ÔN TẬP CUỐI NĂM
I. CÂU HỎI
1. Nêu định nghĩa các hàm số lượng giác. Chỉ rõ tập xác định và tập giá trị của từng hàm số đó.
2. Cho biết chu kì của mỗi hàm số y = sinx, y = cosx, y = tanx, y = cotx.
3. Nêu cách giải các phương trình lượng giác cơ bản, cách giải phương trình dạng asinx + bcosx = c.
4. Viết công thức tính số hoán vị của tập gồm n phần tử (n > 1). Nêu ví dụ.
5. Viết công thức tính số chỉnh hợp chập k của n phần tử, công thức tính số tổ hợp chập k của n phần tử. Cho ví dụ.
6. Viết công thức nhị thức Niu-tơn.
7. Phát biểu định nghĩa xác suất của biến cố.
8. Nêu rõ các bước chứng minh bằng phương pháp quy nạp toán học và cho ví dụ.
9. Phát biểu định nghĩa cấp số cộng và công thức tính tổng n số hạng đầu tiên của một cấp số cộng.
10. Phát biểu định nghĩa cấp số nhân và công thức tính tổng n số hạng đầu tiên của một cấp số nhân.
11. Dãy số ($u_{n}$) thỏa mãn điều kiện gì thì được gọi là có giới hạn 0 khi n dần tới dương vô cực?
12. Viết công thức tính tổng của một cấp số nhân lùi vô hạn.
13. Định nghĩa hàm số có giới hạn + $\infty$ khi x → -$\infty$
14. Nêu các giới hạn đặc biệt của dãy số và của hàm số.
15. Nêu định nghĩa hàm số liên tục tại một điểm, trên một khoảng. Nêu hình ảnh hình học của một hàm số liên tục trên một khoảng
16. Phát biểu định nghĩa đạo hàm của hàm số y = f(x) tại x = $x_{0}$
17. Viết tất cả các quy tắc tính đạo hàm đã học.
18. Giả sử y = f(x) là hàm số có đạo hàm tại $x_{0}$. Hãy viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f(x) tại điểm $M_{0}$($x_{0}$; f($x_{0}$)).
II. BÀI TẬP
Bài 1
Cho hàm số y = cos2x.
a) Chứng minh rằng cos2(x + k$\pi$) = cos2x với mọi số nguyên k. Từ đó vẽ đồ thị (C) của hàm số y = cos2x.
b) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm có hoành độ .png)
c) Tìm tập xác định của hàm số .png)
Giải
a) cos2(x + k$\pi$) = cos(2x + k2$\pi$) = cos2x
b) y = cos2x; y' = -2sin2x
.png)
c) Vì 1 + $cos^{2}$2x > 0 $\forall$ x, nên hàm số xác định với 1 - cos2x $\geq$ 0
⇔ cos2x $\leq$ 1, điều này xảy ra với mọi x
Vậy hàm số xác định với mọi x
Bài 2
Cho hàm số .png)
a) Tính .png)
biết rằng tan$\alpha$ = 0,2.
b) Tính đạo hàm của hàm số đã cho.
c) Xác định các khoảng nghịch biến của hàm số đã cho.
Giải
.png)
Bài 3
Giải các phương trình:
.png)
Giải
.png)
.png)
.png)
Bài 4
Trong một bệnh viện có 40 bác sĩ ngoại khoa. Hỏi có bao nhiêu cách phân công ca mổ, nếu mỗi ca gồm:
a) Một bác sĩ mổ và một bác sĩ phụ?
b) Một bác sĩ mổ và bốn bác sĩ phụ?
Giải
Đáp số:
a) $A_{40}^{2}$ = 1560
b) 40$C_{39}^{4}$
Bài 5
Tìm số hạng không chứa a trong khai triển của nhị thức
.png)
Giải
Số hạng phải tìm là $C_{17}^{8}$
Bài 6
Chọn ngẫu nhiên ba học sinh từ một tổ gồm có sáu nam và bốn nữ. Tính xác suất sao cho:
a) Cả ba học sinh đều là nam
b) Có ít nhất một nam
.png)
Bài 7
Một tiểu đội có 10 người được xếp ngẫu nhiên thành hàng dọc, trong đó có anh A và anh B. Tính xác suất sao cho:
a) A và B đứng liền nhau.
b) Trong hai người đó có một người đứng ở vị trí số 1 và người kia đứng ở vị trí cuối cùng.
Giải
Đáp số:
a) 2.9!
b) 2.8!
