CHƯƠNG 3. DÃY SỐ. CẤP SỐ CỘNG VÀ CẤP SỐ NHÂN
VẤN ĐỀ 1. PHƯƠNG PHÁP QUY NẠP
A. Kiến thức cần nhớ
Để chứng minh mệnh để chứa biến nguyên dương A(n) là một mệnh đề đúng với mọi số nguyên n $\geq$ p (p $\in$ N* cho trước) bằng phương pháp quy nạp, cần thực hiện hai bước sau:
Bước 1 (bước cơ sở). Chứng minh A(n) là một mệnh đề đúng khi n = p.
Bước 2 (bước quy nạp). Với k là một số nguyên dương tùy ý lớn hơn hoặc bằng p, xuất phát từ giả thiết A(n) là một mệnh đề đúng khi n = k, chứng minh A(n) cũng là một mệnh đề đúng khi n = k + 1.
B. Giải bài tập sách giáo khoa
Bài 1
Chứng minh rằng với n $\in$ N* ta có các đẳng thức:
.png)
Giải
a) Bước 1: Khi n = 1, vế trái chỉ có một số hạng là 2, vế phải bằng $\large \frac{1.(3.1+1)}{2}$ = 2
Vậy hệ thức a) đúng.
Bước 2: Đặt vế trái bằng $S_{n}$
Giả sử đẳng thức a) đúng với n = k $\geq$ 1, tức là
.png)
(giả thiết quy nạp).
Ta phải chứng minh rằng a) cũng đúng với n = k + 1, nghĩa là phải chứng minh:
.png)
Thật vậy, từ giả thiết quy nạp ta có:
.png)
Vậy hệ thức a) đúng với mọi n $\in$ N*.
b) Với n = 1, hệ thức đúng.
Đặt vế trái bằng $S_{n}$.
Giả sử có .png)
Ta phải chứng minh .png)
Thật vậy, từ giả thiết quy nạp ta có
.png)
Vậy hệ thức b) đúng với mọi n $\in$ N*.
c) Hệ thức c) đúng với n = 1. Đặt vế trái bằng $S_{n}$.
Giả sử đã có:
.png)
Ta phải chứng minh
.png)
Thật vậy, từ giả thiết quy nạp ta có:
.png)
.png)
Vậy hệ thức c) đúng với mọi n $\in$ N*
Bài 2
Chứng minh rằng với n $\in$ N* ta có:
a) $n^{3}$ + 3$n^{2}$ + 5n chia hết cho 3;
b) $4^{n}$ + 15n - 1 chia hết cho 9;
c) $n^{3}$ + 11n chia hết cho 6.
Giải
a) Đặt $S_{n}$ = $n^{3}$ + 3$n^{2}$ + 5n
Với n = 1 thì $S_{1}$ = 9 $\vdots$ 3.
Giả sử với k $\geq$ 1 đã có $S_{k}$ = ($k^{3}$ + 3$k^{2}$ + 5k) $\vdots$ 3.
Ta phải chứng minh rằng $S_{k+1}$ $\vdots$ 3.
Thật vậy: $S_{k+1}$ = $(k+1)^{3}$ + 3$(k+1)^{2}$ + 5(k + 1)
= $k^{3}$ + 3$k^{2}$ + 3k + 1 + 3$k^{2}$ + 6k + 3 + 5k + 5
= $k^{3}$ + 3$k^{2}$ + 5k + 3$k^{2}$ + 9k + 9
hay $S_{k+1}$ = $S_{k}$ + 3($k^{2}$ + 3k + 3).
Theo giả thiết quy nạp thì $S_{k}$ $\vdots$ 3, ngoài ra 3($k^{2}$ + 3k + 3) $\vdots$ 3 nên $S_{k+1}$ $\vdots$ 3.
Vậy $S_{n}$ $\vdots$ 3 với mọi n $\in$ N*
b) Đặt $S_{n}$ = $4^{n}$ + 15n - 1.
Với n = 1, $S_{1}$ = $4^{1}$ + 15.1 - 1 = 18 $\vdots$ 9.
Giả sử với k $\geq$ 1 thì $S_{k}$ = $4^{k}$ + 15k - 1 chia hết cho 9.
Ta phải chứng minh $S_{k+1}$ $\vdots$ 9.
Thật vậy, ta có:
$S_{k+1}$ = $4^{k+1}$ + 15(k + 1) - 1 = 4($4^{k}$ + 15k - 1) - 45k + 18
= 4$S_{k}$ - 9(5k - 2)
Theo giả thiết quy nạp thì $S_{k}$ $\vdots$ 9 nên 4$S_{k}$ $\vdots$ 9, mặt khác 9(5k - 2) $\vdots$ 9, do đó $S_{k+1}$ $\vdots$ 9
Vậy $S_{n}$ $\vdots$ 9 với mọi n $\in$ N*
c) Đặt $A_{n}$ = $n^{3}$ + 11n.
