Giới hạn của dãy số

Giới hạn của dãy số

CHƯƠNG IV. GIỚI HẠN

VẤN ĐỀ 1. GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ

A. Kiến thức cần nhớ

1. Định nghĩa dãy số có giới hạn 0

Định nghĩa

Ta nói rằng dãy số ($u_{n}$) có giới hạn là 0 (hay có giới hạn 0) nếu mọi số hạng của dãy số đều có giá trị tuyệt đối nhỏ hơn một số dương nhỏ tùy ý cho trước kể từ một số hạng nào đó trở đi.

Khi đó ta viết

, viết tắt là lim($u_{n}$) = 0 hoặc lim $u_{n}$ = 0 hoặc $u_{n}$ → 0.

Nhận xét:

Dãy số ($u_{n}$) có giới hạn 0 khi và chỉ khi dãy số ($\mid u_{n}\mid$) có giới hạn 0.

2. Một số dãy số có giới hạn 0 thường gặp

Dựa vào định nghĩa, người ta chứng minh được rằng

d) Dãy số không đổi ($u_{n}$) với $u_{n}$ = 0 có giới hạn 0

e) $\mid q\mid$ < 1 thì lim $q^{n}$ = 0

3. Định nghĩa giới hạn dãy số

Định nghĩa

Ta nói rằng dãy số ($u_{n}$) có giới hạn là số thực L nếu lim ($u_{n}$ - L) = 0

Khi đó ta viết

, viết tắt là lim ($u_{n}$) = L hoặc lim $u_{n}$ = L hoặc $u_{n}$ → L.

4. Một số định lí

Định lí 1

Giả sử lim $u_{n}$ = L. Khi đó

a) lim $\mid u_{n}\mid$ = $\mid L\mid$ và lim $\sqrt[3]{u_{n}}$ = $\sqrt[3]{L}$;

b) Nếu $u_{n}$ $\geq$ 0 với mọi n thì L $\geq$ 0 và lim $\sqrt{u_{n}}$ = $\sqrt{L}$

Định lí 2

Giả sử lim $u_{n}$ = L, lim $v_{n}$ = M và c là một hằng số. Khi đó

a) Các dãy số ($u_{n}$ + $v_{n}$), ($u_{n}$ - $v_{n}$), ($u_{n}$.$v_{n}$) và (c$u_{n}$) có giới hạn và

lim ($u_{n}$ + $v_{n}$) = L + M,

lim ($u_{n}$ - $v_{n}$) = L - M,

lim ($u_{n}$.$v_{n}$) = LM,

lim (c$u_{n}$) = cL.

b) Nếu M $\neq$ 0 thì dãy số có giới hạn và

Định lí 3 (Định lí kép về giới hạn của dãy số)

Cho ba dãy số ($u_{n}$), ($v_{n}$), ($w_{n}$) và số thực L. Nếu $u_{n}$ $\leq$ $v_{n}$ $\leq$ $w_{n}$ với mọi n và lim$u_{n}$ = lim$w_{n}$ = L thì dãy số ($v_{n}$) có giới hạn và lim$v_{n}$ = L.

Định lí 4

a) Dãy số tăng và bị chặn trên thì có giới hạn.

b) Dãy số giảm và bị chặn dưới thì có giới hạn.

5. Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn

Xét cấp số nhân

$u_{1}$, $u_{1}$q, $u_{1}q^{2}$,..., $u_{1}q^{n}$,...

có vô số số hạng và công bội q với $\mid q\mid$ < 1 (gọi là một cấp số nhân lùi vô hạn).

Ta biết rằng, tổng của n số hạng đầu tiên của cấp số nhân đó là

Ta gọi giới hạn đó là tổng của cấp số nhân đã cho, và viết

B. Giải bài tập sách giáo khoa

Bài 1

Có 1kg chất phóng xạ độc hại. Biết rằng, cứ sau một khoảng thời gian T = 24000 năm thì một nửa số chất phóng xạ này bị phân rã thành chất khác không độc hại đối với sức khỏe của con người (T được gọi là chu kì bán rã).

Gọi $u_{n}$ là khối lượng chất phóng xạ còn lại sau chu kì thứ n.

a) Tìm số hạng tổng quát $u_{n}$ của dãy số ($u_{n}$).

b) Chứng minh rằng ($u_{n}$) có giới hạn là 0.

c) Từ kết quả câu b), chứng tỏ rằng sau một số năm nào đó khối lượng chất phóng xạ đã cho ban đầu không còn độc hại đối với con người, cho biết chất phóng xạ này sẽ không độc hại nữa nếu khối lượng chất phóng xạ còn lại bé hơn $10^{-6}$g.

Giải

a) Nhận xét:

Dự đoán

Chứng minh dự đoán trên bằng quy nạp.

Vì $u_{n}$ → 0, nên có thể nhỏ hơn một số dương bất kì, kể từ một số hạng nào đó trở đi. Như vậy, $\mid u_{n}\mid$ nhỏ hơn kể từ chu kì $n_{0}$ nào đó. Nghĩa là sau một số năm ứng với chu kì này, khối lượng chất phóng xạ không còn độc hại đối với con người.

Bài 2

Biết dãy số ($u_{n}$) thỏa mãn với mọi n. Chứng minh rằng lim$u_{n}$ = 1.

Giải

Vì có thể nhỏ hơn một số dương bất kì, kể từ một số hạng nào đó trở đi. (1)

Mặt khác, ta có

Từ (1) và (2) suy ra $\mid u_{n}-1\mid$ có thể nhỏ hơn một số dương bất kì, kể từ một số hạng nào đó trở đi, nghĩa là lim ($u_{n}-1$) = 0. Do đó, lim $u_{n}$ = 1

Bài 3

Tìm các giới hạn sau:

Giải

ĐS:

a) 2

b) $\large \frac{3}{2}$

c) 5

d) $\large \frac{3}{4}$

Bài 4

Để trang hoàng cho căn hộ của mình, chú chuột Mickey quyết định tô màu một miếng bìa hình vuông cạnh bằng 1. Nó tô màu xám các hình vuông nhỏ được đánh số lần lượt là 1, 2, 3,..., n,..., trong đó cạnh của hình vuông kế tiếp bằng một nửa cạnh hình vuông trước đó. Giả sử quy trình tô màu của Mickey có thể tiến ra vô hạn.

a) Gọi $u_{n}$ là diện tích của hình vuông màu xám thứ n. Tính $u_{1}$, $u_{2}$, $u_{3}$ và $u_{n}$

b) Tính lim$S_{n}$ với $S_{n}$ = $u_{1}$ + $u_{2}$ + $u_{3}$ +...+ $u_{n}$