ÔN TẬP CHƯƠNG III
Bài 1
Khi nào thì cấp số cộng là dãy số tăng, dãy số giảm?
Giải
Vì $u_{n+1}$ - $u_{n}$ = d nên nếu d > 0 thì cấp số cộng tăng
và nếu d < 0 thì cấp số cộng giảm.
Bài 2
Cho cấp số nhân có $u_{1}$ < 0 và công bội q.
Hỏi các số hạng khác sẽ mang dấu gì trong các trường hợp sau:
a) q > 0
b) q < 0
Giải
a) Nếu q > 0 thì $u_{n}$ < 0 với mọi n.
b) Nếu q < 0 thì các số hạng mang thứ tự chẵn là số dương còn các số hạng mang thứ tự lẻ là số âm.
Bài 3
Cho hai cấp số cộng có cùng số các số hạng. Tổng các số hạng tượng ứng của chúng có lập thành cấp số cộng không. Vì sao? Cho một ví dụ minh họa.
Giải
Cho hai cấp số cộng ($u_{n}$) và ($v_{n}$) gồm cùng n số hạng
$u_{1}$, $u_{2}$,..., $u_{n}$ có công sai $d_{1}$.
$v_{1}$, $v_{2}$,..., $v_{n}$ có công sai $d_{2}$.
Nếu cộng tương ứng các số hạng theo thứ tự, ta được
($u_{1}$ + $v_{1}$), ($u_{2}$ + $v_{2}$),..., ($u_{n}$ + $v_{n}$).
Với 1 $\leq$ k $\leq$ n thì $u_{k}$ = $u_{k-1}$ + $d_{1}$ và $v_{k}$ = $v_{k-1}$ + $d_{2}$ nên
$u_{k}$ + $v_{k}$ = ($u_{k-1}$ + $v_{k-1}$) + ($d_{1}$ + $d_{2}$) với 1 $\leq$ k $\leq$ n.
Vậy theo định nghĩa, dãy ($u_{n}$ + $v_{n}$) là cấp số cộng với công sai
d = $d_{1}$ + $d_{2}$
Thí dụ: Từ hai cấp số cộng có cùng sáu số hạng:
2, 5, 8, 11, 14, 17 với công sai $d_{1}$ = 3,
-1, 3, 7, 11, 15, 19 với công sai $d_{2}$ = 4,
ta có cấp số cộng với sáu số hạng:
1, 8, 15, 22, 29, 36 với công sai d = 7.
Bài 4
Cho hai cấp số nhân có cùng số các số hạng. Tích các số hạng tương ứng của chúng có lập thành cấp số nhân không? Vì sao? Cho một thí dụ minh họa.
Giải
Lập luận tương tự đối với hai cấp số nhân có cùng n số hạng
$u_{1}$, $u_{2}$,..., $u_{n}$ với công bội $q_{1}$
$v_{1}$, $v_{2}$,..., $v_{n}$ với công bội $q_{2}$
Ta có dãy số $u_{1}$.$v_{1}$, $u_{2}$.$v_{2}$,..., $u_{n}$.$v_{n}$ cũng là cấp số nhân với công bội q = $q_{1}$.$q_{2}$.
Thật vậy, với 1 $\leq$ k $\leq$ n thì
$u_{k}.v_{k}$ = ($u_{k-1}$.$q_{1}$).($v_{k-1}$.$q_{2}$) = ($u_{k-1}$.$v_{k-1}$).($q_{1}$.$q_{2}$)
Đặt $u_{k}.v_{k}$ = $x_{k}$ và $q_{1}$.$q_{2}$ = q thì $x_{k}$ = $x_{k-1}$.q với 1 $\leq$ k $\leq$ n.
Theo định nghĩa ta có điều phải chứng minh.
Học sinh tự cho thí dụ.
Bài 5
Chứng minh rằng với mọi n $\in$ N*, ta có:
a) $13^{n}$ - 1 chia hết cho 6
b) 3$n^{3}$ + 15n chia hết cho 9
Giải
Sử dụng phương pháp quy nạp toán học.
a) Đặt $B_{n}$ = $13^{n}$ - 1
Với n = 1 thì $B_{k}$ = $13^{1}$ - 1 = 12 $\vdots$ 6.
Giải sử đã có $B_{k}$ = $13^{k}$ - 1 $\vdots$ 6.
Ta phải chứng minh $B_{k+1}$ $\vdots$ 6.
