§5. PHÉP CHIẾU SONG SONG. HÌNH BIỂU DIỄN CỦA MỘT HÌNH KHÔNG GIAN

I. TÓM TẮT LÝ THUYẾT:

1. Phép chiếu song song:

• Cho mặt phẳng ($\alpha$) và đường thẳng $\Delta$ cắt ($\alpha$). Với mỗi điểm M trong không gian, đường thẳng đi qua M và song song hoặc trùng với $\Delta$ sẽ cắt ($\alpha$) tại điểm M' xác định. Điểm M' được gọi là hình chiếu song song của điểm M trên mặt phẳng ($\alpha$) theo phương của đường thẳng $\Delta$ hoặc nói gọn là theo phương $\Delta$ (h.2.61).

• Mặt phẳng ($\alpha$) gọi là mặt phẳng chiếu. Phương $\Delta$ gọi là phương chiếu.

• Phép đặt tương ứng mỗi điểm M trong không gian với hình chiếu M' của nó trên mặt phẳng ($\alpha$) được gọi là phép chiếu song song lên ($\alpha$) theo phương $\Delta$.

• Nếu H là một hình nào đó thì tập hợp H' các hình chiếu M' của tất cả những điểm M thuộc H được gọi là hình chiếu của H qua phép chiếu song song nói trên.

• Chú ý: Nếu một đường thẳng có phương trùng với phương chiếu thì hình chiếu của đường thẳng đó là một điểm. Sau đây ta chỉ xét các hình chiếu của những đường thẳng có phương không trùng với phương chiếu.

2. Các tính chất của phép chiếu song song:

* Định lí 1:

• Phép chiếu song song biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng và không làm thay đổi thứ tự ba điểm đó.

* Định lí 2:

• Phép chiếu song song biến đường thẳng thành đường thẳng, biến tia thành tia, biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng.

* Định lí 3:

• Phép chiếu song song biến hai đường thẳng song song thành hai đường thẳng song song hoặc trùng nhau.

* Định lí 4:

Phép chiếu song song không làm thay đổi tỉ số độ dài của hai đoạn thẳng nằm trên hai đường thẳng song song hoặc cùng nằm trên một đường thẳng.

3. Hình biểu diễn của một hình không gian trên mặt phẳng:

Hình biểu diễn của một hình H trong không gian là hình chiếu song song của hình H trên một mặt phẳng theo một phương chiếu nào đó hoặc hình đồng dạng với hình chiếu đó.

II. TRẢ LỜI CÂU HỎI SÁCH GIÁO KHOA:

1. Hình chiếu song song của một hình vuông có thể là hình bình hành được không?

BÀI GIẢI

• Hình chiếu song song của một hình vuông là một hình bình hành.

2. Hình 2.67 (SGK tr.73) có thể là hình chiếu song song của hình lục giác đều được không? Tại sao?

BÀI GIẢI

Hình 2.67 (SGK – tr.73) không thể là hình chiếu song song của hình lục giác đều.

Vì hình lục giác đều có AB song song và bằng $\large \frac{1}{2}$FC nên hình biểu diễn của AB và FC cũng phải thỏa:

AB // FC và AB = $\large \frac{1}{2}$FC.

3. Trong các hình 2.68, hình nào biểu diễn cho hình lập phương?

BÀI GIẢI

• Hình 2.68 a, c là hình biểu diễn của hình lập phương.

4. Các hình 2.69a, 2.69b, 2.69c (SGK – tr.74) là hình biểu diễn của các tam giác nào?

BÀI GIẢI

5. Các hình 2.70a, 2.70b, 2.70c, 2.70d (SGK - tr.74) là hình biểu diễn của các hình bình hành nào (hình bình hành, hình thoi, hình vuông, hình chữ nhật)?

BÀI GIẢI

• Hình a: hình bình hành.

• Hình b: hình vuông.

• Hình c: hình thoi.

• Hình d: hình chữ nhật.

6. Cho hai mặt phẳng ($\alpha$) và ($\beta$) song song với nhau. Đường thẳng a cắt ($\alpha$) và ($\beta$) lần lượt tại A và C. Đường thẳng b song song với a cắt ($\alpha$) và ($\beta$) lần lượt tại B và D. Hình 2.72 (SGK - tr.75) minh họa nội dung trên đúng hay sai?

BÀI GIẢI

• Hình sai.

• Hình đúng là: AB // CD, AB = CD.