VẤN ĐỀ 2. GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ
A. Kiến thức cần nhớ
I. Giới hạn hữu hạn của hàm số tại một điểm
1. Định nghĩa
Định nghĩa 1
Cho khoảng K chứa điểm $x_{0}$ và hàm số y = f(x) xác định trên K hoặc trên K \ {$x_{0}$}.
Ta nói hàm số y = f(x) có giới hạn là số L khi x dần tới $x_{0}$ nếu với dã số ($x_{n}$) bất kì, $x_{n}$ $\in$ K \ {$x_{0}$} và $x_{n}$ → $x_{0}$, ta có f($x_{n}$) → L.
Kí hiệu 
hay f(x) → L khi x → $x_{0}$ .
2. Định lí về giới hạn hữu hạn
Định lí 1
a) Giả sử .png)
. Khi đó
.png)
.png)
(Dấu của f(x) được xét trên khoảng đang tìm giới hạn, với x $\neq$ $x_{0}$)
3. Giới hạn một bên
Định nghĩa 2
- Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng ($x_{0}$; b).
Số L được gọi là giới hạn bên phải của hàm số y = f(x) khi x → $x_{0}$ nếu với dãy số ($x_{n}$) bất kì, $x_{0}$ < $x_{n}$ < b và $x_{n}$ → $x_{0}$, ta có f($x_{n}$) → L.
Kí hiệu: .png)
- Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng (a; $x_{0}$).
Số L được gọi là giới hạn bên trái của hàm số y = f(x) khi x → $x_{0}$, nếu với dãy số ($x_{n}$) bất kì, a < $x_{n}$ < $x_{0}$ và $x_{n}$ → $x_{0}$, ta có f($x_{n}$) → L.
Kí hiệu: .png)
Định lí 2
.png)
II. Giới hạn hữu hạn của hàm số tại vô cực
Định nghĩa 3
a) Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng (a; +$\infty$).
Ta nói hàm số y = f(x) có giới hạn là số L khi x → +$\infty$ nếu với dãy số ($x_{n}$) bất kì, $x_{n}$ > a và $x_{n}$ → +$\infty$, ta có f($x_{n}$) → L.
Kí hiệu: .png)
hay f(x) → L khi x → +$\infty$
b) Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng (-$\infty$; a).
Ta nói hàm số y = f(x) có giới hạn là số L khi x → -$\infty$ nếu với dãy số ($x_{n}$) bất kì, $x_{n}$ < a và $x_{n}$ → -$\infty$, ta có f($x_{n}$) → L.
Kí hiệu: .png)
hay f(x) → L khi x → -$\infty$.
III. Giới hạn vô cực của hàm số
1. Giới hạn vô cực
Định nghĩa 4
Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng (a; +$\infty$).
Ta nói hàm số y = f(x) có giới hạn là -$\infty$ khi x → +$\infty$ nếu với dãy số ($x_{n}$) bất kì, $x_{n}$ > a và $x_{n}$ → +$\infty$, ta có f($x_{n}$) → -$\infty$.
Kí hiệu: .png)
hay f(x) → -$\infty$ khi f($x_{n}$) → +$\infty$.
Nhận xét:
.png)
2. Một vài giới hạn đặc biệt
.png)
3. Một vài quy tắc về giới hạn vô cực
a) Quy tắc tìm giới hạn của tích f(x).g(x)
.png)
b) Quy tắc tìm giới hạn của thương .png)
.png)
B. Giải bài tập sách giáo khoa
Bài 1
Dùng định nghĩa, tìm các giới hạn sau:
.png)
Giải
.png)
.png)
Bài 2
.png)
Tính lim $u_{n}$, lim $v_{n}$, lim f($u_{n}$) và lim f($v_{n}$).
Từ đó có kết luận gì về giới hạn của hàm số đã cho khi x → 0?
Giải
.png)
Vì $u_{n}$ → 0 và $v_{n}$ → 0, nhưng lim f($u_{n}$) $\neq$ lim f($v_{n}$) nên hàm số y = f(x) không có giới hạn khi x → 0.
Bài 3
Tính các giới hạn sau:
.png)
Giải
Đáp số:
a) -4 b) 4 c) $\large \frac{1}{6}$
d) -2 e) 0 f) -$\infty$
Bài 4
Tìm các giới hạn sau:
.png)
Giải
Đáp án
a) +$\infty$
b) +$\infty$
c) -$\infty$
Bài 5
Cho hàm số .png)
, có đồ thị như trên hình.
.png)
a) Quan sát đồ thị và nêu nhận xét về hàm số đã cho khi x → -$\infty$, x → $3^{-}$ và x → -$3^{+}$.
b) Kiểm tra các nhận xét trên bằng cách tính các giới hạn sau:
.png)
với f(x) được xét trên khoảng (-$\infty$; -3)
.png)
với f(x) được xét trên khoảng (-3; 3),
.png)
với f(x) được xét trên khoảng (-3; 3).
Giải
Đáp số
.png)
Bài 6
Tính:
.png)
Giải
Đáp số:
a) +$\infty$
b) +$\infty$
c) +$\infty$
d) -1
C. Bài tập bổ sung
Bài 1
.png)
Giải
Ta có dạng vô định $\large \frac{0}{0}$. Nhân và chia tử và mẫu của phân thức với x + $\sqrt{2x-1}$, ta được
.png)
Bài 2
.png)
Giải
Ta có dạng vô định $\large \frac{\infty }{\infty }$. Với mọi x < 0, ta có
.png)
Bài 3
.png)
Giải
.png)
Bài 4
.png)
Giải
.png)
Bài 5
Tìm các giới hạn sau:
.png)
Giải
.png)
.png)
Bài 6
Tìm các giới hạn sau:
.png)
Giải
.png)
Bài 7
Tìm các giới hạn sau:
.png)
Giải
.png)
D. Bài tập đề nghị
Bài 1
Tìm giới hạn của các hàm số sau (nếu có):
.png)
.png)