảnh M', N' tương ứng của chúng ta luôn có:

M'N' = K.MN.

+ Nhận xét:

• Phép dời hình là phép đồng dạng tỉ số 1.

• Phép vị tự tỉ số K là phép đồng dạng tỉ số $\mid$K$\mid$

• Nếu thực hiện liên tiếp phép đồng dạng tỉ số K và phép đồng dạng tỉ số p ta được phép đồng dạng tỉ số pK.

2. Tính chất:

+ Phép đồng dạng tỉ số K:

• Biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng và bảo toàn thứ tự giữa các điểm ấy.

• Biến đường thẳng thành đường thẳng, biến tia thành tia, biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng.

• Biến tam giác thành tam giác đồng dạng với nó, biến góc thành góc bằng nó.

• Biến đường tròn bán kính R thành đường tròn bán kính KR.

+ Chú ý:

• Nếu một phép đồng dạng biến tam giác ABC thành tam giác A'B'C' thì nó cũng biến trọng tâm, trực tâm, tâm các đường tròn nội tiếp, ngoại tiếp của tam giác ABC tương ứng thành trọng tâm, trực tâm, tâm các đường tròn nội tiếp, ngoại tiếp của tam giác A'B'C' (h. 1.66).

• Phép đồng dạng biến đa giác n cạnh thành đa giác n cạnh, biến đỉnh thành đỉnh, biến cạnh thành cạnh

3. Hình đồng dạng:

Định nghĩa:

Hai hình được gọi là đồng dạng với nhau nếu có một phép đồng dạng biến hình này thành hình kia.

II. GIẢI CÂU HỎI SÁCH GIÁO KHOA:

1. Chứng minh nhận xét 2:

BÀI GIẢI

Với hai điểm M, N bất kì và ảnh M', N' tương ứng của nó qua phép vị tự tỉ số K, khi đó $\vec{M'N'}$ = K.$\vec{MN}$ ⇒ M'N' = |K|. MN.

2. Chứng minh nhận xét 3.

BÀI GIẢI

• Gọi F là phép đồng dạng tỉ số $K_{1}$ biến M, N tương ứng thành M', N'; G là phép đồng dạng tỉ số $K_{2}$ biến M', N' tương ứng thành M", N". Khi đó phép đồng dạng H có được bằng cách thực hiện liên tiếp hai phép đồng dạng trên biến M, N tương ứng thành M", N".

• Ta có M''N'' = $K_{2}$M'N' = $K_{2}$$K_{1}$MN. Vậy H là phép đồng dạng tỉ số $K_{2}$$K_{1}$.

3. Chứng minh tính chất a.

BÀI GIẢI

B nằm giữa A và C ⇔ AB + BC = AC ⇔ $\large \frac{1}{K}$A'B' + $\large \frac{1}{K}$B'C' = $\large \frac{1}{K}$A'C'

⇔ A'B' + B'C' = A'C' ⇔ B' nằm giữa A' và C'.

4. Gọi A', B' lần lượt là ảnh của A, B qua phép đồng dạng F, tỉ số K. Chứng minh rằng nếu M là trung điểm của AB thì M' = F(M) là trung điểm của A'B'.

BÀI GIẢI

M là trung điểm AB

⇔ M nằm giữa A và B nên AM = MB.

⇔ M' nằm giữa A' và B' nên $\large \frac{1}{K}$A'M' = $\large \frac{1}{K}$M'B'

⇔ M' nằm giữa A' và B' nên A'M' = M'B'

⇔ M' là trung điểm A'B'.

5. Hai đường tròn, hai hình vuông, hai hình chữ nhật bất kì có đồng dạng với nhau không?

BÀI GIẢI

• Hai đường tròn bất kì và hai hình vuông bất kì thì đồng dạng với nhau.

• Hai hình chữ nhật bất kì nói chung không đồng dạng.

III. GIẢI BÀI TẬP SÁCH GIÁO KHOA:

1. Cho tam giác ABC. Xác định ảnh của nó qua phép đồng dạng có được bằng cách thực hiện liên tiếp phép vị tự tâm B tỉ số $\large \frac{1}{2}$ và phép đối xứng qua đường trung trực của BC.

