VẤN ĐỀ 4. PHÉP THỬ VÀ BIẾN CỐ
A. Kiến thức cần nhớ
I. Phép thử, không gian mẫu
1. Phép thử
Phép thử ngẫu nhiên là phép thử mà ta không đoán trước được kết quả của nó, mặc dù đã biết tập hợp tất cả các kết quả có thể có của phép thử đó.
2. Không gian mẫu
Tập hợp các kết quả có thể xảy ra của một phép thử được gọi là không gian mẫu của phép thử và kí hiệu là $\Omega$.
II. Biến cố
Biến cố là một tập con của không gian mẫu.
Tập $\varnothing$ được gọi là biến cố không thể (gọi tắt là biến cố không). Còn tập $\Omega$ được gọi là biến cố chắc chắn.
III. Phép toán trên các biến cố
+ Giả sử A là biến cố liên quan với một phép thử.
Tập $\Omega$ \ A được gọi là biến cố đối của biến cố A.
Kí hiệu $\Omega$ \ A là $\bar{A}$.
+ Giả sử A và B là các biến cố liên quan với một phép thử. Ta có định nghĩa sau:
- Tập A $\cup$ B được gọi là hợp của các biến cố A và B.
- Tập A $\cap$ B được gọi là giao của các biến cố A và B.
- Nếu A $\cap$ B = $\varnothing$ thì ta nói A và B xung khắc.
Theo định nghĩa, A $\cup$ B xảy ra khi và chỉ khi A xảy ra hoặc B xảy ra; A $\cap$ B xảy ra khi và chỉ khi A và B đồng thời xảy ra. Biến cố A $\cap$ B còn được viết là A.B.
A và B xung khắc khi và chỉ khi chúng không khi nào cùng xảy ra.
B. Giải bài tập sách giáo khoa
Bài 1
Gieo một đồng tiền ba lần.
a) Mô tả không gian mẫu.
b) Xác định các biến cố:
A: “Lần đầu xuất hiện mặt sấp”;
B: “Mặt sấp xảy ra đúng một lần”;
C: “Mặt ngửa xảy ra ít nhất một lần”.
Giải
a) Kết quả của ba lần gieo là một dãy có thứ tự các kết quả của từng 1 lần gieo. Do đó
$\Omega$ = {SSS, SSN, NSS, SNS, NNS, NSN, SNN, NNN}
b) A = {SSS, SSN, SNS, SNN}
B = {SNN, NSN, NNS}
C = {NNN, NNS, SNN, NSN, NSS, SSN, SNS} = $\Omega$ \ {SSS}
Bài 2
Gieo một con xúc sắc hai lần.
a) Mô tả không gian mẫu.
b) Phát biểu các biến cố sau dưới dạng mệnh đề:
A = {(6, 1), (6, 2), (6, 3), (6, 4), (6, 5), (6, 6)}
B = {(2, 6), (6, 2), (3, 5), (5, 3), (4,4)}
C = {(1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4), (5, 5), (6, 6)}
Giải
a) Không gian mẫu là tập hợp các kết quả của hai hành động (hai lần gieo). Do đó
$\Omega$ = {(i, j) $\mid$ 1 $\leq$ i, j $\leq$ 6}.
b) A là biến cố “Lần gieo đầu xuất hiện mặt 6 chấm”;
B là biến cố "Tổng số chấm trong hai lần gieo là 8”;
C là biến cố “Kết quả của hai lần gieo như nhau”.
Bài 3
Một hộp chứa bốn cái thẻ được đánh số 1, 2, 3, 4. Lấy ngẫu nhiên hai thẻ.
a) Mô tả không gian mẫu.
b) Xác định các biến cố sau:
A: “Tổng các số trên hai thẻ là số chẵn”;
B: “Tích các số trên hai thẻ là số chẵn”.
Giải
a) $\Omega$ = {(1, 2), (1, 3), (1, 4), (2, 3), (2, 4), (3, 4)}
b) A = {(1, 3), (2, 4)}
B = {(1, 2), (1, 4), (2, 3), (2, 4), (3, 4)} = $\Omega$ \ {(1, 3)}
Bài 4
Hai xạ thủ cùng bắn vào bia. Kí hiệu $A_{k}$ là biến cố: “Người thứ k bắn trúng”, k = 1, 2.
a) Hãy biểu diễn các biến cố sau qua các biến cố $A_{1}$, $A_{2}$:
A: “Không ai bắn trúng”;
B: “Cả hai đều bắn trúng”;
C: “Có đúng một người bắn trúng”;
D: “Có ít nhất một người bắn trúng”;
b) Chứng tỏ rằng A = $\bar{D}$; B và C xung khắc.
