§2. PHÉP ĐỐI XỨNG QUA MẶT PHẲNG SỰ BẰNG NHAU CỦA CÁC KHỐI ĐA DIỆN

B. CÂU HỎI VÀ BÀI TẬP

Bài 6. Gọi Đ là phép đối xứng qua mặt phẳng (P) và a là một đường thẳng nào đó. Giả sử Đ biến đường thẳng a thành đường thẳng a'. Trong trường hợp nào thì:

a) a trùng với a'

b) a song song với a'

c) a cắt a'

d) a và a' chéo nhau?

Giải

a) a trùng với a' khi và chỉ khi a $\large \subset$ (P) hoặc a vuông góc với (P).

b) a song song với a' khi và chỉ khi a // (P).

c) Nếu đường thẳng a không vuông góc với mặt phẳng (P) và cắt (P) tại điểm I thì a' là đường thẳng cũng đi qua điểm I. Vậy a cắt a' khi và chỉ khi a không vuông góc với (P) và cắt (P).

d) Không có trường hợp nào để a và a' chéo nhau.

Bài 7. Tìm các mặt phẳng đối xứng của các hình sau đây:

a) Hình chóp tứ giác đều.

b) Hình chóp cụt tam giác đều.

c) Hình hộp chữ nhật mà không có mặt nào là hình vuông.

Giải

a) Ta xét hình chóp tứ giác đều S.ABCD. Gọi I, J, K, L lần lượt là trung điểm của AB, BC, CD, DA. Vì hình chóp này chỉ có một mặt ABCD là hình vuông, nên nếu (P) là mặt đối xứng của hình chóp thì (P) cũng là mặt đối xứng của hình vuông ABCD. Như vậy trước hết ta tìm các mặt đối xứng của hình vuông ABCD.

Giả sử (P) là mặt đối xứng của hình vuông ABCD thì phép đối xứng Đp biến ABCD thành chính nó. ((P) $\large \neq$ (ABCD)). Như thế Đp biến mỗi đỉnh của hình vuông thành một trong các đỉnh của nó. Trước hết ta Đp(A):

• Nếu Đp(A) = A thì ta chỉ có một trường hợp là Đp(C) = C, Đp(B) = D và Đp(D) = B. Trong trường hợp này (P) là mặt trung trực của BD, chính là mặt phẳng (SAC).

• Nếu Đp(A) = B và Đp(B) = A thì (P) là mặt trung trực của AB, (P) chính là mặt phẳng (SIK).

• Nếu Đp(A) = D và Đp(D) = A thì (P) là mặt trung trực của AD, (P) chính là mặt phẳng (SJL).

• Nếu Đp(A) = C và Đp(C) = A thì (P) là mặt trung trực của AC, (P) chính là mặt phẳng (SBD).

Nếu thay A bằng các đỉnh khác, ta cũng có kết quả tương tự. Nhận thấy các mặt phẳng (SAC), (SBD), (SIK), (SJL) là các mặt đối xứng của hình chóp đều S.ABCD. Vậy hình chóp S.ABCD có bốn mặt đối xứng.

b) Ta xét hình chóp cụt tam giác đều

BAC.$\large A_{1}B_{1}C_{1}$. Gọi S là đỉnh của hình chóp đều sinh ra hình chóp cụt. Thông thường hình chóp tam giá đều S.ABCD có cạnh bên không bằng cạnh đáy. Lập luận như câu a), ta được hình chóp tam giác đều S.ABCD chỉ có ba mặt đối xứng đó là (SAI), (SBJ), (SCK) với I, J, K lần lượt là trung điểm của BC, CA, AB.

Các mặt phẳng (SAI), (SBJ), (SCK) cũng là các mặt đối xứng của hình chóp cụt tam giác đều ABC.$\large A_{1}B_{1}C_{1}$.

Vậy hình chóp cụt tam giác đều ABC.$\large A_{1}B_{1}C_{1}$ có ba mặt đối xứng đã nêu trên.

c) Ta xét hình hộp chữ nhật (H) là ABCD.A'B'C'D' không có mặt nào là hình vuông, như vậy ba kích thước của (H) đều khác nhau.

Giả sử (H) có mặt đối xứng là (P), phép đối xứng Đp sẽ biến (H) thành chính nó. Ta xét ảnh của mặt ABCD. Vì không có mặt bên nào bằng mặt đáy, nên Đp hoặc biến ABCD thành chính nó, hoặc biến ABCD thành A'B'C'D'.

(i) Nếu Đp(ABCD) = ABCD: vì ABCD là hình chữ nhật nên chỉ xảy ra hai trường hợp:

+ Đp(A) = B, Đp(B) = A, khi đó Đp(C) = D và Đp(D) = C, thì (P) là mặt trung trực của AB.

+ Tương tự nếu Đp(A) = D, Đp(D) = A thì (P) là mặt trung trực của AD.

(ii) Nếu Đp(ABCD) = A'B'C'D' thì ta dễ chứng minh được (P) là mặt trung trực của AA'.

Thay đổi mặt ABCD bằng các mặt khác thì kết quả không thay đổi.

Tóm lại hình hộp chữ nhật ABCD.A'B'C'D' có ba mặt đối xứng đó là các mặt trung trực của các cạnh AB, AD, AA'.

