VẤN ĐỀ 4. CẤP SỐ NHÂN
A. Kiến thức cần nhớ
1. Định nghĩa
.png)
2. Số hạng tổng quát
.png)
3. Tính chất
.png)
4. Tổng n số hạng đầu
.png)
Đặc biệt: Nếu q = 1 thì $S_{n}$ = n$u_{1}$
Lưu ý: Khi giải các bài toán về cấp số nhân, ta thường gặp 5 đại lượng. Đó là $u_{1}$, q, n, $u_{n}$, $S_{n}$. Cần phải biết ít nhất 3 trong 5 đại lượng trên thì có thể tính được các đại lượng còn lại.
B. Giải bài tập sách giáo khoa
Bài 1
Chứng minh các dãy số .png)
là các cấp số nhân.
Giải
Lập tỉ số .png)
, ta có:
.png)
Bài 2
Cho cấp số nhân ($u_{n}$) với công bội q.
a) Biết $u_{1}$ = 2, $u_{6}$ = 486. Tìm q.
b) Biết q = $\large \frac{2}{3}$, $u_{4}$ = $\large \frac{8}{21}$. Tìm $u_{1}$
c) Biết $u_{1}$ = 3, q = -2. Hỏi số 192 là số hạng thứ mấy?
Giải
a) Đáp số: q = 3
b) Đáp số: $u_{1}$ = $\large \frac{9}{7}$
c) Đáp số: n = 7
Bài 3
Tìm các số hạng của cấp số nhân ($u_{n}$) có năm số hạng, biết:
a) $u_{3}$ = 3 và $u_{5}$ = 27
b) $u_{4}$ - $u_{2}$ = 25 và $u_{3}$ - $u_{1}$ = 50
Giải
Áp dụng công thức số hạng tổng quát, ta có:
$u_{3}$ = 3 = $u_{1}$$q^{2}$ và $u_{5}$ = 27 = $u_{1}$$q^{4}$.
Vì 27 = ($u_{1}$$q^{2}$).$q^{2}$ = 3.$q^{2}$ nên $q^{2}$ = 9 hay .png)
.
Thay $q^{2}$ = 9 vào công thức chứa $u_{3}$, ta có $u_{1}$ = $\large \frac{1}{3}$
Nếu q = 3, ta có cấp số nhân: $\large \frac{1}{3}$, 1, 3, 9, 27
Nếu q = -3, ta có cấp số nhân: $\large \frac{1}{3}$, -1, 3, - 9, 27
.png)
.png)
Ta có cấp số nhân:
.png)
Bài 4
Tìm cấp số nhân có sáu số hạng, biết rằng tổng của năm số hạng đầu là 31 và tổng của năm số hạng sau là 62.
Giải
.png)
Nhân cả hai vế của (1) với q, ta được:
.png)
Vậy ta có cấp số nhân: 1, 2, 4, 8, 16, 32
Bài 5
Tỉ lệ tăng dân số của tỉnh X là 1,4%. Biết rằng số dân của tỉnh hiện nay là 1,8 triệu người. Hỏi với mức tăng như vậy thì sau 5 năm, 10 năm số dân của tỉnh đó là bao nhiêu?
Giải
Gọi số dân của tỉnh đó là N.
Sau một năm, số dân tăng thêm là 1,4%N.
Vậy số dân của tỉnh đó vào năm sau là
N + 1,4%N = 101,4%N.
Số dân tỉnh đó sau mỗi năm lập thành một cấp số nhân.
.png)
Giả sử N = 1,8 triệu người thì sau 5 năm số dân của tỉnh là
.png)
Bài 6
Cho hình vuông $C_{1}$ có cạnh bằng 4. Người ta chia các cạnh của hình vuông thành bốn phần bằng nhau và nối các điểm chia một cách thích hợp để có hình vuông $C_{2}$. Từ hình vuông $C_{2}$ lại làm tiếp như trên để được hình vuông $C_{3}$.Tiếp tục quá trình trên, ta nhận được dãy các hình vuông $C_{1}$, $C_{2}$, $C_{3}$, ...,$C_{n}$,...
Gọi $a_{n}$ là độ dài cạnh của hình vuông $C_{n}$. Chứng minh dãy số ($a_{n}$) là một cấp số nhân.
