ÔN TẬP CHƯƠNG IV
Bài 1
Hãy lập bảng liệt kê các giới hạn đặc biệt của dãy số và các giới hạn đặc biệt của hàm số.
Giải
Học sinh tự giải.
Bài 2
Cho hai dãy số ($u_{n}$) và ($v_{n}$). Biết $\mid u_{n}-2\mid \leq v_{n}$ với n và lim $v_{n}$ = 0. Có kết luận gì về giới hạn của dãy số ($u_{n}$)?
Giải
Áp dụng quy tắc “kẹp” của dãy số suy ra lim $u_{n}$ = 2.
Bài 3
Tên của một học sinh được mã hóa bởi số 1530. Biết rằng mỗi chữ số trong số này là giá trị của một trong các biểu thức A, H, N, O với:
.png)
Hãy cho biết tên của học sinh này, bằng cách thay các chữ số trên bởi các chữ kí hiệu biểu thức tương ứng.
Giải
Tính giá trị của từng giới hạn, ta được: A = 3; H = 1, O = 5, N = 0. Vậy tên của học sinh đó là HOÀN.
Bài 4
a) Có nhận xét gì về công bội của các cấp số lùi vô hạn?
b) Cho ví dụ về một cấp số nhân lùi vô hạn có công bội là số âm và một cấp số nhân lùi vô hạn có công bội là số dương và tính tổng của mỗi cấp số nhân đó.
Giải
a) Công bội q của cấp số nhân lùi vô hạn có trị tuyệt đối nhỏ hơn 1.
b) * Ví dụ về cấp số nhân lùi vô hạn có công bội q là số âm:
.png)
Tổng của cấp số nhân này:
.png)
* Học sinh tự cho ví dụ về cấp số nhân lùi vô hạn có công bội q là số dương.
Bài 5
Tìm các giới hạn sau:
.png)
Giải
Đáp số
a) $\large \frac{1}{2}$
b) $\large \frac{1}{3}$
c) -$\infty$
d) -$\infty$
e) $\large \frac{1}{3}$
f) 0
Bài 6
Cho hai hàm số .png)
a) Tính .png)
b) Hai đường cong sau đây là đồ thị của hai hàm số đã cho. Từ kết quả câu a), hãy xác định xem đường cong nào là đồ thị của mỗi hàm số đó.
.png)
Giải
.png)
b) Đường cong thứ nhất là đồ thị của hàm số y = g(x), đường cong thứ hai là đồ thị của hàm số y = f(x).
Bài 7
Xét tính liên tục trên R của hàm số
.png)
Giải
Áp dụng định nghĩa hàm số liên tục tại một điểm, suy ra hàm số liên tục bên phải và bên trái tại điểm x = 2. Từ đó suy ra hàm số liên tục trên R.
Bài 8
Chứng minh rằng phương trình $x^{5}$ - 3$x^{4}$ + 5x - 2 = 0 có ít nhất ba nghiệm nằm trong khoảng (-2; 5).
Giải
Hướng dẫn: Xét dấu f(0), f(1), f(2), f(3).
B. Bài tập trắc nghiệm
9. Mệnh đề nào sau đây là mệnh đề đúng?
A. Một dãy số có giới hạn thì luôn luôn tăng hoặc luôn luôn giảm.
B. Nếu ($u_{n}$) là dãy số tăng thì lim $u_{n}$ = +$\infty$
C. Nếu lim $u_{n}$ = +$\infty$ và lim $v_{n}$ = +$\infty$ thì lim($u_{n}$ - $v_{n}$) = 0.
D. Nếu $u_{n}$ = $a^{n}$ và -1 < a < 0 thì lim $u_{n}$ = 0.
10. Cho dãy số ($u_{n}$) với .png)
Mệnh để nào sau đây là mệnh đề đúng?
A. lim $u_{n}$ = 0
B. lim $u_{n}$ = $\large \frac{1}{2}$
C. lim $u_{n}$ = 1
D. Dãy ($u_{n}$) không có giới hạn khi n → +$\infty$.
11. Cho dãy số ($u_{n}$) với .png)
Chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau:
.png)
B. lim $u_{n}$ = -$\infty$
C. lim $u_{n}$ = +$\infty$
D. Dãy số ($u_{n}$) không có giới hạn khi n → +$\infty$.
12. .png)
A. -1
B. -$\infty$
C. -3
D. +$\infty$
Tìm phương án đúng.
13. Cho hàm số .png)
.png)
A. +$\infty$
B. 1
C. -$\infty$
D. -1
Tìm phương án đúng.