Bài 8
Tìm cấp số cộng tăng, biết rằng tổng ba số hàng đầu của nó bằng 27 và tổng của các bình phương của chúng bằng 275.
Giải
.png)
Giải phương trình, ta có: $u_{1}$ = 13, $u_{1}$ = 5.
Vì d = 9 - $u_{1}$ = 9 - 13 < 0 không thỏa mãn điều kiện cấp số cộng tăng, do đó phải loại trừ trường hợp này.
Đáp số: $u_{1}$ = 5, d = 4.
Bài 9
Cho biết trong một cấp số nhân, hiệu của số hạng thứ ba và số hạng thứ hai bằng 12 và nếu thêm 10 vào số hạng thứ nhất, thêm 8 vào số hạng thứ hai còn giữ nguyên số hạng thứ ba thì ba số mới lập thành một cấp số cộng. Hãy tính tổng của năm số hạng đầu của cấp số nhân đã cho.
Giải
Kí hiệu các số hạng của cấp số nhân đã cho là $u_{1}$, $u_{2}$, $u_{3}$, ..., công bội là q. Theo giả thiết ta có:
.png)
.png)
Bài 10
.png)
Giải
.png)
Bài 11
Cho hai dãy số ($u_{n}$), ($v_{n}$) với .png)
a) Tính lim $u_{n}$
b) Chứng minh rằng lim $v_{n}$ = 0.
Giải
.png)
Bài 12
Chứng minh rằng hàm số y = cosx không có giới hạn khi x → +$\infty$
Giải
Chọn $u_{n}$ = $\large \frac{\pi }{2}$ + n2$\pi$; $v_{n}$ = (2n +1)$\pi$
Ta thấy $u_{n}$ → +$\infty$ (n → +$\infty$)
Và $v_{n}$ → +$\infty$ (n → +$\infty$)
Nhưng lim y($u_{n}$) = 0; lim y($v_{n}$) = -1.
Vậy hàm số y = cosx không có giới hạn khi x → +$\infty$.
Bài 13
Tính các giới hạn sau:
.png)
Giải
.png)
.png)
Bài 14
Chứng minh rằng phương trình sau có ít nhất một nghiệm:
sinx = x - 1
Giải
Xét hàm số f(x) = x - 1 - sinx và hai số 0 ; $\pi$.
Ta có f(0) = -1 < 0; f($\pi$) = $\pi$ - 1 > 0 nên phương trình đã cho có ít nhất một nghiệm trong khoảng (0; $\pi$). Vậy phương trình đã cho có ít nhất một nghiệm.
Bài 15
Phương trình sau có nghiệm hay không trong khoảng (-1; 3)?
$x^{4}$ - 3$x^{3}$ + x - 1 = 0
Giải
Xét hàm số f(x) = $x^{4}$ - 3$x^{3}$ + x - 1 và hai số -1; 0.
f(-1) = 2 > 0 ; f(0) = -1 và hàm y = f(x) liên tục trên khoảng (-1; 0).
Vậy $\exists$c $\in$ (-1; 0) để f(c) = 0 hay phương trình có ít nhất một nghiệm trong khoảng (-1; 0).
Vậy phương trình có nghiệm trong khoảng (-1; 3).
Bài 16
Giải các phương trình:
a) f'(x) = g(x) với f(x) = $sin^{3}$2x và g(x) = 4cos2x - 5sin4x
b) f'(x) = 0 với f(x) = 20 cos3x +12cos5x - 15cos4x
Giải
.png)
.png)
Bài 17
Tính đạo hàm của các hàm số sau:
.png)
Giải
Đáp số:
.png)
.png)
Bài 18
Tính đạo hàm cấp hai của các hàm số sau:
.png)
Giải
.png)
Bài 19
Cho hàm số f(x) = $x^{3}$ + b$x^{2}$ + cx + d (C)
Hãy xác định các số b, c, d biết rằng đồ thị (C) của hàm số y = f(x) đi qua các điểm (-1; -3), (1; -1) và f'($\large \frac{1}{3}$) = 0
Giải
Đáp số:
b = -$\large \frac{1}{2}$; c = 0; d = -$\large \frac{3}{2}$
Bài 20
Cho các hàm số
f(x) = $x^{3}$ + b$x^{2}$ + cx + d (C)
g(x) = $x^{2}$ - 3x + 1
Với các số b, c, d tìm được ở bài 19, hãy:
a) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm có hoành độ x = -1
b) Giải phương trình f'(sinx) = 0.
.png)
Giải
Đáp số:
a) y = 4x + 1
.png)
c) 5