VẤN ĐỀ 2. DÃY SỐ
A. Kiến thức cần nhớ
• Dãy số vô hạn: Là một hàm số xác định trên tập hợp các số nguyên dương N*.
• Dãy số hữu hạn: Là một hàm số xác định trên tập hợp m số nguyên dương đầu tiên (m là số nguyên dương cho trước).
• Dãy số tăng: ($u_{n}$) là dãy số tăng ⇔ $\forall$ n, $u_{n+1}$ - $u_{n}$ > 0.
• Dãy số giảm: ($u_{n}$) là dãy số giảm ⇔ $\forall$ n, $u_{n+1}$ - $u_{n}$ < 0.
• Dãy số không đổi: ($u_{n}$) là dãy số không đổi ⇔ $\forall$ n, $u_{n+1}$ - $u_{n}$ = 0.
• Dãy số bị chặn trên: Dãy số vô hạn ($u_{n}$) là dãy số bị chặn trên nếu tồn tại M sao cho $u_{n}$ $\leq$ M $\forall$ n $\in$ N*.
• Dãy số bị chặn dưới: Dãy số vô hạn ($u_{n}$) là dãy số bị chặn dưới nếu tồn tại số m sao cho $u_{n}$ $\geq$ m $\forall$ n $\in$ N*.
• Dãy số bị chặn: Là dãy số vừa bị chặn trên, vừa bị chặn dưới.
B. Giải bài tập sách giáo khoa
Bài 1
Viết năm số hạng đầu của các dãy số có số hạng tổng quát $u_{n}$ cho bởi công thức:
.png)
Học sinh tự giải.
Bài 2
Cho dãy ($u_{n}$), biết:
$u_{1}$ = -1, $u_{n+1}$ = $u_{n}$ + 3 với n $\geq$ 1.
a) Viết năm số hạng đầu của dãy số.
b) Chứng minh bằng phương pháp quy nạp: $u_{n}$ = 3n - 4.
Giải
a) -1, 2, 5, 8, 11.
b) Chứng minh $u_{n}$ = 3n - 4 bằng phương pháp quy nạp:
Với n = 1 thì $u_{1}$ = -1 = 3.1 - 4 đúng.
Giả sử đã có $u_{k}$ = 3k - 4 với k $\geq$ 1.
Theo công thức của dãy số và giả thiết quy nạp, ta có
$u_{k+1}$ = $n_{k}$ + 3 = 3k - 4 + 3 = 3(k + 1) - 4.
Vậy công thức đã được chứng minh.
Bài 3
Dãy số ($u_{n}$) cho bởi:
.png)
a) Viết năm số hạng đầu của dãy số.
b) Dự đoán công thức số hạng tổng quát $u_{n}$ và chứng minh bằng phương pháp quy nạp.
Giải
a) 3, $\sqrt{10}$, $\sqrt{11}$, $\sqrt{12}$, $\sqrt{13}$
b) Viết 3 = $\sqrt{9}$ và nhận xét
.png)
Dự đoán $u_{n}$ = $\sqrt{n+8}$ với n $\in$ N*. (1)
Chứng minh công thức (1) bằng quy nạp:
Với n = 1, rõ ràng công thức (1) là đúng.
Giả sử đã có $u_{k}$ = $\sqrt{k+8}$ với k $\geq$ 1.
Theo công thức dãy số có
.png)
Như vậy công thức (1) đúng với n = k + 1.
Do đó, công thức (1) đã được chứng minh.
Bài 4
Xét tính tăng, giảm của các dãy số ($u_{n}$), biết:
.png)
.png)
.png)
.png)
Giải
a)
.png)
Vậy dãy số đã cho là dãy số giảm.
b)
.png)
Vậy $u_{n+1}$ > $u_{n}$ với mọi n $\in$ N* hay dãy số là tăng.
c) Các số hạng đan dấu vì thừa số $(-1)^{n}$, nên dãy số không tăng và cũng không giảm.
d) Làm tương tự như câu a) và b) hoặc lập tỉ số
.png)
rồi so sánh với 1.
Đáp số: Dãy số giảm.
Bài 5
Trong các dãy số ($u_{n}$) sau, dãy số nào bị chặn dưới, bị chặn trên và bị chặn?
.png)
Giải
a) Dãy số bị chặn dưới vì $u_{n}$ = 2$n^{2}$ -1 $\geq$ 1 với mọi n $\in$ N* và không bị chặn trên vì khi n lớn vô cùng thì 2$n^{2}$ - 1 cũng lớn vô cùng.
b) Dễ thấy $u_{n}$ > 0 với mọi n $\in$ N*.
Mặt khác, vì n $\geq$ 1 nên $n^{2}$ $\geq$ 1 và 2n $\geq$ 2.