14. Cho hàm số
.png)
Để hàm số f(x) liên tục tại x = 3 thì phải chọn m bằng bao nhiêu?
A. 4
B. -1
C. 1
D. -4
15. Cho phương trình
-4$x^{3}$ + 4x -1 = 0 (1)
Mệnh đề nào sau đây là mệnh đề sai?
A. Hàm số f(x) = -4$x^{3}$ + 4x -1 liên tục trên R;
B. Phương trình (1) không có nghiệm trên khoảng (-$\infty$; 1);
C. Phương trình (1) có nghiệm trên khoảng (-2; 0);
D. Phương trình (1) có ít nhất hai nghiệm trên khoảng (-3; $\large \frac{1}{2}$)
Đáp án bài tập trắc nghiệm.
9. B 10. B 11.C
12. D 13. A 14. D 15. B
ĐỀ 1 (45 phút)
Câu 1. (2 điểm)
.png)
Câu 2. ( 2 điểm)
Tính tổng .png)
Câu 3. (2 điểm)
.png)
Câu 4. (2 điểm)
.png)
Câu 5. (2 điểm) Phương trình sau có nghiệm hay không trong khoảng (-4; 0)
$x^{3}$ + 3$x^{2}$ - 4x - 7 = 0.
ĐÁP ÁN
Câu 1. (2 điểm).
.png)
Câu 2. (2 điểm)
Vì .png)
là một cấp số nhân lùi vô hạn, có công bội q = $\large \frac{1}{3}$và $u_{1}$ = 9, nên
.png)
Câu 3. (2 điểm)
Ta có: .png)
và 3 - x > 0 với mọi x $\in$ (-$\infty$; 3).
Do đó .png)
Câu 4. (2 điểm)
.png)
.png)
có thể nhỏ hơn một số dương bất kì kể từ một số hạng nào đó trở đi.
Từ (1) suy ra, .png)
có thể nhỏ hơn một số dương bất kì kể từ một số hạng nào đó trở đi, nghĩa là .png)
.png)
Câu 5. (2 điểm)
f(x) = $x^{3}$ + 3$x^{2}$ - 4x - 7 là hàm số đa thức nên liên tục trên R.
Mặt khác, f(0).f(-2) = (-7).5 < 0. Nên phương trình có nghiệm trong khoảng (-2; 0) và do đó có nghiệm trong (-4; 0).
ĐỀ SỐ 2( 45 phút)
Câu 1. (3 điểm)
a) Cho hai dãy số có số hạng tổng quát là .png)
Tính lim $u_{n}$ và lim $v_{n}$.
b) Dùng kết quả câu a, chứng minh rằng hàm số f(x) = sin$\large \frac{\pi }{x}$ không có giới hạn khi x → 0.
Câu 2. (4 điểm)
Tính các giới hạn sau:
.png)
Câu 3. (2 điểm) Xét tính liên tục của hàm số sau trên tập xác định của nó:
.png)
Câu 4. (1 điểm).
Cho ví dụ về hàm số y = f(x) thỏa mãn f(a).f(b) < 0, nhưng phương trình f(x) = 0 không có nghiệm trên khoảng (a; b).
ĐÁP ÁN
Câu 1. (3 điểm)
.png)
.png)
Do đó, lim f($u_{n}$) = lim0 = 0, lim f($v_{n}$) = lim1 = 1.
Vì lim $u_{n}$ = lim$v_{n}$ = 0, nhưng lim f($u_{n}$) $\neq$ lim f($v_{n}$) nên hàm số f(x) = sin$\large \frac{\pi }{x}$ không có giới hạn khi x → 0.
Câu 2. (4 điểm)
.png)
Câu 3. (2 điểm)
Hàm số y = f(x) có tập xác định là R.
- Với x $\neq$ -2:
.png)
là hàm số phân thức hữu tỉ nên liên tục trên từng khoảng thuộc tập xác định của nó. Do đó, nó liên tục trên các khoảng (-$\infty$; -2) và (-2; +$\infty$).
- Với x = -2, ta có f(-2) = 3.
.png)
Do đó, hàm số đã cho không liên tục tại x = -2.
Kết luận: Hàm số y = f(x) liên tục trên các khoảng (-$\infty$; -2) và (-2; +$\infty$), nhưng gián đoạn tại x = -2.
Câu 4. (1 điểm)
Ví dụ với hàm số f(x) = $\large \frac{1}{x}$, ta có f(-1)f(1) = -1 < 0,
nhưng phương trình $\large \frac{1}{x}$ = 0 vô nghiệm, vì $\large \frac{1}{x}$ = 0 ⇒ 1 = 0 (vô lí).