ÔN TẬP CHƯƠNG II
I. Kiến thức cơ bản
1. Nắm vững định nghĩa quy tắc cộng, quy tắc nhân. Phân biệt hai quy tắc.
2. Nắm vững các khái niệm hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp, nhị thức Niu-tơn.
3. Nắm vững khái niệm phép thử, biến cố, không gian mẫu.
4. Định nghĩa xác suất cổ điển, tính chất của xác suất.
II. Kĩ năng cơ bản
1. Biết cách tính số phần tử của tập hợp dựa vào quy tắc cộng, quy tắc nhân.
2. Phân biệt hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp. Khi nào thì dùng đến chúng để tính số phần tử của tập hợp
3. Biết cách biểu diễn biến cố bằng lời và bằng tập hợp.
4. Biết cách xác định không gian mẫu và tính số phần tử của không gian mẫu.
5. Tính được xác suất của một biến cố.
III. Bài tập
Ghi chú: Các câu hỏi 1, 2, 3 học sinh xem lại phần lí thuyết của sách giáo khoa.
Bài 4
Có bao nhiêu số chẵn có bốn chữ số được tạo thành từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 sao cho:
a) Các chữ số có thể giống nhau?
b) Các chữ số khác nhau?
Giải
Giả sử số tạo thành là $\overline{abcd}$
a) Vì số tạo thành các chữ số có thể lập lại nên để đếm số các số cần tìm, ta lí luận như sau:
- Chọn chữ số hàng đơn vị: d được chọn từ các chữ số 0, 2, 4, 6. Có 4 cách chọn.
- Chọn chữ số hàng nghìn: a có 6 cách chọn từ các chữ số 1, 2,..., 6.
- Chọn chữ số hàng trăm: b được chọn từ bảy chữ số đã cho. Có 7 cách chọn.
- Chọn chữ số hàng chục: c được chọn từ bảy chữ số đã cho nên cũng có 7 cách chọn.
Từ đó theo quy tắc nhân ta có
6.7.7.4 = 1176 (số).
b) Vì các chữ số khác nhau nên các số chẵn có bốn chữ số khác nhau tạo thành từ bảy chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, bao gồm:
• Các số có chữ số hàng đơn vị bằng 0
Nếu d = 0 thì số cách chọn bộ ba chữ số abc là:
$A_{6}^{3}$ = 120 (cách)
Do đó có 120 cách chọn số có bốn chữ số khác nhau mà chữ số hàng đơn vị bằng 0.
• Các số có chữ số hàng đơn vị là số chẵn khác 0
Nếu d $\neq$ 0 thì d có 3 cách chọn, a có 5 cách chọn.
Khi đã chọn a và d rồi thì có $A_{5}^{2}$ = 20 cách chọn bc.
Theo quy tắc nhân, ta có số các số mà d $\neq$ 0 và chẵn là:
3.5. 20 = 300.
Vậy theo quy tắc cộng, số các số chẵn có bốn chữ số khác nhau là
120 + 300 = 420 (số).
Bài 5
Xếp ngẫu nhiên ba bạn nam và ba bạn nữ ngồi vào sau ghế kê theo hàng ngang. Tìm xác suất sao cho:
a) Nam, nữ ngồi xen kẽ nhau.
b) Ba bạn nam ngồi cạnh nhau.
Giải
Vì mỗi cách xếp cho ta một hoán vị của sáu người nên n($\Omega$) = 6!.
Để dễ hình dung, ta đánh số ghế như sau (h.13)
a) Kí hiệu A là biến cố “Nam và nữ ngồi xen kẽ nhau”.
- Nếu nam ngồi đầu bàn (ghế số 1) thì có 3!.3! cách xếp nam, nữ xen kẽ nhau.
- Nếu nữ ngồi đầu bàn thì cũng có 3!.3! cách xếp mà nam, nữ xen kẽ nhau.
Vậy theo quy tắc cộng n(A) = 2.$(3!)^{2}$.
.png)
b) Kí hiệu B là biến cố: “Nam ngồi cạnh nhau”.
- Trước tiên xếp chỗ cho 3 bạn nam, vì 3 bạn nam ngồi cạnh nhau nên chỉ có thể có 4 khả năng ngồi ở các ghế là: (1,2,3), (2,3,4), (3,4,5), (4,5,6). Vì 3 bạn nam có thể đổi chỗ cho nhau nên tất cả là 4. 3! cách xếp cho 3 bạn nam ngồi cạnh nhau vào sáu ghế xếp thành hàng ngang.
- Sau khi đã xếp chỗ cho 3 bạn nam. Ta có 3! cách xếp chỗ 3 bạn nữ vào 3 chỗ còn lại.
Theo quy tắc nhân tố các cách xếp thỏa mãn đầu bài là: 4.3!.3! Vậy
n(B) = 4.3!.3!