Thật vậy, theo giá thiết quy nạp ta có
$B_{k+1}$ = $13^{k+1}$ -1 = 13.$13^{k}$ - 13 + 12
= 13($13^{k}$ - 1) + 12 = 13.$B_{k}$ + 12
Vì $B_{k}$ $\vdots$ 6 và 12 $\vdots$ 6 nên $B_{k+1}$ $\vdots$ 6. Vậy $13^{n}$ - 1 chia hết cho 6.
b) Đặt $C_{n}$ = 3$n^{3}$ + 15n
Với n = 1, $C_{1}$ = 3.$1^{3}$ + 15.1 = 18 $\vdots$ 9.
Giả sử đã có $C_{k}$ = 3$k^{3}$ + 15k $\vdots$ 9
Ta phải chứng minh $C_{k+1}$ $\vdots$ 9.
Thật vậy, ta có
$C_{k+1}$ = 3$(k+1)^{3}$ + 15(k + 1)
= 3$k^{3}$ + 15k + 9($k^{2}$ + k + 2) = $C_{k}$ + 9($k^{2}$ + k + 2).
Vì $C_{k}$ $\vdots$ 9 và 9($k^{2}$ + k + 2) $\vdots$ 9 nên $C_{k+1}$ $\vdots$ 9.
Vậy 3$n^{3}$ + 15n chia hết cho 9.
Bài 6
Cho dãy số ($u_{n}$), biết $u_{1}$ = 2, $u_{n+1}$ = 2$u_{n}$ - 1 (với n $\geq$ 1).
a) Viết năm số hạng đầu của dãy;
b) Chứng minh $u_{n}$ = $2^{n-1}$ + 1 bằng phương pháp quy nạp.
Giải
a) 2, 3, 5, 9, 17
b) Chứng minh $u_{n}$ = $2^{n-1}$ + 1 bằng quy nạp
với n = 1 thì $u_{1}$ = $2^{1-1}$ + 1 = 2.
Vậy công thức đúng.
Giả sử đã có $u_{k}$ = $2^{k-1}$ + 1 với k $\geq$ 1.
Ta phải chứng minh $u_{k+1}$ = $2^{k}$ + 1
Thật vậy, theo công thức xác định dãy số và giả thiết quy nạp, ta có:
$u_{k+1}$ = 2$u_{k}$ - 1 = 2($2^{k-1}$ + 1) - 1
= $2^{k}$ + 2 - 1 = $2^{k}$ + 1.
Vậy công thức đã được chứng minh.
Bài 7
Xét tính tăng giảm và bị chặn của các dãy số ($u_{n}$), biết:
.png)
.png)
Giải
a) Xét hiệu:
.png)
Vậy dãy số là tăng.
Dễ thấy .png)
nên dãy số ($u_{n}$) bị chặn dưới.
b) Dãy số ($u_{n}$) đan dấu vì có nhân tử $(-1)^{n-1}$ nên không tăng và cũng không giảm. Ta có
.png)
Vậy dãy số ($u_{n}$) bị chặn.
.png)
Bài 8
Tìm số hạng đầu $u_{1}$ và công sai d của các cấp số cộng ($u_{n}$), biết:
.png)
Giải
a) Ta có hệ
.png)
Đáp số: $u_{1}$ = 8, d = -3
b) Làm tương tự câu a)
Đáp số: $u_{1}$ = 0, d = 3, $u_{1}$ = -12, d = $\large \frac{21}{5}$
Bài 9
Tìm số hạng đầu $u_{1}$ và công bội q của các cấp số nhân ($u_{n}$), biết:
.png)
Giải
a) Đưa về hệ .png)
Dễ dàng tìm được q = 2 và $u_{1}$ = 6.
b) Giải hệ .png)
Chia các vế tương ứng của (2) cho (1), ta có q = 2, từ đó tìm được $u_{1}$ = 12.
.png)
Chia các vế tương ứng của phương trình (2) cho phương trình (1), ta được q = 2, từ đây tìm được $u_{1}$ = 1.
Bài 10.
Tứ giác ABCD có số đo các góc lập thành một cấp số nhân theo thứ tự A, B, C, D. Biết rằng góc C gấp bốn lần góc A. Tính các góc của tứ giác.
Giải
Ta có cấp số nhân A, B, C, D. Hãy tính các góc B, C, D theo A.
Vì C = 4A nên B = $\sqrt{A.4A}$ = 2A. Mà $C^{2}$ = B.D nên 16$A^{2}$ = 2A.D
Từ đó có D = 8A.
