Nhị thức Newton

Nhị thức Newton

VẤN ĐỀ 3. NHỊ THỨC NEWTON

A. Kiến thức cần nhớ

a) Công thức nhị thức Newton:

b) Tính chất:

* Khai triển $(a+b)^{n}$ có n + 1 số hạng.

* Tổng các số mũ của a và b trong mỗi số hạng là n.

* Số hạng thứ k + 1 trong khai triển là:

với k = 0, 1,...n.

B. Giải bài tập sách giáo khoa

Bài 1

Viết khai triển theo công thức nhị thức Niu-tơn:

a) $(a+2b)^{5}$

b) $(a-\sqrt{2})^{6}$

c) $\large (x-\frac{1}{x})^{13}$

Giải

Bài 2

Tìm hệ số của $x^{3}$ trong khai triển của các biểu thức sau:

Giải

a) Hệ số của $x^{3}$ trong khai triển là $C_{15}^{3}$

b) Hệ số của $x^{3}$ trong khai triển là $C_{6}^{0}$ = 1.

Bài 3

Biết hệ số của $x^{2}$ trong khai triển của $(1-3x)^{n}$ là 90, tìm n.

Đáp số: n = 5

Bài 4

Tìm số hạng không chứa x trong khai triển của

Giải

Vì số hạng không chứa x nên

$\large \frac{8-k}{3}$ - k = 0 hay k = 2.

Vậy số hạng đó là $C_{8}^{2}$ = 28

Bài 5

Từ khai triển biểu thức $(3x-4)^{17}$ thành đa thức, hãy tính tổng các hệ số của đa thức nhận được

Giải

Tổng các hệ số của đa thức $(3x-4)^{17}$ là

$(3.1-4)^{17}$ = $(-1)^{17}$ = -1.

Bài 6

Chứng minh rằng:

a) $11^{10}$ - 1 chia hết cho 100.

b) $101^{100}$ - 1 chia hết cho 10000.

c) $\sqrt{10}$ [$(1+\sqrt{10})^{100}$ - $(1-\sqrt{10})^{100}$] là một số nguyên.

Giải

C. Bài tập bổ sung

Bài 1

Với n là số nguyên dương chứng minh rằng

Giải

Bài 2

Viết khai triển Newton của biểu thức $(3x-1)^{16}$. Từ đó chứng minh rằng

Giải

Bài 3

Chứng minh rằng với 3 $\leq$ k $\leq$ n ta có

Giải

Bài 4

Chứng minh rằng với mọi n nguyên và n $\geq$ 2, ta luôn có đẳng thức

Giải

Theo công thức tính chỉnh hợp, ta có

Bài 5

Tìm số hạng không chứa x trong khai triển Newton của $\large (x+\frac{1}{x})^{12}$

Giải

Số hạng không chứa x là số hạng ứng với k thỏa mãn điều kiện 2k - 12 = 0 ⇔ k = 6.

Vậy số hạng không chứa x là

$C_{12}^{6}$ = 924.

Bài 6

Đa thức P(x) = (1 + x) + 2$(1+x)^{2}$ + 3$(1+x)^{3}$ +...+ 20$(1+x)^{20}$ được viết dưới dạng

P(x) = $a_{0}$ + $a_{1}$x + $a_{2}x^{2}$ +...+ $a_{20}x^{20}$. Tìm $a_{15}$.

Giải

Hệ số của $x^{k}$ trong khai triển của $(1+x)^{n}$ là $C_{n}^{k}$. Do đó hệ số của $x^{15}$ trong khai triển của 15$(1+x)^{15}$ là 15$C_{15}^{15}$, trong khai triển của 16$(x+1)^{16}$ là 16$C_{16}^{15}$ ,..., trong khai triển của 20$(1+x)^{20}$ là 20$C_{20}^{15}$. Vậy:

Bài 7.

Tính $a_{8}$.

Giải

Hệ số của $x^{8}$ trong các khai triển của $(1+x)^{8}$, $(1+x)^{9}$, $(1+x)^{10}$ lần lượt là $C_{8}^{8}$, $C_{9}^{8}$, $C_{10}^{8}$. Do đó

$a_{8}$ = $C_{8}^{8}$ + $C_{9}^{8}$ + $C_{10}^{8}$ = 1 + $C_{9}^{1}$ + $C_{10}^{2}$ = 1 + 9 + 45 = 55

Bài 8

Trong khai triển của $\large (3x^{3}-\frac{2}{x^{2}})^{5}$ tìm hệ số của số hạng chứa $x^{10}$

Giải

Số hạng thứ k + 1 trong khai triển của biểu thức đã cho là

Số hạng chứa $x^{10}$ khi và chỉ khi k thỏa mãn phương trình 15 - 5k = 10 ⇔ k = 1.

Vậy hệ số của số hạng chứa $x^{10}$ là $C_{5}^{1}3^{4}(-2)^{1}$ = - 810.

Bài 9

Biết tổng tất cả các hệ số của khai triển nhị thức $(x^{2}+1)^{n}$ bằng 1024, hãy tìm hệ số a (a là số tự nhiên) của số hạng $ax^{12}$ trong khai triển đó.

Giải