§7. PHÉP VỊ TỰ

I. TÓM TẮT LÝ THUYẾT:

1. Định nghĩa:

- Cho điểm O và k $\neq$ 0. Phép biến hình biến mỗi điểm M thành điểm M' sao cho $\vec{OM'}$ = k.$\vec{OM}$ được gọi là phép vị tự tâm O, tỉ số k.

- Phép vị tự tâm O, tỉ số k thường được kí hiệu là $V_{(O,k)}$

- Nhận xét:

• Phép vị tự biến tâm vị tự thành chính nó.

• Khi k = 1, phép vị tự là phép đồng nhất.

• Khi k = -1, phép vị tự là phép đối xứng qua tâm vị tự.

• M' = $V_{(O,k)}$ (M) ⇔ M = $V_{(O,\frac{1}{k})}$ (M').

2. Tính chất:

Tính chất 1:

Nếu phép vị tự tỉ số k biến hai điểm M, N tùy ý theo thứ tự thành M', N’ thì $\vec{M'N'}$ = k.$\vec{MN}$ và M'N' = |k|. MN.

Tính chất 2:

Phép vị tự tỉ số k:

• Biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng và bảo toàn thứ tự giữa các điểm ấy.

• Biến đường thẳng thành đường thẳng song song hoặc trùng với nó, biến tia thành tia, biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng.

• Biến tam giác thành tam giác đồng dạng với nó, biến góc thành góc bằng nó.

• Biến đường tròn bán kính R thành đường tròn bán kính |K|.R.

3. Tâm vị tự của hai đường tròn:

Ta đã biết phép vị tự biến đường tròn thành đường tròn. Ngược lại, ta có định lí sau:

Định lí:

• Với hai đường tròn bất kì luôn có một phép vị tự biến đường tròn này thành đường tròn kia.

• Tâm của phép vị tự đó được gọi là tâm vị tự của hai đường tròn.

II. GIẢI ĐÁP CÂU HỎI SÁCH GIÁO KHOA:

1. Cho tam giác ABC. Gọi E và F tương ứng là trung điểm của AB và AC. Tìm một phép vị tự biến B và C tương ứng thành E và F.

BÀI GIẢI

- Vì các đường thẳng nối các điểm tương ứng là BE và FC cắt nhau ở A nên tâm của phép vị tự cần tìm phải là A. So sánh $\vec{AB}$, $\vec{AE}$ ta thấy $\vec{AE}$ = $\large \frac{1}{2}$$\vec{AB}$.

- Tương tự ta có $\vec{AF}$ = $\large \frac{1}{2}$$\vec{AC}$. Từ đó suy ra phép vị tự cần tìm là phép vị tự tâm A tỉ số $\large \frac{1}{2}$

2. Chứng minh nhận xét 4.

BÀI GIẢI

M' = $V_{(O,k)}$ (M) ⇔ $\vec{OM'}$ = k.$\vec{OM}$ ⇔ $\vec{OM}$ = $\large \frac{1}{k}$$\vec{OM'}$

⇔ M = $V_{(O,\frac{1}{k})}$ (M').

3. Để ý rằng: Điểm B nằm giữa hai điểm A và C khi và chỉ khi $\vec{AB}$ = t.$\vec{AC}$, 0< t < 1. Sử dụng ví dụ trên chứng minh rằng nếu điểm B nằm giữa hai điểm A và C thì điểm B' nằm giữa hai điểm A' và C'.

BÀI GIẢI

B ở giữa A, C ⇔ $\vec{AB}$ = t.$\vec{AC}$, 0 < t < 1 ⇔ A'B' = t.$\vec{A'C'}$ với 0 < t < 1 ⇔ B' ở giữa A', C'.

4. Cho tam giác ABC có A', B', C' theo thứ tự là trung điểm của các cạnh BC, CA, AB. Tìm một phép vị tự biến tam giác ABC thành tam giác A'B'C'.

BÀI GIẢI

• Để xác định tâm vị tự ta kẻ đường nối các điểm tương ứng AA', BB', CC', ta thấy chúng gặp nhau tại trọng tâm G của tam giác ABC.

• Ta thấy $\vec{GA'}$ = - $\large \frac{1}{2}$$\vec{GA}$, $\vec{GB'}$ = - $\large \frac{1}{2}$$\vec{GB}$, $\vec{GC'}$ = - $\large \frac{1}{2}$$\vec{GC}$.

• Suy ra tỉ số vị tự là: - $\large \frac{1}{2}$

III.GIẢI BÀI TẬP SÁCH GIÁO KHOA:

1. Cho tam giác ABC có ba góc nhọn và H là trực tâm. Tìm ảnh của tam giác ABC qua phép vị tự tâm H, tỉ số $\large \frac{1}{2}$

BÀI GIẢI

• $V_{(H,\frac{1}{2})}$ (A) = A' ⇔ $\vec{HA'}$ = $\large \frac{1}{2}$$\vec{HA}$

do đó A' là trung điểm của HA.

• $V_{(H,\frac{1}{2})}$ (B) = B' ⇔ $\vec{HB'}$ = $\large \frac{1}{2}$$\vec{HB}$ do đó B' là trung điểm của HB.

