VẤN ĐỀ 5. XÁC SUẤT CỦA BIẾN CỐ
A. Kiến thức cần nhớ
1. Định nghĩa xác suất
Giả sử A là một biến cố liên quan đến một phép thử chỉ có một số hữu hạn kết quả đồng khả năng xuất hiện. Ta gọi tỉ số $\large \frac{n(A)}{n(\Omega )}$ là xác suất của biến cố A, kí hiệu P(A).
P(A) = $\large \frac{n(A)}{n(\Omega )}$
Chú ý
n(A) là số phần tử của A hay cũng là số các kết quả thuận lợi cho biến cố A, còn n($\Omega$) là số các kết quả có thể xảy ra của phép thử.
2. Tính chất của xác suất
Định lí
Giả sử A và B là các biến cố liên quan đến một phép thử có một số hữu hạn kết quả đồng khả năng xuất hiện. Khi đó, ta có định lí sau đây:
a) P(Ø) = 0, P($\Omega$) = 1
b) 0 $\leq$ P(A) $\leq$ 1, với mọi biến cố A
c) Nếu A và B xung khắc, thì
P(A $\cup$ B) = P(A) + P(B) (công thức cộng xác suất).
Hệ quả
Với mọi biến cố A, ta có
P($\bar{A}$) = 1 - P(A)
3. Các biến cố độc lập, công thức nhân xác suất
A và B là hai biến cố độc lập khi và chỉ khi
P(A.B) = P(A).P(B)
B. Giải bài tập sách giáo khoa
Bài 1
Gieo ngẫu nhiên một con xúc sắc cân đối và đồng chất hai lần.
a) Hãy mô tả không gian mẫu
b) Xác định các biến cố sau:
A: “Tổng số chấm xuất hiện trong hai lần gieo không bé hơn 10”;
B: “Mặt 5 chấm xuất hiện ít nhất một lần”.
c) Tính P(A), P(B).
Giải
a) $\Omega$ = {(i, j) | 1 $\leq$ i, j $\leq$ 6}
b) A = {(4, 6), (6, 4), (5, 5), (5, 6),(6,5)};
B = {(1,5), (2,5), (3,5), (4, 5), (5,5), (6,5), (5, 1), (5,2), (5, 3), (5, 4), (5, 6)}.
c) P(A) = $\large \frac{5}{36}$, P(B) = $\large \frac{11}{36}$
Bài 2
Có bốn tấm bìa được đánh số từ 1 đến 4. Rút ngẫu nhiên ba tấm.
a) Hãy mô tả không gian mẫu.
b) Xác định các biến cố sau:
A: “Tổng các số trên ba tấm bìa bằng 8”;
B: “Các số trên ba tấm bìa là ba số tự nhiên liên tiếp”.
c) Tính P(A), P(B).
Giải
a) Vì không phân biệt thứ tự và rút không hoàn lại nên không gian mẫu gồm các tổ hợp chập 3 của 4 số.
Vậy n($\Omega$) = $C_{4}^{3}$ = 4.
b) A = {(1, 3, 4)}, n(A) = 1;
B = {(1, 2, 3), (2, 3, 4)}, n(B) = 2
c) P(A) = $\large \frac{1}{4}$; P(B) = $\large \frac{2}{4}$ = $\large \frac{1}{2}$
Bài 3
Một người chọn ngẫu nhiên hai chiếc giày từ bốn đôi giày cỡ khác nhau. Tính xác suất để hai chiếc chọn được tạo thành một đôi.
Giải
Vì một đôi giày có 2 chiếc khác nhau nên bốn đôi giày khác cỡ cho ta 8 chiếc giày khác nhau. Vì chọn ngẫu nhiên 2 chiếc giày từ bốn đôi giày (8 chiếc) nên mỗi lần chọn ta có kết quả là một tổ hợp chập 2 của 8 phần . tử. Vậy không gian mẫu gồm:
n($\Omega$) = $C_{8}^{2}$ = $\large \frac{8!}{2!6!}$ = 28 phần tử.
Gọi B là biến cố: “Hai chiếc chọn được tạo thành một đôi”, ta có n(B) = 4.
Vậy P(B) = $\large \frac{n(B)}{n(\Omega )}$ = $\large \frac{4}{28}$ = $\large \frac{1}{7}$
Trả lời: Xác suất để hai chiếc chọn được tạo thành một đôi từ bốn đôi giày cỡ khác nhau là $\large \frac{1}{7}$
Bài 4
Gieo một con xúc sắc cân đối và đồng nhất. Giả sử con xúc sắc xuất hiện mặt b chấm. Xét phương trình $x^{2}$ + bx + 2 = 0. Tính xác suất sao cho:
a) Phương trình có nghiệm;
b) Phương trình vô nghiệm;
c) Phương trình có nghiệm nguyên.
