Một số phương trình lượng giác thường gặp

VẤN ĐỀ 3. MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC THƯỜNG GẶP

A. Kiến thức cần nhớ

1. Phương trình bậc hai đối với hàm số lượng giác:

a$sin^{2}$u = bsinu + c = 0 (a $\neq$ 0)

a$cos^{2}$u + bcosu + c = 0 (a $\neq$ 0)

a$tan^{2}$u + btanu + c = 0 (a $\neq$ 0)

a$cot^{2}$u + bcotu + c = 0 (a $\neq$ 0).

Cách giải:

Đặt t = sinu hay t = cosu với $\mid$t$\mid$ $\leq$ 1.

t = tanu (điều kiện u $\neq$ $\large \frac{\pi }{2}$ + k$\pi$)

t = cotu (điều kiện u $\neq$ k$\pi$)

Các phương trình trên thành: a$t^{2}$ + bt + c = 0 .

Giải phương trình tìm được t, so với điều kiện để nhận nghiệm t.

Từ đó giải phương trình lượng giác cơ bản tìm được u.

2. Phương trình bậc nhất theo sinx và cosx

asinu + bcosu = c (*) (a, b $\in$ R \ {0})

Cách giải:

Chia 2 vế phương trình cho

3. Phương trình thuần nhất bậc hai đối với sinu và cosu

a$sin^{2}$u + bsinucosu + c$cos^{2}$u = d

Cách giải:

- Tìm nghiệm u = $\large \frac{\pi }{2}$ + k$\pi$ (lúc đó cosu = 0 và sinu = ).

- Chia hai về phương trình cho $cos^{2}$u $\neq$ 0 ta được phương trình:

at$g^{2}$u + btgu + c = d(1 + t$g^{2}$u)

Đặt t = tanu ta có phương trình:

(a - d)$t^{2}$ + bt + c - d = 0

Giải phương trình tìm được t = tanu.

4. Phương trình đối xứng theo sinx và cosx

a(sinx + cosx) + bsinxcosx = c (1)

Cách giải:

- Đặt t = sinx + cosx với điều kiện |t| $\leq$ $\sqrt{2}$

Ta có: $t^{2}$ = 1 + 2sinxcosx nên (1) thành:

at + $\large \frac{b}{2}$($t^{2}$ - 1) = c

⇔ b$t^{2}$ + 2at - b - 2c = 0 (2)

Giải (2) tìm được t, rồi so với điều kiện |t| $\leq$ $\sqrt{2}$

Từ t = $\sqrt{2}$sin(x + $\large \frac{\pi }{4}$) giải phương trình này ta tìm được x.

B. Giải bài tập sách giáo khoa

Bài 1

Giải phương trình: $sin^{2}$x - sinx = 0

Giải

Bài 2

Giải các phương trình sau:

a) 2$cos^{2}$x - 3cosx + 1 = 0

b) 2sin2x + $\sqrt{2}$sin 4x = 0

Giải

Bài 3

Giải các phương trình sau:

a) $sin^{2}$$\large \frac{x}{2}$ - 2cos$\large \frac{x}{2}$ + 2 = 0

b) 8$cos^{2}$x + 2sinx - 7 = 0

c) 2$tan^{2}$x + 3tanx + 1 = 0

d) tanx - 2cotx + 1 = 0

Giải

Bài 4

Giải các phương trình sau:

a) 2$sin^{2}$x + sinxcosx - 3$cos^{2}$ = 0

b) 3$sin^{2}$x - 4sinxcosx + 5$cos^{2}$x = 2

c) $sin^{2}$x + sin2x – 2$cos^{2}$x = $\large \frac{1}{2}$

d) 2$cos^{2}$x - 3$\sqrt{3}$sin2x - 4$sin^{2}$x = -4

Giải

a) Ta thấy những giá trị của x mà cosx = 0 không nghiệm đúng phương trình. Chia hai vế phương trình cho $cos^{2}$x $\neq$ 0, ta được phương trình:

2$tan^{2}$x + tanx - 3 = 0

Bài 5

Giải các phương trình sau:

a) cosx - $\sqrt{3}$sinx = $\sqrt{2}$

b) 3sin3x - 4cos3x = 5

c) 2sinx + 2cosx - $\sqrt{2}$ = 0

d) 5cos2x + 12sin2x - 13 = 0

Giải

Bài 6.

Giải các phương trình sau:

a) tan(2x + 1)tan(3x - 1) = 1

b) tanx + tan (x + $\large \frac{\pi }{4}$) = 1

Giải

C. Bài tập bổ sung

Bài 1

Giải phương trình:

2cos2x + 2cosx - $\sqrt{2}$ = 0

Giải

Bài 2

Giải phương trình:

$\sqrt{3}$sinx - cosx = 1 (1)

Giải

Bài 3

Sử dụng công thức biến đổi tổng thành tích hoặc thành tổng để giải các phương trình sau:

a) cosxcos5x = cos2xcos4x

b) cos5xsin4x = cos3xsin2x

c) sin2x + sin4x = sin6x

d) sinx + sin2x = cosx + cos2x

Giải

Bài 4

Dùng công thức hạ bậc để giải các phương trình sau:

a) $sin^{2}$4x + $sin^{2}$3x = $sin^{2}$2x + $sin^{2}$x

b) $cos^{2}$x + $cos^{2}$2x + $cos^{2}$3x + $cos^{2}$4x = 2

Giải

Bài 5

Giải các phương trình sau:

a) sinx + sin2x + sin3x = cosx + cos2x + cos3x

b) sinx = $\sqrt{2}$sin5x - cosx

Giải

a) Ta biến đổi về trái như sau:

(sinx + sin3x) + sin2x = 2sin2xcosx + sin2x = sin2x(2cosx + 1)

Tương tự, cosx + cos2x + cos3x = cos2x(2cosx + 1). Do đó

sinx + sin2x + sin3x = cosx + cos2x + cos3x

⇔ sin2x(2cosx + 1) = cos2x(2cosx + 1)

⇔ (sin2x - cos2x)(2cosx + 1) = 0

Vậy ta phải giải hai phương trình:

Kết luận: Phương trình có các nghiệm là

c) ĐKXĐ: sin4x $\neq$ 0 (điều kiện này đã bao gồm sin2x $\neq$ 0 và cos2x $\neq$ 0). Với điều kiện đó, ta có thể nhân hai vế của phương trình với sin4x:

Ta thấy ngay: Nếu 2x = k2$\pi$ thì sin2x = 0; nếu 2x = $\large \frac{\pi }{2}$ + k2$\pi$ thì cos2x = 0, đều không thỏa mãn ĐKXĐ. Vậy phương trình đã cho vô nghiệm.

d) ĐKXĐ: sin2x $\neq$ 1. Với điều kiện đó, ta có

Dễ thấy các giá trị tìm được của ẩn đều thỏa mãn ĐKXĐ (để kiểm tra, chú ý rằng do 1 - sin2x = $(cosx-sinx)^{2}$ nên điều kiện sin2x $\neq$ 1 tương đương với điều kiện cosx - sinx $\neq$ 0). Vậy phương trình đã cho có các nghiệm là