.png)
Giải
Xét dãy ($a_{n}$), ta có $a_{1}$ = 4.
Giả sử hình vuông $C_{n}$ có độ dài cạnh là $a_{n}$
Ta sẽ tính cạnh $a_{n+1}$ của hình vuông $C_{n+1}$
.png)
C. Bài tập bổ sung
Bài 1
Cho dãy số ($u_{n}$) với $u_{n}$ = $2^{2n+1}$.
a) Chứng minh dãy số ($u_{n}$) là cấp số nhân. Nêu nhận xét về tính đơn điệu của dãy số.
b) Lập công thức truy hồi của dãy số.
c) Hỏi số 2048 là số hạng thứ mấy của dãy số này?
Giải
.png)
Bài 2
a) Viết năm số xen giữa các số 1, 729 để được một cấp số nhân có 7 số hạng. Tính tổng các số hạng của cấp số này.
b) Viết sáu số xen giữa các số -2, 256 để được một cấp số nhân có 8 số hạng. Nếu viết tiếp thì số hạng thứ 15 là bao nhiêu?
Giải
a) Ta có $u_{1}$ = 1, $u_{7}$ = 729.
.png)
Năm số cần viết là 3, 9, 27, 81, 243 hoặc –3, 9, -27, 81, -243.
.png)
b) Ta có $u_{1}$ = -2, $u_{8}$ = 256.
.png)
Sáu số cần viết là 4, -8, 16, -32, 64, -128.
Ta có $u_{15}$ = -2.$(-2)^{14}$ = -32768.
Bài 3
Dãy số ($u_{n}$) được cho như sau
.png)
a) Lập dãy ($v_{n}$) với $v_{n}$ = $u_{n+1}$ - $u_{n}$
Chứng minh dãy ($v_{n}$) là cấp số nhân.
b) Lập công thức tính $u_{n}$ theo n.
Giải
.png)
.png)
Bài 4
Tìm cấp số nhân ($u_{n}$) biết
.png)
Giải
.png)
Bài 5
Một cấp số cộng và một cấp số nhân đều là các dãy tăng. Các số hạng thứ nhất đều bằng 3, các số hạng thứ hai bằng nhau. Tỉ số giữa các số hạng thứ ba của cấp số nhân và cấp số cộng là $\large \frac{9}{5}$. Tìm hai cấp số ấy.
Giải
Nếu có cấp số cộng 3, $u_{2}$, $u_{3}$ thì cấp số nhân là
.png)
Theo tính chất của các cấp số, ta có
.png)
D. Bài tập đề nghị
Bài 1
Cho cấp số nhân ($u_{n}$) có $u_{1}$ = 3 và $u_{2}$ = 2.
a) Hãy tìm công bội q của cấp số nhân đã cho.
b) Hãy tính $u_{3}$, $u_{4}$, $u_{5}$ và $u_{6}$.
Bài 2
Trong các dãy số sau, dãy số nào là cấp số nhân? Hãy xác định công bội của mỗi cấp số nhân đó.
.png)
Bài 3
Xét dãy số ($u_{n}$) xác định bởi $u_{1}$ = a và .png)
với mọi n $\geq$ 1, trong đó a là một số thực khác 0.
Hãy xác định tất cả các giá trị của a để dãy số ($u_{n}$) là một cấp số nhân.
Bài 4
Cho một cấp số nhân có 5 số hạng với công bội dương. Biết rằng số hạng thứ hai bằng 3 và số hạng thứ tư bằng 6. Hãy tìm các số hạng còn lại của cấp số nhân đó.
Bài 5
Cho một cấp số nhân có 7 số hạng, số hạng thứ tư bằng 6 và số hạng thứ bảy gấp 243 lần số hạng thứ hai. Hãy tìm các số hạng còn lại của cấp số nhân đó.
Bài 6
Cho cấp số nhân ($u_{n}$) có $u_{20}$ = 8$u_{17}$ và $u_{3}$ + $u_{5}$ = 272. Hãy tìm số hạng đầu và công bội của cấp số nhân đó.
Bài 7
Cho cấp số nhân ($u_{n}$) có 6$u_{2}$ + $u_{5}$ = 1 và 3$u_{3}$ + 2$u_{4}$ = -1. Hãy tìm số hạng tổng quát của cấp số nhân đó.