Giải
Không gian mẫu có sáu kết quả đồng khả năng:
$\Omega$ = {1, 2,... 6}, n($\Omega$) = 6
Kí hiệu A, B, C lần lượt là các biến cố tương ứng với các câu a), b), c).
Ta thấy phương trình bậc hai có nghiệm khi và chỉ khi $\Delta$ = $b^{2}$ - 8 $\geq$ 0. Do đó, ta có:
a) A = {b $\in$ $\Omega$ | $b^{2}$ – 8 $\geq$ 0} = {3, 4, 5, 6}, n(A) = 4. Vậy
P(A) = $\large \frac{n(A)}{n(\Omega )}$ = $\large \frac{4}{6}$ = $\large \frac{2}{3}$
b) Vì B = $\bar{A}$ nên P(B) = P($\bar{A}$) = 1 - P(A) = 1 - $\large \frac{2}{3}$ = $\large \frac{1}{3}$.
c) C = {3}, n(C) = 1, P(C) = $\large \frac{n(C)}{n(\Omega )}$ = $\large \frac{1}{6}$
Bài 5
Từ cỗ bài tú lơ khơ 52 con rút ngẫu nhiên cùng một lúc bốn con. Tính xác suất sao cho:
a) Cả bốn con đều là át;
b) Được ít nhất một con át;
c) Được hai con át và hai con K
Giải
Không gian mẫu gồm các tổ hợp chập 4 của 52 (con). Vậy
n($\Omega$) = $C_{52}^{4}$ = 270725
Kí hiệu A, B, C là các biến cố cần tính xác suất tương ứng với các câu a), b), c).
a) Ta có n(A) = $C_{4}^{4}$ = 1, P(A) = $\large \frac{n(A)}{n(\Omega )}$ = $\large \frac{1}{270725}$ $\approx$ 0,0000037
b) Gọi B là biến cố: “Trong bốn con bài rút ra có ít nhất một con Át” thì $\bar{B}$ là biến cố: “Trong bốn con bài rút ra không có con Át nào”
Vì n($\bar{B}$) = $C_{48}^{4}$ = 194 580
.png)
Bài 6
Hai bạn nam và hai bạn nữ được xếp ngồi ngẫu nhiên vào bốn ghế xếp thành hai dãy đối diện nhau. Tính xác suất sao cho:
a) Nam, nữ ngồi đối diện nhau;
b) Nữ ngồi đối diện nhau.
Giải
Để xác định, ta đánh số bốn ghế như hình 1.
.png)
Không gian mẫu gồm các hoán vị của 4 người.
Vậy n($\Omega$) = 4! = 24.
Kí hiệu A: "Nam, nữ ngồi đối diện nhau”,
B: “Nữ ngồi đối diện nhau”.
a) Đầu tiên xếp nam ngồi ở ghế (1) và ghế (2), có hai cách. Sau khi nam đã ngồi ở ghế (1) và ghế (2), xếp tiếp nữ vào ghế (3) và ghế (4), có hai cách.
Hoán vị chỗ ngồi của hai bạn đối diện cho nhau, có 2.2 cách.
Vậy theo quy tắc nhân, ta có số cách là: 2.2.2.2 = 16 (cách).
Như vậy, n(A) = 16 và P(A) = $\large \frac{n(A)}{n(\Omega )}$ = $\large \frac{16}{24}$ = $\large \frac{2}{3}$
b) Vì có 2 nam và 2 nữ xếp vào 4 ghế như hình 12 nên khi nữ ngồi đối diện nhau thì lập tức nam cũng ngồi đối diện nhau. Mặt khác, các cách xếp chỉ có thể là nam, nữ ngồi đối diện hoặc nữ đối diện nhau hoặc nam đối diện nhau, do đó trong trường hợp này B = $\bar{A}$. Vậy:
P(B) = P($\bar{A}$) = 1 - P(A) = $\large \frac{1}{3}$
Bài 7
Có hai hộp chứa các quả cầu. Hộp thứ nhất chứa 6 quả trắng, 4 quả đen. Hộp thứ hai chứa 4 quả trắng, 6 quả đen. Từ mỗi hộp lấy ngẫu nhiên 1 quả. Kí hiệu
A là biến cố: “Quả lấy từ hộp thứ nhất trắng”;
B là biến cố: “Quả lấy từ hộp thứ hai trắng”.
a) Xét xem A và B có độc lập không.
b) Tính xác suất sao cho hai quả cầu lấy ra cùng màu.
c) Tính xác suất sao cho hai quả cầu lấy ra khác màu.