.png)
Bài 6
Từ một hộp chứa sáu quả cầu trắng và bốn quả cầu đen, lấy ngẫu nhiên đồng thời bốn quả. Tính xác suất sao cho
a) Bốn quả lấy ra cùng màu;
b) Có ít nhất một quả màu trắng.
Giải
n($\Omega$) = $C_{10}^{4}$ = 210
a) Kí hiệu A: "Bốn quả lấy ra cùng màu". Ta có:
.png)
b) Kí hiệu B: “Trong 4 quả lấy ra có ít nhất một quả trắng”.
Khi đó, $\bar{B}$ là biến cố: “Trong 4 quả lấy ra có đúng 4 quả đen”, n($\bar{B}$ = $C_{4}^{4}$
.png)
Bài 7
Gieo một con xúc xắc ba lần. Tính xác suất sao cho mặt sáu chấm xuất hiện ít nhất một lần.
Giải
Không gian mẫu $\Omega$ = {(a, b, c) | 1 $\leq$ a, b, c $\leq$ 6}.
Vậy theo quy tắc nhân
n($\Omega$) = $6^{3}$ = 216 (phần tử đồng khả năng).
Kí hiệu A: “Không lần nào xuất hiện mặt 6 chấm” thì $\bar{A}$ là biến cố: “Ít nhất một lần xuất hiện mặt 6 chấm”.
Vì n(A) = $5^{3}$ (theo quy tắc nhân) nên .png)
Vậy
.png)
Bài 8
Cho một lục giác đều ABCDEF. Viết các chữ cái A, B, C, D, E, F vào sáu cái thẻ. Lấy ngẫu nhiên hai thẻ. Tìm xác suất sao cho đoạn thẳng mà các đầu mút là các điểm được ghi trên hai thẻ đó là:
a) Cạnh của lục giác;
b) Đường chéo của lục giác
c) Đường chéo nối hai đỉnh đối diện của lục giác.
Giải
Không gian mẫu gồm các tổ hợp chập 2 của 6 (đỉnh), do đó
n($\Omega$) = $C_{6}^{2}$ = 15
Kí hiệu A, B, C là ba biến cố cần tìm xác suất tương ứng với các câu a), b), c).
a) Vì số cạnh của lục giác là 6 nên n(A) = 6, .png)
b) Số đường chéo là n(B) = $C_{6}^{2}$ - 6 = 9. Vậy .png)
.png)
Bài 9
Gieo đồng thời hai con súc sắc. Tính xác suất sao cho:
a) Hai con súc sắc đều xuất hiện mặt chắn
b) Tích các số chấm trên hai con súc sắc là số lẻ.
Giải
$\Omega$ = {(i, j), 1 $\leq$ i, j $\leq$ 6} ⇒ n($\Omega$) = 36
a) A là biến cố “Hai con súc sắc đều xuất hiện mặt chẵn”.
⇒ A = {(i, j) | i, j = 2, 4, 6} nên n(A) = 9.
.png)
b) Gọi B là biến cố “Tích các số chấm trên hai con súc sắc là lẻ”.
⇒ B = {(1; 1), (1; 3), (1; 5), (3; 1), (3; 3), (3; 5), (5; 1), (5; 3), (5; 5)}
⇒ n(B) = 9
.png)
Bài tập trắc nghiệm
Chọn phương án đúng trong các bài tập sau:
10. Lấy hai con bài từ chỗ bài tú lơ khơ 52 con. Số cách lấy là:
A. 104
B. 1326
C . 450
D. 2652
11. Năm người được xếp vào ngồi quanh một bàn tròn với năm ghế. Số cách xếp là:
A. 50
B. 100
C. 120
D. 24
12. Gieo một con súc sắc hai lần. Xác suất để ít nhất một lần xuất hiện mặt sáu chấm là:
A. $\large \frac{12}{36}$
B. $\large \frac{11}{36}$
C. $\large \frac{6}{36}$
D. $\large \frac{8}{36}$
13. Từ một hộp chứa ba quả cầu trắng và hai quả cầu đen lấy ngẫu nhiên hai quả. Xác suất để lấy được cả hai quả trắng là:
A. $\large \frac{9}{30}$
B. $\large \frac{12}{30}$
C. $\large \frac{10}{30}$
D. $\large \frac{6}{30}$
14. Gieo ba con súc sắc. Xác suất để số chấm xuất hiện trên ba con như nhau là:
A. $\large \frac{12}{216}$
B. $\large \frac{1}{216}$
C. $\large \frac{6}{216}$
D. $\large \frac{3}{216}$
15. Gieo một đồng tiền cân đối và đồng chất bốn lần. Xác suất để cả bốn lần xuất hiện mặt sấp là:
A. $\large \frac{4}{16}$
B. $\large \frac{2}{16}$
C. $\large \frac{1}{16}$
D. $\large \frac{6}{16}$
Đáp án bài tập trắc nghiệm
10. B 11. D 12. B
13. A 14.C 15. C