Hàm số lượng giác

CHƯƠNG I. HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

VẤN ĐỀ 1. HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC

A. Kiến thức cần nhớ

1. Tập xác định của các hàm số y = sinx và y = cosx là R.

Tập xác định của hàm số y = tan x là $D_{1}$ = $\mathbb{R}$ \ { $\large \frac{\pi }{2}$ + $k\pi \mid k\in \mathbb{Z}$ }

của hàm số y = cotx là $D_{2}$ = $\mathbb{R}$ \ { $k\pi \mid k\in \mathbb{Z}$ }

2. Hàm số y = sinx là hàm số lẻ, hàm số y = cosx là hàm số chẵn. Các hàm số y = tanx và y = cotx là hàm số lẻ.

3. Hàm số f: D → I là hàm số tuần hoàn nếu có số T $\neq$ 0 sao cho:

$\forall x\in D$, x + T $\in$ D, x - T $\in$ D và f(x + T) = f(x)

Số T dương nhỏ nhất thỏa mãn điều kiện đó là chu kì của hàm số f.

Các hàm số y = sinx, y = cosx là hàm số tuần hoàn với chu kì 2$\pi$.

Các hàm số y = tanx, y = cotx là hàm số tuần hoàn với chu kì $\pi$.

B. Giải bài tập sách giáo khoa

Bài 1

Hãy xác định các giá trị của x trên đoạn [ -$\pi$; $\large \frac{3\pi }{2}$ ] để hàm số y = tanx.

a) Nhận giá trị bằng 0

b) Nhận giá trị bằng 1

c) Nhận giá trị dương

d) Nhận giá trị âm

Giải

Căn cứ vào đồ thị của hàm số y = tanx trên đoạn [ -$\pi$; $\large \frac{3\pi }{2}$ ] ta thấy:

a) tanx = 0 tại x $\in$ (-$\pi$, 0, $\pi$)

b) tan x = 1 tại

c) tanx > 0 khi

d) tan x < 0 khi

Bài 2

Tìm tập xác định của các hàm số:

Giải

a) sinx $\neq$ 0 ⇔ x $\neq$ k$\pi$; k $\in$ $\mathbb{Z}$. Vậy D = $\mathbb{R}$ \ {k$\pi$, k $\in$ $\mathbb{Z}$}

b) Vì 1 + cosx $\geq$ 0 nên điều kiện là 1 - cosx > 0

hay cosx $\neq$ 1 ⇔ x $\neq$ k2$\pi$, k $\in$ $\mathbb{Z}$.

Vậy D = $\mathbb{R}$ \ {k2$\pi$, k $\in$ $\mathbb{Z}$}

Bài 3

Dựa vào đồ thị của hàm số y = sinx, hãy vẽ đồ thị của hàm số y = $\mid$sinx$\mid$

Giải

Ta có $\mid$sinx$\mid$ = sinx nếu sin x $\geq$ 0

$\mid$sinx$\mid$ = -sin x nếu sin x < 0

Mà sinx < 0 ⇔ x $\in$ ( $\pi$ + k2$\pi$, 2$\pi$ + k2$\pi$), k $\in$ $\mathbb{Z}$ nên lấy đối xứng qua trục Ox phần đồ thị của hàm số y = sinx trên các khoảng này, còn giữ nguyên phần đồ thị của hàm số y = sinx trên các đoạn còn lại, ta được đồ thị của hàm số y = $\mid$sinx$\mid$ như sau:

Bài 4

Chứng minh rằng sin2(x + k$\pi$) = sin2x với mọi số nguyên k. Từ đó về đồ thị hàm số y = sin2x.

Giải

Ta có: sin2(x + k$\pi$) = sin(2x + 2k) = sin2x, k $\in$ $\mathbb{Z}$

Từ đó, ta suy ra hàm số y = sin2x là hàm số tuần hoàn với chu kì $\pi$. Hơn nữa y = sin2x là hàm số lẻ. Vì vậy, ta vẽ đồ thị của hàm số y = sin2x trên đoạn [0; $\large \frac{\pi }{2}$] rồi lấy đối xứng qua O, được đồ thị trên đoạn [-$\large \frac{\pi }{2}$; $\large \frac{\pi }{2}$]

Cuối cùng tịnh tiến song song với trục Ox các đoạn có độ dài $\pi$, ta được đồ thị của hàm số y = sin2x trên $\mathbb{R}$.

Bài 5

Dựa vào đồ thị hàm số y = cosx, tìm các giá trị của x để cos x = $\large \frac{1}{2}$

Giải

Cắt đồ thị hàm số y = cosx bởi đường thẳng y = $\large \frac{1}{2}$, ta được các giao điểm có hoành độ tương ứng là $\large \frac{\pi }{3}$ + k2$\pi$ và - $\large \frac{\pi }{3}$ + k2$\pi$, k $\in$ $\mathbb{Z}$

Bài 6

Dựa trên đồ thị của hàm số y = sinx, tìm các khoảng giá trị của x để hàm số đó nhận giá trị dương.