Giải
Đánh số các quả cầu trong mỗi hộp từ 1 đến 10 sao cho các quả cầu trắng trong hộp 1 được đánh số từ 1 đến 6 và các quả cầu trắng trong hộp thứ hai được đánh số từ 1 đến 4.
a) Ta có: A = {(i, j) | 1 $\leq$ i $\leq$ 6; 1 $\leq$ j $\leq$ 10};
B = {(i, j) $\mid$ 1 $\leq$ i $\leq$ 10; 1 $\leq$ j $\leq$ 4}
.png)
Từ đó A và B độc lập.
b) Kí hiệu biến cố C: “Lấy được hai quả cùng màu”.
Ta có: C = A.B $\cup$ $\bar{A}.\bar{B}$. Do hai biến cố AB, $\bar{AB}$ xung khắc và A, B là hai biến cố độc lập nên
.png)
Do biến cố “Lấy được hai quả khác màu” là $\bar{C}$ nên xác suất cần tìm là
.png)
C. Bài tập bổ sung
Bài 1
Một vé xổ số có 4 chữ số. Khi quay số, nếu vé bạn mua trùng hoàn toàn với kết quả thì bạn trúng giải nhất. Nếu vé bạn mua có đúng 3 chữ số trùng với 3 chữ số của kết quả (kể cả vị trí) thì bạn trúng giải nhì. Bạn An mua một vé xổ số.
a) Tính xác suất để An trúng giải nhất.
b) Tính xác suất để An trúng giải nhì.
Giải
a) Số kết quả có thể là $10^{4}$ = 10000 và chỉ có một kết quả trùng với số vé của An. Do đó xác xuất trúng giải nhất của An là $\large \frac{1}{10000}$ = 0,0001
b) Giả sử số vé của An là $\overline{abcd}$. Các kết quả trùng với đúng ba chữ số của An là $\overline{abct}$ (t $\neq$ d) hoặc $\overline{abtd}$ (t $\neq$ c) hoặc $\overline{atcd}$ (t $\neq$ b) hoặc $\overline{tbcd}$ (t $\neq$ a).
Vậy có 9 + 9 + 9 + 9 = 36 kết quả ở đó vé của An trúng giải nhì.
Do đó xác suất trúng giải nhì của An là $\large \frac{36}{10000}$ = 0,0036
Bài 2
Chọn ngẫu nhiên một số nguyên dương không lớn hơn 50.
a) Mô tả không gian mẫu.
b) Gọi A là biến cố “Số được chọn là số nguyên tố”. Hãy liệt kê các kết quả thuận lợi cho A.
c) Tính xác suất của A.
d) Tính xác suất để số được chọn nhỏ hơn 4.
Giải
a) $\Omega$= {1, 2..., 50}
b) $\Omega _{A}$ = {2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47}.
c) P(A) = $\large \frac{15}{50}$ = 0,3
d) Gọi B là biến cố “Số được chọn nhỏ hơn 4”. Ta có P(B) = $\large \frac{3}{50}$ = 0,06.
Bài 3
Chọn ngẫu nhiên một số nguyên dương nhỏ hơn 9. Tính xác suất để:
a) Số được chọn là số nguyên tố.
b) Số được chọn chia hết cho 3.
Giải
a) Gọi A là biến cố “Số được chọn là số nguyên tố”. Tập các số nguyên tố nhỏ hơn 9 là {2, 3, 5, 7}.
Ta có P(A) = $\large \frac{4}{8}$ = 0,5.
b) Gọi B là biến cố “Số được chọn chia hết cho 3”. Tập các số nguyên dương chia hết cho 3 và nhỏ hơn 9 là {3; 6}.
Do đó P(B) = $\large \frac{2}{8}$ = 0,25.
Bài 4
Danh sách lớp của Hường đánh số từ 1 đến 30. Hường có số thứ tự là 12. Chọn ngẫu nhiên một bạn trong lớp.
a) Tính xác suất để Hường được chọn
b) Tính xác suất để Hường không được chọn.
c) Tính xác suất để một bạn có số thứ tự nhỏ hơn số thứ tự của Hường được chọn.
Giải
a) Gọi A là biến cố “Hường được chọn”. Ta có P(A) = $\large \frac{1}{30}$
b) P($\bar{A}$) = 1 - P(A) = $\large \frac{29}{30}$
c) Gọi B là biến cố “Bạn có số thứ tự nhỏ hơn 12 được chọn”.
Ta có P(B) = $\large \frac{11}{30}$
Bài 5
Chọn ngẫu nhiên 5 người có tên trong một danh sách 20 người đánh số từ 1 đến 20. Tính xác suất để 5 người được chọn có số thứ tự không lớn hơn 10 (tính chính xác đến hàng phần nghìn).
Giải
Số trường hợp có thể là $C_{20}^{5}$. Số trường hợp thuận lợi là số cách chọn 5 số trong tập {1, 2,..., 10}. Do đó, số trường hợp thuận lợi là $C_{10}^{5}$. Vậy xác suất cần tìm là
.png)