Do đó n(n + 2) = $n^{2}$ + 2n $\geq$ 3, suy ra
.png)
Vậy dãy số bị chặn vì 0 < $u_{n}$ $\leq$ $\large \frac{1}{3}$ số với mọi n $\in$ N*.
c) Vì n $\geq$ 1 nên 2$n^{2}$ - 1 > 0, suy ra .png)
Vì $n^{2}$ $\geq$ 1 nên 2$n^{2}$ > 2 hay 2$n^{2}$ - 1 $\geq$ 1, suy ra
.png)
Vậy 0 < $u_{n}$ $\leq$ 1, tức là dãy số ($u_{n}$) bị chặn.
d) Dãy số bị chặn vì
-$\sqrt{2}$ < sin n + cos n < $\sqrt{2}$.
Chú ý rằng, theo kết quả của lượng giác thì
-$\sqrt{2}$ $\leq$ sin n + cos n $\leq$ $\sqrt{2}$
tuy nhiên dấu bằng không thể xảy ra.
C. Bài tập bổ sung
Bài 1
Hãy xét tính đơn điệu của các dãy số sau:
a) Dãy số ($u_{n}$) với $u_{n}$ = $n^{3}$ - 3$n^{2}$ + 5n - 7;
b) Dãy số ($a_{n}$) với $a_{n}$ = $\sqrt{n+1}$ - $\sqrt{n}$ ;
c) Dãy số ($x_{n}$) với $x_{n}$ = $\large \frac{n+1}{3^{n}}$
Giải
a) ($u_{n}$) là một dãy số tăng. Gợi ý: Xét hiệu $u_{n+1}$ - $u_{n}$
b) ($a_{n}$) là một dãy số giảm.
c) Dễ thấy $x_{n}$ > 0 $\forall$ n $\geq$ 1. Hơn nữa, ta có
.png)
Suy ra ($x_{n}$) là một dãy số giảm.
Bài 2
Chứng minh rằng dãy số ($u_{n}$), với
.png)
là một dãy số bị chặn.
Giải
.png)
nên 0 $\leq$ $u_{n}$ < 1 $\forall$ n $\geq$ 1. Do đó ($u_{n}$) là một dãy số bị chặn.
Bài 3
Chứng minh rằng dãy số ($u_{n}$), với
.png)
là một dãy số giảm và bị chặn.
Giải
.png)
Vì vậy ($u_{n}$) là một dãy số giảm.
.png)
. Do đó ($u_{n}$) là một dãy số bị chặn.
Bài 4
Hãy xác định số thực a để dãy số ($u_{n}$) với .png)
là
a) Một dãy số tăng.
b) Một dãy số giảm.
Giải
.png)
Từ đó suy ra
a) ($u_{n}$) là một dãy số tăng
.png)
b) ($u_{n}$) là một dãy số giảm
.png)
Bài 5
Cho dãy số ($u_{n}$) xác định bởi
$u_{1}$ = 3 và $u_{n+1}$ = $u_{n}$ + 5 với mọi n $\geq$ 1.
a) Hãy tính $u_{2}$, $u_{4}$, và $u_{6}$
b) Chứng minh rằng $u_{n}$ = 5n - 2 với mọi n $\geq$ 1.
Giải
a) Học sinh tự giải.
b) Bằng phương pháp quy nạp, ta sẽ chứng minh
$u_{n}$ = 5n - 2 (1)
với mọi n $\in$ N*.
Với n = 1, ta có $u_{1}$ = 3 = 5.1 - 2.
Như thế (1) đúng khi n = 1.
Giả sử (1) đúng khi n = k, k $\in$ N* , ta sẽ chứng minh nó cũng đúng khi n = k + 1.
Thật vậy, từ công thức xác định dãy số ($u_{n}$) và giả thiết quy nạp ta có
$u_{k+1}$ = $u_{k}$ + 5 = 5k - 2 + 5 = 5(k + 1) - 5.
Từ các chứng minh trên suy ra (1) đúng với mọi n $\in$ N*.
D. Bài tập đề nghị
Bài 1
Cho dãy số ($u_{n}$), biết:
.png)
a) Viết năm số hạng đầu của dãy số.
b) Viết và chứng minh công thức của số hạng tổng quát $u_{n}$.
Bài 2
Xét tính tăng, giảm của các dãy số ($u_{n}$), biết:
.png)
Bài 3
Trong các dãy số sau, dãy số nào bị chặn dưới, bị chặn trên và bị chặn?
.png)
Bài 4
Hãy xét tính đơn điệu của các dãy số sau:
a) Dãy số ($a_{n}$) với $a_{n}$ = 2$n^{3}$ - 5n + 1.
b) Dãy số ($b_{n}$) với $b_{n}$ = $3^{n}$ - n.
c) Dãy số ($c_{n}$) với .png)
Bài 5
Hãy xét tính đơn điệu của các dãy số sau:
.png)
Bài 6
Xét tính đơn điệu của các dãy số sau:
.png)
Bài 7
Xét tính đơn điệu của các dãy số sau:
.png)
Bài 8
Cho dãy số ($u_{n}$) với .png)
a) Chứng minh rằng $u_{n}$ = $u_{n+3}$ với mọi n $\geq$ 1.
b) Hãy tính tổng 17 số hạng đầu tiên của dãy số đã cho.