Với n = 1, ta có $A_{1}$ = $1^{3}$ + 11 = 12 $\vdots$ 6.
Giả sử với n = k $\geq$ 1 đã có:
$A_{k}$ = ($k^{3}$ + 11k) $\vdots$ 6
Ta phải chứng minh $A_{k+1}$ $\vdots$ 6.
Thật vậy, ta có:
$A_{k+1}$ = $(k+1)^{3}$ + 11(k + 1) = $k^{3}$ + 3$k^{2}$ + 3k + 1 + 11k + 11
= ($k^{3}$ + 11k) + 3($k^{2}$ + k + 4) = $A_{k}$ + 3($k^{2}$ + k + 4).
Vì $A_{k}$ $\vdots$ 6 và $k^{2}$ + k + 4 = k(k + 1) + 4 là số chẵn nên $A_{k+1}$ $\vdots$ 6.
Vậy $A_{n}$ = $n^{3}$ + 11n chia hết cho 6 với mọi n $\in$ N*
Bài 3
Chứng minh với mọi số tự nhiên n $\geq$ 2, ta có các bất đẳng thức:
a) $3^{n}$ > 3n + 1
b) $2^{n+1}$ > 2n + 3
Giải
a) Dễ thấy bất đẳng thức đúng với n = 2.
Giả sử bất đẳng thức đúng với n = k $\geq$ 2, tức là
$3^{k}$ > 3k +1 (1)
Nhân hai vế của (1) với 3, ta được
$3^{k+1}$ > 9k + 3 ⇔ $3^{k+1}$ > 3k + 4 + 6k - 1.
Vì 6k - 1> 0 nên
$3^{k+1}$ > 3k + 4 hay $3^{k+1}$ > 3(k + 1) + 1
tức là bất đẳng thức đúng với n = k + 1.
Vậy $3^{n}$ > 3n + 1 với mọi số tự nhiên n $\geq$ 2.
b) Với n = 2 thì vế trái bằng 8, vế phải bằng 7.
Vậy bất đẳng thức đúng.
Giả sử bất đẳng thức đúng với n = k $\geq$ 1, tức là
$2^{k+1}$ > 2k + 3 (2)
Ta phải chứng minh nó cũng đúng khi n = k + 1, nghĩa là phải chứng minh:
$2^{k+2}$ > 2(k + 1) + 3 ⇔ $2^{k+2}$ > 2k + 5
Nhân hai vế của bất đẳng thức (2) với 2, ta được:
$2^{k+2}$ > 4k + 6 ⇔ $2^{k+2}$ > 2k + 5 + 2k + 1.
Vì 2k +1 > 0 nên $2^{k+2}$ > 2k + 5.
Vậy $2^{n+1}$ > 2n + 3 với mọi số tự nhiên n $\geq$ 2.
Bài 4
Cho tổng .png)
a) Tính $S_{1}$, $S_{2}$, $S_{3}$
b) Dự đoán công thức tính tổng $S_{n}$ và chứng minh bằng quy nạp.
Giải
a) Ta có
.png)
b) Từ câu a) ta dự đoán
.png)
Ta sẽ chứng minh đẳng thức (1) bằng phương pháp quy nạp.
Khi n = 1: .png)
. Vậy đẳng thức (1) đúng.
Giả sử đẳng thức (1) đúng với n = k $\geq$ 1, tức là
.png)
Ta phải chứng minh nó cũng đúng khi n = k +1, nghĩa là phải chứng minh
.png)
tức là đẳng thức (1) cũng đúng với n = k + 1.
Vậy đẳng thức (1) đã được chứng minh.
Bài 5
Chứng minh số đường chéo của một đa giác lồi n cạnh là .png)
Giải
.png)
Với n = 4, ta có tứ giác.
Thay n = 4 vào công thức, ta có số đường chéo của tứ giác theo công thức là
.png)
Vì tứ giác có hai đường chéo nên công thức là đúng.
Vậy khẳng định là đúng với n = 4.
Giả sử đa giác lồi k cạnh (k $\geq$ 4) có số đường chéo là .png)
(giả thiết quy nạp).
Xét đa giác lồi k + 1 cạnh.
Ta phải chứng minh công thức đúng với k + 1, nghĩa là phải chứng minh đa giác lồi k + 1 cạnh có số đường chéo là
.png)
Nối $A_{1}$ và $A_{k}$, ta được đa giác k cạnh $A_{1}A_{2}...A_{k}$ có .png)
đường chéo (giả thiết quy nạp).