Do A + B + C + D = A + 2A + 4A + 8A = 15A = 360°
nên A = 24°, suy ra B = 48°, C = 96°, D = 192°.
Bài 11
Biết rằng ba số x, y, z lập thành một cấp số nhân và ba số x, 2y, 3z lập thành một cấp số cộng. Tìm công bội của cấp số nhân.
Giải
Vì ba số x, y, z lập thành cấp số nhân nên thay các giá trị y = xq, z = z$q^{2}$ vào cấp số cộng x, 2y, 3z, ta được cấp số cộng x, 2xq, 3x$q^{2}$.
Theo tính chất của cấp số cộng, ta có
x + 3x$q^{2}$ = 4xq ⇒ 1 + 3$q^{2}$ = 4q.
Giải phương trình
3$q^{2}$ – 4q + 1 = 0,
ta được $q_{1}$ = 1; $q_{2}$ = $\large \frac{1}{3}$
Bài 12
Người ta thiết kế một cái tháp gồm 11 tầng. Diện tích bề mặt trên của tầng bằng nửa diện tích mặt trên của tầng ngay bên dưới và diện tích bề mặt của tầng 1 bằng nửa diện tích đế tháp. Biết diện tích mặt đế tháp là 12288$m^{2}$, tính diện tích mặt trên cùng.
Giải
Gọi diện tích mặt trên của tầng thứ i là $u_{i}$ (i = 1, 2,..., 11).
Ta có ($u_{i}$) lập thành cấp số nhân với $u_{1}$ = 12288, q = $\large \frac{1}{2}$
.png)
Vậy diện tích mặt trên cùng là 12$m^{2}$.
Bài 13
Chứng minh rằng nếu các số $a^{2}$, $b^{2}$, $c^{2}$ lập thành một cấp số cộng thì các số .png)
cũng lập thành một cấp số cộng.
Giải
Ta phải chứng minh
.png)
Đẳng thức (2) đúng vì $a^{2}$, $b^{2}$, $c^{2}$ lập thành cấp số cộng.
Vậy đẳng thức (1) là đúng và bài toán đã được chứng minh ở dạng cần và đủ.
Bài tập trắc nghiệm
14. Cho dãy số ($u_{n}$), biết $u_{n}$ = $3^{n}$. Hãy chọn phương án đúng.
a) Số hạng $u_{n+1}$ bằng:
A. $3^{n}$ + 1
B. $3^{n}$ + 3
C. $3^{n}$.3
D. 3(n + 1)
b) Số hạng $u_{2n}$ bằng:
A. 2.$3^{n}$
B. $9^{n}$
C. $3^{n}$ + 3
D. 6n
c) Số hạng $u_{n-1}$ bằng:
A. $3^{n}$ - 1
B. $\large \frac{1}{3}$.$3^{n}$
C. $3^{n}$ - 3
D. 3n - 1
d) Số hạng $u_{2n-1}$ bằng:
A. $3^{2}.3^{n}-1$
B. $3^{n}$.$3^{n-1}$
C. $3^{2n}$ - 1
D. $3^{2n-1}$
15. Hãy cho biết dãy số ($u_{n}$) nào dưới đây là dãy số tăng, nếu biết công thức số hạng tổng quát $u_{n}$ của nó là:
.png)
16. Cho cấp số cộng -2, x, 6, y.
Hãy chọn kết quả đúng trong các kết quả sau:
A. x = -6, y = -2
B. x = 1, y = 7
C. x = 2, y = 8
D. x = 2, y = 10
17. Cho cấp số nhân -4, x, -9.
Hãy chọn kết quả đúng trong các kết quả sau:
A. x = 36
B. x = -6,5
C. x = 6
D. x = -9
18. Cho cấp số cộng ($u_{n}$). Hãy chọn hệ thức đúng trong các hệ thức sau:
.png)
19. Trong các dãy số cho bởi các công thức truy hồi sau, hãy chọn dãy số là cấp số nhân?
.png)
Đáp án trắc nghiệm
14. a) C b) B c) B d) B
15. Dãy số (A) bị loại (vì các số hạng đan dấu).
Dễ nhận biết dãy số (B): tăng. Dãy số (C): giảm
Đáp số: Dãy số (B) tăng.
16. Mục đích để học sinh kiểm tra nhanh tính chất của cấp số cộng.
Đáp số đúng: (D)
17. Đáp số đúng: (C)
18. Đáp số đúng : (B)
19. Mục đích để nhận biết công thức truy hồi của cấp số nhân.
Đáp số đúng: (B)