VẤN ĐỀ 3. HÀM SỐ LIÊN TỤC
A. Kiến thức cần nhớ
1. Hàm số liên tục tại một điểm
Định nghĩa
Giả sử hàm số f xác định trên khoảng (a; b) và $x_{0}$ $\in$ (a; b). Hàm số f được gọi là liên tục tại điểm $x_{0}$ nếu
.png)
Hàm số không liên tục tại điểm $x_{0}$ được gọi là gián đoạn tại điểm $x_{0}$
2. Hàm số liên tục trên một khoảng, trên một đoạn
Định nghĩa
a) Giả sử hàm số f xác định trên khoảng (a; b). Ta nói rằng hàm số f liên tục trên khoảng (a; b) nếu nó liên tục tại mọi điểm thuộc khoảng đó
b) Hàm số f xác định trên đoạn [a; b] được gọi là liên tục trên đoạn [a; b] nếu nó liên tục trên khoảng (a; b) và
.png)
Chú ý:
1) Tổng, hiệu, tích, thương của hai hàm số liên tục tại mọi điểm là những hàm số liên tục tại điểm đó (trong trường hợp thương, giá trị của mẫu tại điểm đó phải khác 0).
2) Hàm đa thức và hàm phân thức hữu tỉ (thương của hai đa thức) liên tục trên tập xác định của chúng (tức là liên tục tại mọi điểm thuộc tập xác định của chúng).
Ta thừa nhận định lí sau:
Định lí 1
Các hàm số lượng giác y = sinx, y = cosx, y = tgx, y = cotgx liên tục trên tập xác định của chúng.
3. Tính chất của hàm số liên tục
Định lí 2 (Định lí về giá trị trung gian của hàm số liên tục)
Giả sử hàm số f liên tục trên đoạn [a; b]. Nếu f(a) $\neq$ f(b) thì với mỗi số thực M nằm giữa f(a) và f(b), tồn tại ít nhất một điểm c $\in$ (a; b) sao cho f(c) = M.
Hệ quả
Nếu hàm số f liên tục trên đoạn [a; b] và f(a).f(b) < 0 thì tồn tại ít nhất một điểm c $\in$ (a; b) sao cho f(c) = 0.
B. Giải bài tập sách giáo khoa
Bài 1
Dùng định nghĩa xét tính liên tục của hàm số f(x) = $x^{3}$ + 2x - 1 tại $x_{0}$ = 3.
Giải
Kết quả: f(x) liên tục tại $x_{0}$ = 3.
Bài 2
a) Xét tính liên tục của hàm số y = g(x) tại $x_{0}$ = 2, biết
.png)
b) Trong biểu thức xác định g(x) ở trên, cần thay số 5 bởi số nào để hàm số liên tục tại $x_{0}$ = 2?
Giải
Kết quả
a) g(x) không liên tục tại $x_{0}$ = 2
b) 12
Bài 3
.png)
a) Vẽ đồ thị của hàm số y = f(x). Từ đó nêu nhận xét về tính liên tục của hàm số trên tập xác định của nó.
b) Khẳng định nhận xét trên bằng một chứng minh.
Giải
Kết quả
a) Hàm số y = f(x) liên tục trên các khoảng (-$\infty$; -1) và (-1; +$\infty$).
b) Học sinh dùng định nghĩa hàm số liên tục tại một điểm để chứng minh lại khẳng định trên.
Bài 4
Cho hàm số .png)
và g(x) = tanx + sinx.
Với mỗi hàm số, hãy xác định các khoảng trên đó hàm số liên tục.
Giải
a) Hàm số y = f(x) liên tục trên các khoảng (-$\infty$; -3), (-3; 2) và (2; +$\infty$).
b) Hàm số y = g(x) liên tục trên các khoảng .png)
với k $\in$ Z
Bài 5
Ý kiến sau đúng hay sai?
“Nếu hàm số y = f(x) liên tục tại điểm $x_{0}$ còn hàm số y = g(x) không liên tục tại $x_{0}$, thì y = f(x) + g(x) là một hàm số không liên tục tại $x_{0}$"
Giải
Ý kiến đúng.
Giả sử ngược lại y = f(x) + g(x) liên tục tại $x_{0}$. Đặt h(x) = f(x) + g(x). Ta có g(x) = h(x) - f(x).
Vì y = h(x) và y = f(x) liên tục tại $x_{0}$ nên hiệu của chúng là hàm số y = g(x) phải liên tục tại đó. Điều này trái với giả thiết y = g(x) không liên tục tại $x_{0}$
Bài 6
Chứng minh rằng phương trình:
a) 2$x^{3}$ - 6x + 1 = 0 có ít nhất hai nghiệm;
b) cosx = x có nghiệm.
