§6. KHÁI NIỆM VỀ PHÉP DỜI HÌNH VÀ HAI HÌNH BẰNG NHAU

I. TÓM TẮT LÝ THUYẾT:

1. Khái niệm về phép dời hình:

Định nghĩa:

- Phép dời hình là phép biến hình bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm bất kì.

- Nếu phép dời hình F biến các điểm M, N lần lượt thành các điểm M', N' thì MN = M'N'.

Nhận xét:

• Các phép đồng nhất, tịnh tiến, đối xứng trục, đối xứng tâm và phép quay đều là những phép dời hình.

• Phép biến hình có được bằng cách thực hiện liên tiếp hai phép dời hình cũng là một phép dời hình.

2. Tính chất:

• Phép dời hình:

- Biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng và bảo toàn thứ tự giữa các điểm.

- Biến đường thẳng thành đường thẳng, biến tia thành tia, biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng bằng nó.

- Biến tam giác thành tam giác bằng nó, biến góc thành góc bằng nó.

- Biến đường tròn thành đường tròn có cùng bán kính.

• Chú ý:

- Nếu một phép dời hình biến tam giác ABC thành tam giác A'B'C' thì nó cũng biến trọng tâm, trực tâm, tâm các đường tròn nội tiếp, ngoại tiếp của tam giác ABC tương ứng thành trọng tâm, trực tâm, tâm các đường tròn nội tiếp, ngoại tiếp của tam giác A'B'C'.

- Phép dời hình biến đa giác n cạnh thành đa giác n cạnh, biến đỉnh thành đỉnh, biến cạnh thành cạnh.

3. Khái niệm hai hình bằng nhau:

Định nghĩa:

Hai hình được gọi là bằng nhau nếu có một phép dời hình biến hình này thành hình kia.

II. GIẢI ĐÁP CÂU HỎI SÁCH GIÁO KHOA:

1. Cho hình vuông ABCD, gọi O là giao điểm của AC và BD. Tìm ảnh của các điểm A, B, O qua phép dời hình có được bằng cách thực hiện liên tiếp phép quay tâm O góc 90° và phép đối xứng qua đường thẳng BD (h.1.41).

BÀI GIẢI

• Phép quay tâm O góc 90° biến A, B, O lần lượt thành D, A, O. Phép đối xứng qua đường thẳng BD biến D, A, O lần lượt thành D, C, O.

• Vậy phép dời hình có được bằng cách thực hiện liên tiếp phép quay tâm O góc 90° và phép đối xứng qua đường thẳng BD biến A, B, O lần lượt thành D, C, O.

2. Hãy chứng minh tính chất 1.

Gợi ý: Sử dụng tính chất điểm B nằm giữa hai điểm A và C khi và chỉ khi AB + BC = AC (h. 1.43).

BÀI GIẢI

• B nằm giữa A và C ⇔ AB + BC = AC ⇔ A'B' + B'C' = A'C' ⇔ B' nằm giữa A' và C'.

3. Gọi A', B' lần lượt là ảnh của A, B qua phép dời hình F. Chứng minh rằng nếu M là trung điểm của AB thì M' = F(M) là trung điểm của A'B'.

BÀI GIẢI

• M là trung điểm AB

⇔ M nằm giữa A và B nên AM = MB

⇔ M' nằm giữa A' và B' nên A'M' = M'B'

⇔ M' là trung điểm A'B'.

• Từ đó suy ra nếu AM là trung tuyến của tam giác ABC thì A'M' là trung tuyến của tam giác A'B'C'. Do đó phép dời hình biến trọng tâm của tam giác ABC thành trọng tâm của tam giác giác A'B'C'.

4. Cho hình chữ nhật ABCD. Gọi E, F, H, I theo thứ tự là trung điểm của các cạnh AB, CD, BC, EF. Hãy tìm một phép dời hình biến tam giác AEI thành tam giác FCH.

BÀI GIẢI

• Ảnh của tam giác AEI qua phép đối xứng trục EF là tam giác BEI.

• Ảnh của tam giác BEI qua phép đối xứng tâm I là tam giác DFI.

• Ảnh của tam giác DFI qua phép tịnh tiến theo vectơ $\vec{DF}$ là tam giác FCH.

5. Cho hình chữ nhật ABCD. Gọi I là giao điểm của AC và BD. Gọi E, F theo thứ tự là trung điểm của AD và BC. Chứng minh rằng các hình thang AEIB và CFID bằng nhau.

BÀI GIẢI

Phép đối xứng tâm I biến hình thang AEIB thành hình thang CFID nên hai hình thang ấy bằng nhau.

III. GIẢI BÀI TẬP SÁCH GIÁO KHOA:

1. Trong mặt phẳng Oxy cho các điểm A(-3; 2), B(-4; 5) và C(-1; 3).

a) Chứng minh rằng các điểm A'(2; 3), B'(5; 4) và C'(3; 1) theo thứ tự là ảnh của A, B và C qua phép quay tâm O góc -90°.

b) Gọi tam giác $A_{1}B_{1}C_{1}$ là ảnh của tam giác ABC qua phép dời hình có được bằng cách thực hiện liên tiếp phép quay tâm O góc -90° và phép đối xứng qua trục Ox. Tìm tọa độ các đỉnh của tam giác $A_{1}B_{1}C_{1}$.

BÀI GIẢI

a) Chứng minh A(-3; 2) $\overset{Q_{(O,-90^{0})}}{\rightarrow}$ A'(2; 3).

• Ta có: $\vec{OA}$ = (-3; 2), $\vec{OA'}$ = (2; 3) và $\vec{OA}$.$\vec{OA'}$ = 0, từ đó suy ra góc lượng giác (OA, OA') = -90°

Mặt khác, OA = OA' = $\sqrt{13}$.

• Do đó phép quay tâm O góc -90° biến A thành A'.

• Tương tự: phép quay $Q_{(O,-90^{0})}$ biến B(-4; 5) thành B'(5; 4); C(-1; 3) thành C'(3; 1)

b) Tọa độ của $A_{1}$, $B_{1}$, $C_{1}$:

+ Ta có:

2. Cho hình chữ nhật ABCD. Gọi E, F, H, K, O, I, J lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC, CD, DA, KF, HC, KO. Chứng minh hai hình thang AEJK và FOIC bằng nhau.

BÀI GIẢI

• Thực hiện phép đối xứng qua trục EH thì hình thang AEJK biến thành hình thang BEJ'F với J' là trung điểm của OF.

• Thực hiện tiếp theo tịnh tiến theo $\vec{EO}$ thì hình thang BEJ'F biến thành hình thang FOIC.

• Vậy hình thang FOIC là ảnh của hình thang AEJK qua hai phép dời hình liên tiếp nên chúng bằng nhau.

3. Chứng minh rằng: Nếu một phép dời hình biến tam giác ABC thành tam giác A'B'C' thì nó cũng biến trọng tâm của tam giác ABC tương ứng thành trọng tâm của tam giác A'B'C'.

BÀI GIẢI

• Gọi M là trung điểm BC, G là trọng tâm $\Delta$ABC.

• Gọi f là phép dời hình biến $\Delta$ABC thành $\Delta$A'B'C' và f(M) = M', f(G) = G'

theo tính chất phép dời hình ta có: M' nằm giữa B'C' và:

M'B' = MB = MC = M'C' nên M' là trung điểm của B'C'.

• Ta lại có: G' nằm giữa A'M'; M'G' = MG = $\large \frac{1}{3}$AM = $\large \frac{1}{3}$A'M' nên G' cũng là trọng tâm $\Delta$A'B'C'.