BÀI GIẢI

• Gọi A', C' theo thứ tự là trung điểm của các cạnh BC, BA. Trong phép vị tự tâm B, tỉ số K = $\large \frac{1}{2}$ thì:

A → C', C → A', AC → C'A' và $\Delta$ABC → $\Delta$C'BA' (1)

• Trong phép đối xứng qua đường trung trực của cạnh BC thì:

A' → A', B → C, C' → $C_{1}$ và $\Delta$C'BA' → $\Delta$$C_{1}$A'C. (2)

• Từ (1) và (2) suy ra ảnh của tam giác ABC trong phép đồng dạng trên là $\Delta$$C_{1}$A'C.

2. Cho hình chữ nhật ABCD, AC và BD cắt nhau tại I. Gọi H, K, L và J lần lượt là trung điểm của AD, BC, KC và IC. Chứng minh rằng hai hình thang JLKI và IHDC đồng dạng với nhau.

BÀI GIẢI

• Trước hết thực hiện phép đối xứng tâm I, ta có:

C → A, D → B, H → K.

Hình thang IHDC → Hình thang IKBA.

• Tiếp theo thực hiện phép vị tự tâm C, tỉ số K = $\large \frac{1}{2}$, ta có:

A → I, I → J, B → K, K → L.

Hình thang IKBA → hình thang JLKI.

• Vậy nếu thực hiện liên tiếp phép đối xứng Đ$_{I}$ và phép vị tự $V_{(C,\frac{1}{2})}$ thì hình thang IHDC biến thành hình thang JLKI.

• Vậy hai hình thang IHDC và JLKI đồng dạng với nhau.

3. Trong mặt phẳng Oxy cho điểm I(1; 1) và đường tròn tâm I, bán kính 2. Viết phương trình đường tròn là ảnh của đường tròn trên trong phép đồng dạng có được bằng cách thực hiện liên tiếp phép quay tâm O, góc 45° và phép vị tự tâm O, tỉ số $\sqrt{2}$.

BÀI GIẢI

• Điểm I(1; 1) nằm trên tia phân giác của góc phần tư thứ nhất nên góc giữa OI và trục Oy bằng 45°. Như vậy, khi thực hiện phép quay tâm O, góc quay 45° thì OI → Oy và điểm I biến thành điểm J.

• Vì OJ = OI ⇒ OJ = $\sqrt{2}$ ⇒ J(0; $\sqrt{2}$).

• Thực hiện phép vị tự tâm O, tỉ số $\sqrt{2}$, biến J → $J_{1}$.

$\vec{OJ_{1}}$ = $\sqrt{2}$.$\vec{OJ}$ ⇒ $OJ_{1}$ = $\sqrt{2}$.$\sqrt{2}$ = 2 ⇒ $J_{1}$(0; 2).

• Phép vị tự $V_{(O,\sqrt{2})}$ biến đường tròn bán kính R = 2 thành đường tròn có bán kính R' = $\sqrt{2}$. R = 2$\sqrt{2}$

• Đường tròn (I') ảnh của đường tròn (I) qua việc thực hiện liên tiếp phép quay $Q_{(O,45^{0})}$ và phép vị tự $V_{(O,\sqrt{2})}$ có tâm $J_{1}$ (0; 2) và bán kính R' = 2$\sqrt{2}$ nên có phương trình:

$x^{2}$ + $(y-2)^{2}$ = $(2\sqrt{2})^{2}$ ⇔ $x^{2}$ + $(y-2)^{2}$ = 8.

4. Cho tam giác ABC vuông tại A, AH là đường cao kẻ từ A. Tìm một phép đồng dạng biến tam giác HBA thành tam giác ABC.

BÀI GIẢI

• Gọi d là đường phân giác góc B của tam giác ABC.

• Phép đối xứng qua d:

+ biến H thành H' $\in$ AB.

+ biến A thành A' $\in$ BC và biến B thành B.

• Do đó biến tam giác vuông HBA thành tam giác vuông H'BA' bằng với nó.

• Ta có: H'A' // AC, thực hiện tiếp theo phép vị tự tâm B, tỉ số $\large \frac{AC}{H'A'}$ = $\large \frac{AC}{AH}$ thì tam giác vuông HBA biến thành tam giác vuông ABC.