Giải
a) Áp dụng định lí về hàm số liên tục trên các khoảng: (0; 1) và (1; 2).
b) Hướng dẫn: Xét hàm số f(x) = cosx - x trên R và hai số 0, $\large \frac{\pi }{3}$.
C. Bài tập bổ sung
Bài 1
Chứng minh rằng:
a) Các hàm số f(x) = $x^{3}$ – x + 3 và .png)
liên tục tại mọi điểm x $\in$ R
b) Hàm số .png)
liên tục tại điểm x = 2.
c) Hàm số .png)
gián đoạn tại điểm x = 1
Giải
Hàm số f(x) = $x^{3}$ − x + 3 xác định trên R. Với mọi $x_{0}$ $\in$ R, ta có
.png)
Vậy f liên tục tại điểm $x_{0}$. Do đó hàm số f liên tục tại mọi điểm của R.
.png)
Bài 2
Chứng minh rằng:
a) Hàm số f(x) = $x^{4}$ - $x^{2}$ + 2 liên tục trên R;
b) Hàm số .png)
liên tục trên khoảng (-1; 1);
c) Hàm số f(x) = $\sqrt{8-2x^{2}}$ liên tục trên đoạn [-2; 2].
Giải
a) Vì f(x) là hàm đa thức nên hiển nhiên liên tục trên R.
b) Hàm số f xác định khi và chỉ khi
1 - $x^{2}$ > 0 ⇔ -1 < x < 1.
Vậy hàm số f xác định trên khoảng (-1; 1).
Với mọi $x_{0}$ $\in$ (-1; 1), ta có
.png)
Vậy hàm số f liên tục tại điểm $x_{0}$. Do đó f liên tục trên khoảng (-1; 1).
c) Hàm số f(x) = $\sqrt{8-2x^{2}}$ xác định trên đoạn [-2; 2].
Với mọi $x_{0}$ $\in$ (-2; 2), ta có
.png)
Vậy hàm số f liên tục trên khoảng (-2; 2). Ngoài ra, ta có
.png)
Do đó hàm số f liên tục trên đoạn [-2; 2].
Bài 3
Chứng minh rằng các hàm số sau đây liên tục trên tập xác định của chúng
.png)
Giải
a) Tập xác định của hàm số f là .png)
. Hàm phân thức hữu tỉ f liên tục trên tập xác định của nó, tức là liên tục trên các khoảng
.png)
b) Hàm số f xác định khi và chỉ khi
.png)
Do đó tập xác định của hàm số f là (-$\infty$; 1].
Với mọi $x_{0}$ $\in$ (-$\infty$; 1), ta có
.png)
Vậy hàm số f liên tục trên khoảng (-$\infty$; 1). Ngoài ra,
.png)
Do đó hàm số f liên tục trên (-$\infty$; 1].
Bài 4
Chứng minh rằng phương trình:
$x^{2}$cosx + xsinx + 1 = 0 có ít nhất một nghiệm thuộc khoảng (0; $\pi$).
Hàm số f(x) = $x^{2}$cosx + xsinx + 1 liên tục trên đoạn [0; $\pi$], f(0) = 1 > 0, f($\pi$) = 1 - $\pi ^{2}$ < 0. Vì f(0) và f(1) trái dấu nên, theo Hệ quả của định lí về giá trị trung gian của hàm số liên tục, tồn tại ít nhất một số thực c $\in$ (0; $\pi$) sao cho f(c) = 0. Số thực c là một nghiệm của phương trình đã cho.
Bài 5
Chứng minh rằng phương trình sau luôn có nghiệm với mọi giá trị của tham số m:
.png)
Giải
Xét hàm số .png)
Vì f(0) = -1 < 0 và f(-1) = $m^{2}$ + 1 > 0 nên f(-1).f(0) < 0 với mọi m (1)
f(x) là hàm đa thức, liên tục trên R.
Do đó, nó liên tục trên [-1; 0]. (2)
Từ (1) và (2) suy ra phương trình f(x) = 0 có ít nhất một nghiệm trong khoảng (-1; 0), nghĩa là phương trình luôn có nghiệm với mọi m.
D. Bài tập đề nghị
Bài 1
.png)
Bài 2
Xét tính liên tục của các hàm số sau trên tập xác định của chúng:
.png)
Bài 3
Tìm giá trị của tham số m để hàm số .png)
liên tục trên (0; $\infty$).
Bài 4
Chứng minh rằng phương trình
a) $x^{5}$ - 3x - 7 = 0 luôn có nghiệm.
b) cos2x = 2sinx - 2 có ít nhất hai nghiệm trong .png)
c) .png)
có nghiệm dương.