Giải

sinx > 0 ứng với phần đồ thị nằm trên trục Ox. Vậy đó là các khoảng (2k$\pi$, $\pi$ + 2k$\pi$), k $\in$ $\mathbb{Z}$

Bài 7

Dựa trên đồ thị của hàm số y = cosx, tìm các khoảng giá trị của x để hàm số đó nhận giá trị âm.

Giải

cosx < 0 ứng với phần đồ thị nằm phía dưới trục Ox. Đó là các khoảng

Bài 8

Tìm giá trị lớn nhất của các hàm số:

a) y = 2$\sqrt{cosx}$ + 1

b) y = 3 - 2sinx

Giải

a) Từ điều kiện 0 $\leq$ cosx $\leq$ 1 suy ra 2$\sqrt{cosx}$ $\leq$ 2 ⇔ 2$\sqrt{cosx}$ +1 $\leq$ 3 hay y $\leq$ 3.

Vậy $y_{max}$ = 3 ⇔ cosx = 1 ⇔ x = k2$\pi$.

b) sinx $\geq$ -1 ⇔ -sinx $\leq$ 1 ⇔ 3 - 2sinx $\leq$ 5 hay y $\leq$ 5

Vậy $y_{max}$ = 5 ⇔ - sin x = 1 ⇔ sin x = -1 ⇔ x = -$\large \frac{\pi }{2}$ + k2$\pi$.

C. Bài tập bổ sung

Bài 1

Xét tính chắn - lẻ của các hàm số sau:

a) y = -2sinx

b) y = 3sinx - 2

c) y = sinx - cosx

d) y = sinx$cos^{2}$x + tanx

Giải

a) y = -2sinx là hàm số lẻ; vì sin(-x) = -sinx với mọi x.

b) y = 3sinx - 2 không phải là hàm số lẻ, cũng không phải là hàm số chẵn;

vì nếu đặt f(x) = 3sinx - 2 thì có x $\in$ $\mathbb{R}$ mà :

chẳng hạn

c) y = sinx - cosx không phải là hàm số lẻ; cũng không phải là hàm số chẵn; vì nếu đặt f(x) = sinx - cosx thì

d) y = f(x) = sinx$cos^{2}$x + tanx là hàm số xác định trên $D_{1}$ và với mọi x $\in$ $D_{1}$, ta có -x $\in$ $D_{1}$ và f(-x) = sin(-x)$cos^{2}$(-x) + tanx(-x) = -sinx$cos^{2}$x - tanx = - f(x) nên hàm số đã cho là hàm số lẻ.

Bài 2

Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của mỗi hàm số sau:

c) y = 4 sin$\sqrt{x}$

Giải

a) Do hàm số y = cos(x + $\large \frac{\pi }{3}$) đạt giá trị lớn nhất là 1, giá trị nhỏ nhất là -1 (để ý rằng u = x + $\large \frac{\pi }{3}$ lấy mọi giá trị thực tùy ý khi x thay đổi) nên hàm số y = 2cosx(x + $\large \frac{\pi }{3}$) + 3 đạt giá trị lớn nhất là 5, giá trị nhỏ nhất là 1.

b) Do y = sin($x^{2}$) đạt giá trị lớn nhất là 1 (khi k nguyên không âm), đạt giá trị nhỏ nhất là -1 (khi k nguyên dương) nên hàm số đạt giá trị lớn nhất là $\sqrt{2}$ – 1 và giá trị nhỏ nhất là -1.

c) Do y = sin$\sqrt{x}$ đạt giá trị lớn nhất là 1 (khi $\sqrt{x}$ = $\large \frac{\pi }{2}$ + k2$\pi$, k nguyên không âm), đạt giá trị nhỏ nhất là -1 (khi $\sqrt{x}$ = - $\large \frac{\pi }{2}$ + k2$\pi$, k nguyên dương) nên hàm số y = 4 sin $\sqrt{x}$ đạt giá trị lớn nhất là 4, giá trị nhỏ nhất là -4

Bài 3

Cho hàm số y = f(x) = 2sin2x.

a) Chứng minh rằng với số nguyên k tùy ý luôn có f(x + k$\pi$) = f(x) với mọi x.

b) Lập bảng biến thiên của hàm số y = 2sin2x trên đoạn

c) Vẽ đồ thị của hàm số y = 2sin2x.

Giải

a) Ở đây f(x + k$\pi$) = 2sin2(x + k$\pi$) và f(x) = 2sin2x, nên ta cần chứng minh 2sin(2x + 2k$\pi$) = 2sin2x, tức là chứng minh sin(2x + k2$\pi$) = sin2x với mọi x. Điều này suy ra từ sin(u + k2$\pi$) = sinu với mọi u.