Giải
a) A = $\bar{A_{1}}\cap \bar{A_{2}}$ ;
B = $A_{1}\cap A_{2}$;
C = $(A_{1}\cap \bar{A_{2}})\cup (\bar{A_{1}}\cap A_{2})$;
D = $A_{1}\cup A_{2}$
b) $\bar{D}$ là biến cố: “Cả hai người đều bắn trượt”.
Như vậy, $\bar{D}$ = $\bar{A_{1}}\cap \bar{A_{2}}$ = A.
Hiển nhiên B $\cap$ C = $\varnothing$, nên B và C xung khắc
Bài 5
Từ một hộp chứa 10 cái thẻ, trong đó các thẻ đánh số 1, 2, 3, 4, 5 màu đỏ, thẻ đánh số 6 màu xanh và các thẻ đánh số 7, 8, 9, 10 màu trắng. Lấy ngẫu nhiên một thẻ.
a) Mô tả không gian mẫu.
b) Kí hiệu A, B, C là các biến cố sau:
A: “Lấy được thẻ màu đỏ”;
B: “Lấy được thẻ màu trắng”
C: “Lấy được thẻ ghi số chẵn”,
Hãy biểu diễn các biến cố A, B, C bởi các tập hợp con tương ứng của không gian mẫu.
Giải
a) Không gian mẫu $\Omega$ được mô tả bởi tập $\Omega$ = {1, 2,...,10}.
b) A = {1, 2, 3, 4, 5} là biến cố: “Lấy được thẻ màu đỏ”;
B = {7, 8, 9, 10} là biến cố: “Lấy được thẻ màu trắng”;
C = {2, 4, 6, 8, 10} là biến cố: “Lấy được thẻ ghi số chẵn”.
Bài 6
Gieo một đồng tiền liên tiếp cho đến khi lần đầu tiên xuất hiện mặt sấp hoặc cả bốn lần ngửa thì dừng lại.
a) Mô tả không gian mẫu.
b) Xác định các biến cố:
A: “Số lần gieo không vượt quá ba”;
B: "Số lần gieo là bốn”.
Giải
a) Không gian mẫu được mô tả như sau
$\Omega$ = {S, NS, NNS, NNNS, NNNN}
b) A = {S, NS, NNS}
B = {NNNS, NNNN}
Bài 7
Từ một hộp chứa năm quả cầu được đánh số 1, 2, 3, 4, 5 lấy ngẫu nhiên liên tiếp hai lần mỗi lần một quả và xếp theo thứ tự từ trái sang phải.
a) Xây dựng không gian mẫu.
b) Xác định các biến cố sau:
A: “Chữ số sau lớn hơn chữ số trước”;
B: “Chữ số trước gấp đôi chữ số sau”;
C: “Hai chữ số bằng nhau”.
Giải
a) Vì việc lấy là ngẫu nhiên liên tiếp hai lần mỗi lần một quả và xếp thứ tự nên mỗi lần lấy ta được một chỉnh hợp chập 2 của năm chữ số. Vậy không gian mẫu bao gồm các chỉnh hợp chập 2 của năm chữ số:
$\Omega$ = {12, 21, 13, 31, 14, 41, 15, 51, 23, 32, 24, 42, 25, 52, 34, 43, 35, 53, 45, 54}.
b) A = {12, 13, 14, 15, 23, 24, 25, 34, 35, 45};
B = {21, 42};
C. Bài tập đề nghị
Bài 1
Gieo hai con xúc sắc:
a) Mô tả không gian mẫu.
b) Gọi A là biến cố “Tổng số chấm trên mặt xuất hiện của hai con xúc sắc nhỏ hơn hoặc bằng 7”.
Liệt kê các kết quả thuận lợi cho A. Tính P(A).
c) Cũng hỏi như trên cho các biến cố B: “Có ít nhất một con xúc sắc xuất hiện mặt 6 chấm” và C: “Có đúng một con xúc sắc xuất hiện mặt 6 chấm”.
Bài 2
Gieo một con xúc sắc hai lần và chú ý đến số chấm xuất hiện ở mỗi lần gieo.
a) Mô tả không gian mẫu.
b) Xác định các biến cố sau và đếm số phần tử của các biến cố đó:
A: “Số chấm ở hai mặt bằng nhau”;
B: “Tổng số chấm không nhỏ hơn 10”;
C: “Mặt 5 chấm xuất hiện trong lần gieo đầu”;
D: “Mặt 5 chấm xuất hiện ít nhất một lần”.
Bài 3
Có bốn tấm bìa như nhau được đánh số từ 1 đến 4. Rút ngẫu nhiên lần lượt ba tấm và xếp theo thứ tự từ trái sang phải.
a) Mô tả không gian mẫu.
b) Xác định số phần tử của biến cố.
A: “Tổng các số trên ba tấm bìa là 8".