Bài 8. Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D. Chứng minh rằng:

a) Các hình chóp A.A'B'C'D' và C'.ABCD bằng nhau.

b) Các hình lăng trụ ABC.A'B'C' và AA'D'.BB'C' bằng nhau.

Giải

a) Gọi O là tâm của hình lập phương. Gọi D là phép đối xứng qua điểm O. Ta có:

Đ(A) = C', Đ(A') = C, Đ(B') = D, Đ(C') = A, Đ(D') = A.

Suy ra: Đ(A.A'B'C'D') = C'.CDAB

Vậy: hai hình chóp A.A'B'C'D' và C'.ABCD bằng nhau.

b) Gọi (P) là mặt phẳng (ADC'B'), thì (P) là mặt đối xứng của hình lập phương ABCD.A'B'C'D'. Thực hiện phép đối xứng Đp ta có:

Đp(A) = A, Đp(B) = A', Đp(C) = D', Đp(A') = B, Đp(B') = B', Đp(C') = C'

Do đó Đp biến lăng trụ ABC.A'B'C' thành lăng trụ AA'D'.BB'C'.

Vậy hai lăng trụ ABC.A'B'C' và AA'D'.BB'C' bằng nhau.

Bài 9. Chứng minh rằng các phép tịnh tiến, đối xứng trục, đối xứng tâm là những phép dời hình.

Giải

a) Ta xét phép tịnh tiến T theo vectơ $\large \vec{u}\neq \vec{0}$. Lấy hai điểm bất kì M, N và gọi M' = T(M), N' = T(N), tức là:

$\large \vec{MM'}=\vec{u}$ và $\large \vec{NN'}=\vec{u}$

Ta có:

Suy ra: M'N' = MN

Vậy phép tịnh tiến T theo vectơ $\large \vec{u}$ là một phép dời hình.

b) Ta xét phép đối xứng trục Đa qua đường thẳng a.

Lấy hai điểm bất kì M, N và gọi M' = Đa(M), N' = Đa(N).

Đường thẳng a là trung trực của MM' và NN'

Gọi I và J lần lượt là trung điểm của MM' và NN' thì:

$\large \vec{IM'}=-\vec{IM}$ và $\large \vec{JN'}=-\vec{JN}$

Ta có

(Chú ý rằng: $\large \vec{MI}$.$\large \vec{IJ}$ = 0, $\large \vec{IJ}.\vec{JN}$ = 0, $\large \vec{IJ}.\vec{JN'}$ = 0).

Suy ra: MN = M'N'

Vậy phép đối xứng qua đường thẳng a là một phép dời hình.

c) Ta xét phép đối xứng tâm Đo qua điểm O

Lấy hai điểm bất kì M, N và gọi M' = Đo(M), N' = Đo(N)

Ta có: $\large \vec{OM'}=-\vec{OM}$ và $\large \vec{ON'}=-\vec{ON}$

Do đó: $\large \vec{MN}$=$\large \vec{ON}$-$\large \vec{OM}$=$\large -\vec{OM'}+\vec{ON'}$=-$\large \vec{M'N'}$

Suy ra: MN = M'N'

Vậy phép đối xứng qua điểm O là một phép dời hình.

Bài 10. Chứng minh rằng:

a) Hợp thành của hai phép đối xứng qua hai mặt phẳng song song (P) và (Q) là một phép tịnh tiến.

b) Hợp thành của hai phép đối xứng qua hai mặt phẳng (P) và (Q) vuông góc với nhau là một phép đối xứng qua đường thẳng.

Giải

a) Ta xét hợp thành

Với M là một điểm bất kì, đặt

⇒ f(M) = $\large M_{2}$

Gọi I, J lần lượt là trung điểm của M$\large M_{1}$, $\large M_{1}$$\large M_{2}$. (I $\large \in$ (P), J $\large \in$ (Q))

Ta có:

Như thế $\large M_{2}$ là ảnh của M qua phép tinh tiến theo vectơ $\large \vec{u}$ = 2$\large \vec{IJ}$. Vậy f là một phép tịnh tiến.

b) Ta xét hợp thành trong đó (P)$\large \perp$ (Q)

Với mỗi điểm M ta gọi $\large M_{1}$ là ảnh của M qua phép đối xứng Đp, $\large M_{2}$ là ảnh của $\large M_{1}$ qua phép đối xứng

Gọi I, J, O lần lượt là trung điểm của M$\large M_{1}$, $\large M_{1}$$\large M_{2}$, M$\large M_{2}$ (hiển nhiên M$\large M_{1}$ $\large \perp$ (P) và I $\large \in$ (P), $\large M_{1}$$\large M_{2}$ $\large \perp$ (Q) và J $\large \in$ (Q)

Ta có IO // $\large M_{1}$$\large M_{2}$ nên IO $\large \perp$ (Q). Do đó nếu gọi a là giao tuyến của (P) và (Q) thì IO $\large \perp$ a và O $\large \in$ a. Suy ra hai điểm M và $\large M_{2}$ đối xứng qua đường thẳng a.

Vậy hợp thành là phép đối xứng qua đường thẳng a.