CÂU HỎI ÔN TẬP CHƯƠNG II

1. Hãy nêu những cách xác định mặt phẳng, kí hiệu mặt phẳng.

BÀI GIẢI

• Có bốn cách xác định mặt phẳng:

• Cách 1: Ba điểm không thẳng hàng.

Kí hiệu: mp(ABC).

• Cách 2: Một đường thẳng và một điểm không ở trên đường thẳng đó.

Kí hiệu: mp(A, d).

• Cách 3: Hai đường thẳng cắt nhau.

Kí hiệu: mp(a, b).

• Cách 4: Hai đường thẳng song song.

Kí hiệu: mp(a, b).

2. Thế nào là đường thẳng song song với đường thẳng? Đường thẳng song song với mặt phẳng? Mặt phẳng song song với mặt phẳng?

BÀI GIẢI

• Hai đường thẳng song song với nhau khi hai đường thẳng đó ở trong cùng một mặt phẳng và không có điểm chung.

• Đường thẳng song song với mặt phẳng khi đường thẳng và mặt phẳng không có điểm chung.

• Hai mặt phẳng song song nhau khi chúng không có điểm chung.

3. Nêu phương pháp chứng minh ba điểm thẳng hàng.

BÀI GIẢI

• Muốn chứng minh ba điểm thẳng hàng ta chứng minh ba điểm đó là ba điểm chung của hai mặt phẳng phân biệt.

4. Nêu phương pháp chứng minh ba đường thẳng đồng quy.

BÀI GIẢI

• Muốn chứng minh ba đường thẳng $d_{1}$, $d_{2}$, $d_{3}$ đồng quy ta có thể sử dụng một trong các phương pháp sau (tùy bài toán).

• Cách 1: Chứng minh $d_{1}$, $d_{2}$, $d_{3}$ là ba giao tuyến của ba mặt phẳng cắt nhau từng đôi một và ba giao tuyến này không song song nhau.

• Cách 2: Tìm giao điểm A của hai trong ba đường thẳng $d_{1}$, $d_{2}$, $d_{3}$ và chứng minh đường thẳng còn lại đi qua A.

• Cách 3: Chứng minh ba đường thẳng $d_{1}$, $d_{2}$, $d_{3}$ thỏa mãn hai điều kiện:

+ Không cùng ở trong một mặt phẳng.

+ Cắt nhau từng đôi một.

5. Nêu phương pháp chứng minh:

- Đường thẳng song song với đường thẳng.

- Đường thẳng song song với mặt phẳng.

- Mặt phẳng song song với mặt phẳng.

BÀI GIẢI

a) Muốn chứng minh hai đường thẳng a và b song song nhau, ta có thể sử dụng một trong các cách sau:

• Cách 1: Chứng minh đường thẳng a và b cùng ở trong một mặt phẳng và không có điểm chung (phương pháp thường dùng là phương pháp chứng minh bằng phản chứng).

• Cách 2: Chứng minh a và b cùng song song với đường thẳng c.

• Cách 3: Chứng minh đường thẳng a // mp($\alpha$) đồng thời mp($\beta$) chứa a và cắt mp($\alpha$) theo giao tuyến b.

$\left\{\begin{matrix} a//(\alpha )\\ (\beta )\supset a\\ (\beta )\cap (\alpha )=b \end{matrix}\right.$ ⇒ a // b

• Cách 4: Chứng minh a // mp($\alpha$), mp($\beta$) và mp($\alpha$) cắt nhau theo giao tuyến b.

$\left\{\begin{matrix} a//(\alpha )\\ a//(\beta )\\ (\alpha )\cap (\beta )=b \end{matrix}\right.$ ⇒ a // b

• Cách 5: Chứng minh a và b là hai giao tuyến của mp ($\gamma$) với hai mp song song ($\alpha$) và ($\beta$).

$\left\{\begin{matrix} (\gamma )\cap (\alpha )=a\\ (\gamma )\cap (\beta )=b\\ (\alpha )//(\beta ) \end{matrix}\right.$ ⇒ a // b

b) Cách chứng minh đường thẳng a song song với mp($\alpha$).

• Cách 1: Ta chứng minh:

a // a' và a' $\subset$ ($\alpha$).

• Cách 2: Ta chứng minh: a $\subset$ mp($\beta$) mà:

mp($\beta$) // mp($\alpha$)

$\left\{\begin{matrix} a\subset (\beta )\\ (\beta )//(\alpha ) \end{matrix}\right.$ ⇒ a // ($\alpha$)

• Cách 3: Ta chứng minh a và ($\alpha$) không có điểm chung (phương pháp thường dùng là phương pháp chứng minh phản chứng).

c) Cách chứng minh hai mặt phẳng ($\alpha$) và ($\beta$) song song nhau.

• Cách 1: Ta chứng minh ($\alpha$) và ($\beta$) không có điểm chung (phương pháp thường dùng là phương pháp phản chứng).

• Cách 2: Ta chứng minh mp($\alpha$) có chứa hai đường thẳng cắt nhau và song song với mp($\beta$).

6. Phát biểu định lí Ta-lét trong không gian:

BÀI GIẢI

* Định lí thuận (Định lí Ta-lét):

Ba mặt phẳng đôi một song song chắn trên hai cát tuyến bất kì các đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ, nghĩa là:

• Ba mặt phẳng song song (P), (Q), (R) cắt hai đường thẳng a và a' lần lượt tại A, B, C và A', B', C'; ta có:

$\large \frac{AB}{A'B'}$ = $\large \frac{BC}{B'C'}$ = $\large \frac{CA}{C'A'}$

* Định lí đảo (Định lí Ta-lét đảo):

• Giả sử trên hai đường thẳng a và a' lần lượt lấy hai bộ ba điểm (A, B, C) và (A', B', C') sao cho:

$\large \frac{AB}{A'B'}$ = $\large \frac{BC}{B'C'}$ = $\large \frac{CA}{C'A'}$

Khi đó ba đường thẳng AA', BB', CC' cùng song song với một mặt phẳng, nghĩa là ba đường thẳng đó nằm trên ba mặt phẳng song song với nhau.

7. Nêu phương pháp dựng thiết diện được tạo bởi một mặt phẳng với một hình chóp, hình hộp, hình lăng trụ.

BÀI GIẢI

Cách dựng thiết diện của mp ($\alpha$) với hình chóp (hình hộp, hình lăng trụ):

• Xác định các đoạn thẳng giao tuyến của mp($\alpha$) với các mặt của hình chóp (hình hộp, hình lăng trụ).

• Nối các giao tuyến này khép kín thành đa giác gọi là thiết diện.