CHƯƠNG II. TỔ HỢP VÀ XÁC SUẤT

VẤN ĐỀ 1. QUY TẮC ĐẾM

A. Kiến thức cần nhớ

1. Quy tắc cộng

Quy tắc cộng: Giả sử một công việc có thể được tiến hành theo một trong k phương án $A_{1}$, $A_{2}$,..., $A_{k}$. Phương án $A_{1}$ có thể thực hiện theo $n_{1}$ cách, phương án $A_{2}$ có thể thực hiện $n_{2}$ cách,..., phương án $A_{k}$ có thể thực hiện theo $n_{k}$ cách. Khi đó công việc có thể thực hiện theo $n_{1}$ + $n_{2}$ + ... + $n_{k}$ cách.

2. Quy tắc nhân

Quy tắc nhân: Giả sử một công việc nào đó bao gồm k công đoạn $A_{1}$, $A_{2}$,...,$A_{k}$. Công đoạn $A_{1}$ có thể thực hiện $n_{1}$ cách, công đoạn $A_{2}$ có thể thực hiện theo $n_{2}$ cách,..., công đoạn $A_{k}$ có thể thực hiện theo $n_{k}$ cách. Khi đó công việc có thể thực hiện $n_{1}$$n_{2}$...$n_{k}$ cách.

B. Giải bài tập sách giáo khoa.

Bài 1

Từ các chữ số 1, 2, 3, 4 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm:

a) Một chữ số?

b) Hai chữ số

c) Hai chữ số khác nhau?

Giải

a) Đáp số: 4 số

b) Số có hai chữ số như vậy có dạng $\bar{ab}$ , trong đó a, b $\in$ {1, 2, 3, 4}. Từ đó theo quy tắc nhân, ta có số các số cần tìm là

4.4 = 16 (số).

c) Số cần tìm có dạng $\bar{ab}$ , trong đó a $\in$ {1, 2, 3, 4}, b $\in$ {1, 2, 3, 4} \ {a}.

Từ đó, số các số cần tìm là

4.3 = 12 (số).

Bài 2

Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên bé hơn 100?

Giải

Các số thỏa mãn đầu bài là các số có không quá hai chữ số, được thành lập từ các chữ số 1, 2,..., 6.

Tương tự bài 1, ta có số các số cần tìm là

6 + $6^{2}$ = 42 (số).

Bài 3

Các thành phố A, B, C, D được nối với nhau bởi các con đường như hình. Hỏi:

a) Có bao nhiêu cách đi từ A đến D, qua B và C chỉ một lần?

b) Có bao nhiêu cách đi từ A đến D rồi quay lại A?

Giải

a) Từ A đến B có 4 con đường, từ B đến C có 2 con đường, từ C đến D có 3 con đường.

Từ A muốn đi đến D bắt buộc phải đi qua B và C.

Vậy theo quy tắc nhân, số cách đi từ A đến D là

4.2.3 = 24 (cách).

b) Tương tự, ta có số cách đi từ A đến D rồi trở về A là

4.2.3.3.2.4 = $24^{2}$ = 576 (cách).

Bài 4

Có ba kiểu mặt đồng hồ đeo tay (vuông, tròn, elip) và bốn kiểu dây (kim loại, da, vải và nhựa), Hỏi có bao nhiêu cách chọn một chiếc đồng hồ gồm một mặt và một dây?

Giải

Theo quy tắc nhân, số các cách chọn một chiếc đồng hồ là

3.4 = 12 (cách).

C. Bài tập bổ sung

Bài 1

Trong một trường THPT ở khối 11 có: 160 học sinh tham gia Câu lạc bộ Tin học, 140 học sinh tham gia Câu lạc bộ Ngoại ngữ, 50 học sinh tham gia cả hai Câu lạc bộ và 100 học sinh không tham gia Câu lạc bộ nào trong hai Câu lạc bộ nêu trên. Hỏi khối 11 ở trường đó có bao nhiêu học sinh?

Giải

Chú ý kết quả sau:

Cho hai tập hợp hữu hạn bất kì A và B. Khi đó số phần tử của A $\cap$ B bằng số phần tử của A cộng với số phần tử của B rồi trừ đi số phần tử của A $\cap$ B, tức là

$\mid$A $\cup$ B$\mid$ = $\mid$A$\mid$ + $\mid$B$\mid$ - $\mid$A $\cap$ B$\mid$

Gọi tập hợp học sinh khối 11 ở trường THPT tham gia Câu lạc bộ Tin học và Câu lạc bộ Ngoại ngữ lần lượt là A và B.

Khi đó tập hợp học sinh khối 11 ở trường đó tham gia Câu lạc bộ (Tin học hoặc Ngoại ngữ) là A $\cup$ B.

Theo bài ra ta có $\mid$A$\mid$ = 160; $\mid$B$\mid$ = 140; $\mid$A $\cap$ B$\mid$ = 50.

Theo quy tắc cộng mở rộng, số học sinh khối 11 tham gia Câu lạc bộ (Tin học hoặc Ngoại ngữ) là

$\mid$A $\cup$ B$\mid$ = $\mid$A$\mid$ + $\mid$B$\mid$ - $\mid$A $\cap$ B$\mid$ = 160 + 140 - 50 = 250

Vậy khối 11 ở trường đó có 250 + 100 = 350 (học sinh).

Bài 2

Cho một tập A = {1, 2, 3, 4, 5}. Có bao nhiêu số tự nhiên gồm ba chữ số đôi một khác nhau?

Giải

Gọi số tự nhiên có ba chữ số cần tìm là: n = $\overline{a_{1}a_{2}a_{3}}$ trong đó:

$a_{1}$ có 5 cách chọn

$a_{2}$ có 4 cách chọn

$a_{3}$ có 3 cách chọn

⇒ Số các số tự nhiên n cần tìm là: 3.4.5 = 60 số

Bài 3

Cho tập hợp A = {0, 1, 2, 3, 4, 5}. Có bao nhiêu số gồm năm chữ số đôi một khác nhau được tạo từ các chữ số trong tập hợp A?

Giải

Gọi số có năm chữ số đôi một khác nhau cần tìm là: n = $\overline{a_{1}a_{2}a_{3}a_{4}a_{5}}$ trong đó:

$a_{1}$ có 5 cách chọn (vì để số n có nghĩa thì $a_{1}$ $\neq$ 0)

$a_{2}$ có 5 cách chọn

$a_{3}$ có 4 cách chọn

$a_{4}$ có 3 cách chọn

$a_{5}$ có 2 cách chọn

⇒ Có 2.3.4.5.5 = 600 số n cần tìm.

Bài 4

Từ năm chữ số 0, 1, 3, 5, 7 có thể lập được bao nhiêu số gồm bốn chữ số khác nhau và không chia hết 5?

Giải

Gọi số có bốn chữ số khác nhau là: n = $\overline{a_{1}a_{2}a_{3}a_{4}}$

Do số n không chia hết cho 5 nên $a_{4}$ $\neq$ {0, 5}.

⇒ $a_{4}$ có 3 cách chọn ($a_{4}$ = {1, 3, 7})

$a_{1}$ có 3 cách chọn (do $a_{1}$ $\neq$ 0)

$a_{2}$ có 3 cách chọn

$a_{3}$ có 2 cách chọn

⇒ Có 2.3.3.3 = 54 số cần tìm.