VẤN ĐỀ 2: QUY TẮC TÍNH ĐẠO HÀM

A. KIẾN THỨC CẦN NHỚ

1. Đạo hàm của tổng, hiệu, tích và thương các hàm số

a) Đạo hàm của tổng và hiệu các hàm số

ĐỊNH LÍ 1

Nếu các hàm số u = u(x) và v = v(x) có đạo hàm trên J thì tổng và hiệu của chúng cũng có đạo hàm trên J và (uv)' = u' + v', (u - v)' = u' - v'.

b) Đạo hàm của tích các hàm số

ĐỊNH LÍ 2

Nếu các hàm số y = u(x) và v = v(x) có đạo hàm trên J thì tích của chúng cũng có đạo hàm trên J và (uv)' = u'v + uv'

Đặc biệt, nếu k là hằng số thì (ku') = ku'.

c) Đạo hàm của thương hai hàm số

Ta có thể chứng minh được định lí sau:

ĐỊNH LÍ 3

Nếu các hàm số y = u(x), v = v(x) có đạo hàm trên J và v(x) $\neq$ 0 trên J thì thương $\large \frac{u}{v}$ cũng có đạo hàm trên J và

HỆ QUẢ

a) Nếu x $\neq$ 0 thì

b) Nếu hàm số v = v(x) có đạo hàm trên J và v(x) $\neq$ 0 trên J thì

2. Đạo hàm của hàm số hợp

ĐỊNH LÍ 4

Nếu hàm số u = g(x) có đạo hàm tại x là $u_{x}$ và hàm số y = f(u) có đạo hàm tại u là $y_{u}$ thì hàm hợp y = f(g(x)) có đạo hàm tại x là

$y_{x}$ = $y_{u}$.$u_{x}$

B. GIẢI BÀI TẬP SÁCH GIÁO KHOA

Bài 1

Bằng định nghĩa, tìm đạo hàm của hàm số:

a) y = 7 + x - $x^{2}$ tại $x_{0}$ = 1

b) y = $x^{3}$ - 2x + 1 tại $x_{0}$ = 2

Giải

Học sinh xem lại phần định nghĩa đạo hàm tại một điểm:

Đáp số:

a) -1

b) 10

Bài 2

Tìm đạo hàm của các hàm số sau:

Giải

Áp dụng định nghĩa đạo hàm của một tổng, một tích, ta được kết quả:

Bài 3

Tìm đạo hàm của các hàm số sau:

Giải

Áp dụng định nghĩa đạo hàm của một tích, một thương, ta được kết quả:

Bài 4

Tìm đạo hàm của các hàm số sau:

Giải

Áp dụng các quy tắc tính đạo hàm, ta được kết quả:

Bài 5

Cho y = $x^{3}$ - 3$x^{2}$ + 2. Tìm x để:

a) y' > 0

b) y' < 3

Giải

Tính đạo hàm, sau đó giải các bất phương trình tương ứng:

Kết quả:

a) x < 0 hoặc x > 2

b) 1 - $\sqrt{2}$ < x < 1 + $\sqrt{2}$

C. BÀI TẬP BỔ SUNG

Bài 1

Tìm đạo hàm của hàm số

Giải

Áp dụng quy tắc tính đạo hàm của một thương, ta được

Bài 2

Tìm đạo hàm của hàm số

Bài 3

Giải phương trình f'(x) = 0, biết rằng

Với những giá trị nào của x thì f'(x) < 0?

Giải

Vậy nghiệm của phương trình f'(0) = 0 là

D. BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ

Bài 1

Cho f(x) = $x^{5}$ + $x^{3}$ - 2x - 3. Chứng minh rằng

f'(1) + f'(-1) = -4f(0)

Bài 2

Giải bất phương trình f'(x) > g'(x)

Bài 3

Giải bất phương trình f'(x) > g'(x)

Bài 4

Tính $\varphi '$(2), biết rằng

Bài 5

Chứng minh rằng nếu V là thể tích hình cầu bán kính R thì V'(R) là diện tích mặt cầu đó.