VẤN ĐỀ 5: ĐẠO HÀM CẤP CAO

A. KIẾN THỨC CẦN NHỚ

1. Định nghĩa

Đạo hàm cấp n (n $\in$ N, n ≥ 2) của hàm số y = f(x), kí hiệu là $f^{(n)}$(x) (hay $y^{(n)}$), là đạo hàm của đạo hàm cấp (n - 1) của hàm số f(x), tức là

$f^{(n)}$(x) = [$f^{(n-1)}$(x)]'.

2. Ý nghĩa cơ học của đạo hàm cấp hai

Gia tốc tức thời tại thời điểm $t_{0}$ (hay còn nói: gia tốc tại thời điểm $t_{0}$ ) của một chất điểm chuyển động với phương trình s = s(t) là

$\gamma$($t_{0}$) = s"($t_{0}$)

B. GIẢI BÀI TẬP SÁCH GIÁO KHOA

Bài 1

Tìm đạo hàm cấp hai của các hàm số sau tạo các điểm đã chỉ ra:

a) f(x) = $(x+10)^{6}$, f''(2)

b) f(x) = sin 3x, f''(-$\large \frac{\pi }{2}$), f''(0), f''($\large \frac{\pi }{18}$)

Giải

Đáp số:

a) 622 080.

b) f''(-$\large \frac{\pi }{2}$) = -9; f''(0) = 0; f''($\large \frac{\pi }{18}$) = -$\large \frac{9}{2}$

Bài 2

Tìm đạo hàm cấp hai của các hàm số sau:

Giải

C. BÀI TẬP

Bài 1

Cho f(x) = $(2x-3)^{5}$. Tính f'''(3).

Giải

Ta có f'(x) = 5.2 $(2x-3)^{4}$ = 10 $(2x-3)^{4}$

f"(x) = 80 $(2x-3)^{3}$

f'''(x) = 2.240 $(2x-3)^{2}$ = 480 (2x - 3)

Từ đó f'''(3) = 480 $(6-3)^{2}$ = 480 . 9

Vậy: f'''(3) = 4320.

Bài 2

Giải

Bài 3

Giải

Chứng minh tương tự ta cũng được:

D. BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ.

Bài 1

Tính đạo hàm cấp n của hàm số:

y = sin5x cos2x.

Bài 2

Tính đạo hàm cấp n của hàm số

Bài 3

Tính đạo hàm cấp n của hàm số