Định nghĩa và ý nghĩa của đạo hàm

CHƯƠNG V. ĐẠO HÀM

VẤN ĐỀ 1. ĐỊNH NGHĨA VÀ Ý NGHĨA CỦA ĐẠO HÀM

A. Kiến thức cần nhớ

1. Đạo hàm của hàm số tại một điểm

Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng (a; b) và $x_{0}$ $\in$ (a; b). Lấy $\Delta$x là một số sao cho $x_{0}$ + $\Delta$x $\in$ (a; b); $\Delta$x được gọi là số gia của biến số tại điểm $x_{0}$

Hiệu f($x_{0}$ + $\Delta$x) – f($x_{0}$), kí hiệu là $\Delta$y, được gọi là số gia của hàm số tại điểm $x_{0}$ ứng với số gia $\Delta$x. Vậy

$\Delta$y = f($x_{0}$ + $\Delta$x) - f($x_{0}$).

2. Định nghĩa

Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng (a; b) và $x_{0}$ $\in$ (a; b).

Đạo hàm của hàm số y = f(x) tại điểm $x_{0}$, kí hiệu là f'($x_{0}$) hay y'($x_{0}$), là giới hạn hữu hạn (nếu có) của tỉ số giữa số gia của hàm số $\Delta$y và số gia của biển số $\Delta$x tại điểm $x_{0}$ khi số gia của biến số dần tới 0, tức là

Ghi nhớ:

Để tìm đạo hàm của hàm số f tại điểm $x_{0}$ theo định nghĩa, ta cần thực hiện hai bước sau đây:

- Bước 1: Tính $\Delta$y theo công thức $\Delta$y = f($x_{0}$) + $\Delta$x) – f($x_{0}$);

- Bước 2: Tìm giới hạn

3. Đạo hàm của hàm số trên khoảng

Trong chương này, ta kí hiệu J là một khoảng hoặc là hợp những khoảng nào đó.

Định nghĩa

Hàm số y = f(x) được gọi là có đạo hàm trên J nếu nó có đạo hàm tại mỗi điểm $x_{0}$ bất kì thuộc J.

Khi đó, ta có một hàm số xác định trên J gọi là đạo hàm của hàm số y = f(x) và kí hiệu là y' hay f'(x).

Định lí

Với mọi x $\in$ R, ta có

a) Nếu f(x) = c (c là hằng số) thì f'(x) = 0;

b) Nếu f(x) = x thì f'(x) = 1;

c) Nếu f(x) = $x^{n}$ (n $\in$ N, n $\geq$ 2) thì f'(x) = n$x^{n-1}$;

d) Nếu f(x) = $\sqrt{x}$ (x > 0) thì

Ý nghĩa hình học của đạo hàm

Đạo hàm của hàm số y = f(x) tại điểm $x_{0}$ là hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị hàm số đó tại điểm $M_{0}$($x_{0}$; f($x_{0}$)).

Ghi nhớ:

Nếu hàm số y = f(x) có đạo hàm tại điểm $x_{0}$ thì phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số đó tại điểm $M_{0}$($x_{0}$; f($x_{0}$)) là

y = f'($x_{0}$)(x - $x_{0}$) + f($x_{0}$).

B. Giải bài tập sách giáo khoa

Bài 1

Tìm số gia của hàm số f(x) = $x^{3}$, biết rằng:

a) $x_{0}$ = 1; $\Delta$x = 1

b) $x_{0}$ = 1; $\Delta$x = -0,1

Giải

Bài 2

Tính $\Delta$y và của các hàm số sau theo x và $\Delta$x:

a) y = 2x - 5

b) y = $x^{2}$ - 1

c) y = 2$x^{3}$

d) y = $\large \frac{1}{x}$

Giải

Bài 3

Tính (bằng định nghĩa) đạo hàm của mỗi hàm số sau tại các điểm đã chỉ ra:

a) y = $x^{2}$ + x tại $x_{0}$ = 1

b) y = $\large \frac{1}{x}$ tại $x_{0}$ = 2;

Giải

a) 3

b) -$\large \frac{1}{4}$

c) -2

Bài 4

Chứng minh rằng hàm số

không có đạo hàm tại điểm x = 0, nhưng có đạo hàm tại điểm x = 2.

Giải

Vậy hàm số y = f(x) gián đoạn tại x = 0. Từ đó suy ra hàm số đó không có đạo hàm tại x = 0.

Vậy hàm số y = f(x) có đạo hàm tại x = 2 và f'(2) = 2.

Bài 5

Viết phương trình tiếp tuyến của đường cong y = $x^{3}$

a) Tại điểm (-1; -1);

b) Tại điểm có hoành độ bằng 2

c) Biết hệ số góc của tiếp tuyến bằng 3.

Giải

Lưu ý: Cần tính hệ số góc bằng định nghĩa.

K = f'($x_{0}$)

Đáp số:

a) y = 3x + 2

b) y = 12x - 16

c) y = 3x + 2 và y = 3x - 2

Bài 6

Viết phương trình tiếp tuyến của đường hypebol y = $\large \frac{1}{x}$.

a) Tại điểm ($\large \frac{1}{2}$; 2);

b) Tại điểm có hoành độ bằng -1;

c) Biết rằng hệ số góc của tiếp tuyến bằng -$\large \frac{1}{4}$

Giải

Hướng dẫn: Áp dụng công thức phương trình tiếp tuyến của đường cong.

Đáp số:

a) y = -4(x - 1)

b) y = -(x + 2)

c) y = -$\large \frac{x}{4}$ + 1

d) y = -$\large \frac{x}{4}$ - 1

Bài 7

Một vật rơi tự do theo phương trình s = $\large \frac{1}{2}$$gt^{2}$, trong đó g $\approx$ 9,8m/$s^{2}$ là gia tốc trọng trường.

a) Tìm vận tốc trung bình của chuyển động trong khoảng thời gian từ t (t = 5s) đến t + $\Delta$t, trong các trường hợp $\Delta$t = 0,1s;

$\Delta$t = 0,05s; $\Delta$t = 0,001s.

b) Tìm vận tốc tức thời của chuyển động tại thời điểm t = 5s.

Giải

Hướng dẫn: Áp dụng ý nghĩa vật lí của đạo hàm.

Đáp số:

a) 49,49m/s; 49,245m/s; 49,005m/s

b) 49m/s

C. Bài tập bổ sung

Bài 1

Cho hàm số y = $\sqrt[3]{x}$

Chứng minh rằng

Giải

Ta phải chứng minh:

Với $x_{0}$ bất kì thuộc R và $x_{0}$ $\neq$ 0 thì

Tính $\Delta$y

Tìm giới hạn

Bài 2 :

Cho hàm số

f(x) = $x^{3}$ .

a) Tại những điểm nào của thì tiếp tuyến của có hệ số góc bằng 1?

b) Liệu có tiếp tuyến nào của mà tiếp tuyến đó có hệ số góc âm?

Giải

b) Muốn có tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = $x^{3}$ mà hệ số góc của tiếp tuyến đó âm thì phải tồn tại điểm $x_{0}$ sao cho f'($x_{0}$) < 0. Ở đây f'(x) = 3$x^{2}$ $\geq$ 0 ($\forall$ x $\in$ R); vậy không có tiếp tuyến nào của đồ thị hàm số đã cho mà hệ số góc của nó âm.

Bài 3

Xét tính liên tục, sự tồn tại đạo hàm và tính đạo hàm nếu có của các hàm số sau đây trên R.