• $V_{(H,\frac{1}{2})}$ (C) = C' ⇔ $\vec{HC'}$ = $\large \frac{1}{2}$$\vec{HC}$ suy ra C' là trung điểm của HC.

2. Tìm tâm vị tự của hai đường tròn trong các trường hợp sau:

BÀI GIẢI

a) Tâm vị tự ngoài:

- Vẽ hai bán kính $O_{1}M_{1}$ của đường tròn ($O_{1}$) và $O_{2}M_{2}$ của đường tròn ($O_{2}$) sao cho $\vec{O_{1}M_{1}}$ và $\vec{O_{2}M_{2}}$ cùng hướng.

- Hai đường thẳng $O_{1}O_{2}$ và $M_{1}M_{2}$ cắt nhau tại I.

- Vậy I là tâm vị tự ngoài biến ($O_{1}$) thành ($O_{2}$), tỉ số vị tự là K = $\large \frac{R_{2}}{R_{1}}$

• Tâm vị tự trong:

- Vẽ hai bán kính $O_{1}M_{1}$ của đường tròn ($O_{1}$) và $O_{2}M_{2}$ của đường tròn ($O_{2}$) sao cho $\vec{O_{1}M_{1}}$ và $\vec{O_{2}M_{2}}$ ngược hướng.

- Hai đường thẳng $O_{1}O_{2}$ và $M_{1}M_{2}$ cắt nhau tại J.

- Vậy J là tâm vị tự trong biến ($O_{1}$) thành ($O_{2}$), tỉ số vị tự là K = - $\large \frac{R_{2}}{R_{1}}$

b) Tâm vị tự ngoài:

- Vẽ hai bán kính $O_{1}M_{1}$ của đường tròn ($O_{1}$) và $O_{2}M_{2}$ của đường tròn ($O_{2}$) sao cho $\vec{O_{1}M_{1}}$ và $\vec{O_{2}M_{2}}$ cùng hướng.

- Hai đường thẳng $O_{1}O_{2}$ và $M_{1}M_{2}$ cắt nhau tại I.

- Vậy I là tâm vị tự ngoài biến ($O_{1}$) thành ($O_{2}$), tỉ số vị tự là K = $\large \frac{R_{2}}{R_{1}}$

- Vẽ hai bán kính $O_{1}M_{1}$ của đường tròn ($O_{1}$) và $O_{2}M_{3}$ của đường tròn ($O_{2}$) sao cho $\vec{O_{1}M_{1}}$ và $\vec{O_{2}M_{3}}$ ngược hướng.

- Hai đường thẳng $O_{1}O_{2}$ và $M_{1}M_{3}$ cắt nhau tại A (A là tiếp điểm của ($O_{1}$) và ($O_{2}$)).

- Vậy A là tâm vị tự trong biến ($O_{1}$) thành ($O_{2}$), tỉ số vị tự là K = - $\large \frac{R_{2}}{R_{1}}$.

c) Tâm vị tự ngoài:

- Vẽ hai bán kính $O_{1}M_{1}$ của đường tròn ($O_{1}$) và $O_{2}M_{2}$ của đường tròn ($O_{2}$) sao cho $\vec{O_{1}M_{1}}$ và $\vec{O_{2}M_{2}}$ cùng hướng.

- Hai đường thẳng $O_{1}O_{2}$ và $M_{1}M_{2}$ cắt nhau tại I.

- Vậy I là tâm vị tự ngoài biến ($O_{1}$) thành ($O_{2}$), tỉ số vị tự là K = $\large \frac{R_{2}}{R_{1}}$

• Tâm vị tự trong:

- Vẽ hai bán kính $O_{1}M_{1}$ của đường tròn ($O_{1}$) và $O_{2}M_{2}$ của đường tròn ($O_{2}$) sao cho $\vec{O_{1}M_{1}}$ và $\vec{O_{2}M_{2}}$ ngược hướng.

- Hai đường thẳng $O_{1}O_{2}$ và $M_{1}M_{2}$ cắt nhau tại J.

- Vậy J là tâm vị tự trong biến ($O_{1}$) thành ($O_{2}$), tỉ số vị tự là K = - $\large \frac{R_{2}}{R_{1}}$

3. Chứng minh rằng khi thực hiện liên tiếp hai phép vị tự tâm O sẽ được một phép vị tự tâm O.

BÀI GIẢI

• Với mỗi điểm M, gọi M' = $V_{(O,K_{1})}$ (M), M" = $V_{(O,K_{2})}$ (M').

• Khi đó: $\vec{OM'}$ = $K_{1}$.$\vec{OM}$, $\vec{OM''}$ = $K_{2}$.$\vec{OM'}$ = $K_{1}$. $K_{2}$$\vec{OM}$.

• Từ đó suy ra: M'' = $V_{(O,K_{1}K_{2})}$ (M).

• Vậy thực hiện liên tiếp hai phép vị tự $V_{(O,K_{1})}$ và $V_{(O,K_{2})}$ sẽ được phép vị tự $V_{(O,K_{1}K_{2})}$