Nối $A_{k+1}$ với các đỉnh $A_{2}$, $A_{3}$,..., $A_{k-1}$, ta được thêm k - 2 đường chéo, ngoài ra $A_{1}A_{k}$ cũng là một đường chéo.
Vậy số đường chéo của đa giác k + 1 cạnh là
.png)
Như vậy, khẳng định cũng đúng với đa giác k + 1 cạnh.
Vậy bài toán đã được chứng minh.
C. Bài tập bổ sung
Bài 1
Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n, ta luôn có các đẳng thức sau:
.png)
.png)
Giải
a) Ta sẽ chứng minh .png)
với mọi số nguyên dương n, bằng phương pháp quy nạp.
Với n = 1, ta có 1 = $\large \frac{1.(1+1)}{2}$. Như vậy, (1) đúng khi n = 1.
Giả sử (1) đúng khi n = k, k $\in$ N*, ta sẽ chứng minh nó cũng đúng khi n = k + 1.
Thật vậy, từ giả thiết quy nạp ta có
.png)
Từ các chứng minh trên suy ra (1) đúng với mọi số nguyên dương n.
b) Bằng phương pháp quy nạp, ta sẽ chứng minh
.png)
với mọi n $\geq$ 1.
Với n = 1, ta có .png)
Như thế, (1) đúng khi n = 1.
Giả sử đã có (1) đúng khi n = k, k $\in$ N*, ta sẽ chứng minh nó cũng đúng khi n = k + 1.
Thật vậy, từ giả thiết quy nạp ta có
.png)
Từ các chứng minh trên suy ra (1) đúng với mọi n $\geq$ 1.
c) Ta sẽ chứng minh
.png)
với mọi số nguyên dương n, bằng phương pháp quy nạp.
Với n = 1, ta có .png)
, chứng tỏ (1) đúng khi n = 1.
Giả sử (1) đúng khi n = k, k $\in$ N*, ta sẽ chứng minh nó cũng đúng khi n = k + 1.
Thật vậy, từ giả thiết quy nạp ta có
.png)
.png)
Từ các chứng minh trên suy ra (1) đúng với mọi số nguyên dương n.
Bài 2
Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n, ta luôn có bất đẳng thức
.png)
Giải
Ta sẽ chứng minh
.png)
với mọi n $\in$ N*, bằng phương pháp quy nạp.
Với n = 1, ta có 1 < $2\sqrt{1}$. Như vậy, (1) đúng khi n = 1.
Giả sử (1) đúng khi n = k, k $\in$ N*, ta sẽ chứng minh nó cũng đúng khi n = k + 1.
Thật vậy, từ giả thiết quy nạp, ta có
.png)
Từ (2) và (3) ta được điều cần chứng minh.
Từ các chứng minh trên suy ra (1) đúng với mọi số nguyên dương n.
Bài 3
Cho số thực x $\neq$ k2$\pi$, k $\in$ Z. Chứng minh rằng
.png)
Giải
Ta sẽ chứng minh
.png)
với mọi n $\in$ N*, bằng phương pháp quy nạp.
Dễ thấy (1) đúng khi n = 1.
Giả sử (1) đúng khi n = k, k $\in$ N*, ta sẽ chứng minh nó cũng đúng khi n = k + 1.
Thật vậy, từ giả thiết quy nạp ta có
.png)
Từ các chứng minh trên suy ra, (1) đúng với mọi số nguyên dương n.
Bài 4
Với mỗi số nguyên dương n, đặt $u_{n}$ = 5. $2^{3n-2}$ + $3^{3n-1}$. Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n, ta luôn có $u_{n}$ chia hết cho 19.
Giải
Ta sẽ chứng minh
$u_{n}$ $\vdots$ 19 (1)
với mọi số nguyên dương n, bằng phương pháp quy nạp.
Với n = 1, ta có
.png)
Suy ra (1) đúng khi n = 1.
Giả sử (1) đúng khi n = k, k $\in$ N*, ta sẽ chứng minh nó cũng đúng khi n = k + 1.
Thật vậy, ta có
.png)
Vì $u_{k}$ $\vdots$ 19 (theo giả thiết quy nạp), nên từ (2) ta được điều cần chứng minh.
Từ các chứng minh trên suy ra (1) đúng với mọi số nguyên dương n.
D. Bài tập đề nghị
Bài 1
Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n $\geq$ 2, ta có các bất đẳng thức:
a) $3^{n}$ > 3n+ 1
b) $2^{n}$ - n > $\large \frac{3}{2}$
Bài 2
Cho tổng .png)
a) Tính $S_{1}$, $S_{2}$, $S_{3}$
b) Dự đoán công thức tính $S_{n}$, và chứng minh bằng quy nạp.
Bài 3
Chứng minh rằng tổng số đo các góc của đa giác lồi n cạnh (n $\geq$ 4) là 2(n - 2) vuông.