§4. MẶT NÓN, HÌNH NÓN VÀ KHỐI NÓN

B/ CÂU HỎI VÀ BÀI TẬP

Bài 17. Trong mỗi trường hợp sau, gọi tên hình tròn xoay:

a) Sinh bởi ba cạnh của một tam giác cân khi quay quanh trục đối xứng của tam giác đó.

b) Sinh bởi một tam giác vuông (kể cả điểm trong) khi quay quanh đường thẳng chứa một cạnh góc vuông.

Giải

a) Hình nón tròn xoay

b) Khối nón tròn xoay

Bài 18. Cho điểm A nằm ngoài mặt cầu (S). Chứng minh rằng các đường thẳng đi qua A tiếp xúc với mặt cầu (S) luôn nằm trên một mặt nón xác định.

Giải

Gọi O là tâm và R là bán kính của mặt cầu (S). Qua A dựng tiếp tuyến a với (S), tiếp điểm là M. Đặt OA = d.

Tam giác AOM vuông tại M, ta có:

sin $\widehat{OAM}$ = $\large \frac{OM}{AO}$ = $\large \frac{R}{d}$ (không đổi)

Suy ra góc $\widehat{OAM}$ không đổi.

Vậy các đường thẳng a đi qua A tiếp xúc với mặt cầu (S) luôn nằm trên mặt nón đỉnh A, trục là đường thẳng OA, góc đỉnh $\alpha$ định bởi sin$\alpha$ = $\large \frac{R}{d}$

Bài 19. Một mặt cầu gọi là ngoại tiếp hình nón nếu mặt cầu đó đi qua đỉnh của hình nón và đi qua đường tròn đáy của hình nón. Hình nón như vậy gọi là nội tiếp mặt cầu đó.

a) Chứng minh rằng mọi hình nón đều có mặt cầu ngoại tiếp duy nhất.

b) Một hình nón có chiều cao h và bán kính đáy rằng r. Tìm bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình nón đó.

c) Cho hình nón nội tiếp mặt cầu bán kính R. Nếu hình nón đó có chiều cao bằng h thì bán kính đáy của nó bằng bao nhiêu? Tính diện tích xung quanh của hình nón đó.

Giải

a) Xét hình nón đỉnh S, đáy là đường tròn (T) tâm O.

Dựng thiết diện qua trục là SAB. Gọi K là trung điểm của SA. Qua K dựng mặt phẳng trung trực của SA, cắt SO tại I. Ta thấy điểm I cách đều điểm S và mọi điểm trên đường tròn (T). Vậy I là tâm của mặt cầu ngoại tiếp hình nón.

Vậy mọi hình nón đều có duy nhất một mặt cầu ngoại tiếp.

b) Bán kính của mặt cầu ngoại tiếp hình nón là R = SI

Hai tam giác vuông SKI và SOA đồng dạng cho:

$\large \frac{SK}{SO}$ = $\large \frac{SI}{SA}$ ⇒ SI = $\large \frac{SK.SA}{SO}$ = $\large \frac{SA^{2}}{2SO}$ = $\large \frac{r^{2}+h^{2}}{2h}$

Suy ra bán kính của mặt cầu là R = $\large \frac{r^{2}+h^{2}}{2h}$ (*)

c) + Từ kết quả (*) ta suy ra bán kính đáy của hình nón là r = $\sqrt{h(2R-h)}$

+ Độ dài đường sinh của hình nón:

l = SA = $\sqrt{SO^{2}+OA^{2}}$ = $\sqrt{h^{2}+h(2R-h)}$ = $\sqrt{2Rh}$

Diện tích xung quanh của hình nón:

$S_{xq}$ = $\pi$rl = $\pi$$\sqrt{h(2R-h)}$ . $\sqrt{2Rh}$ = $\pi$h$\sqrt{2R(2R-h)}$

Bài 20. Một mặt cầu gọi là nội tiếp hình nón nếu nó tiếp xúc với mặt đáy của hình nón và tiếp xúc với mọi đường sinh của hình nón. Khi đó hình nón được gọi là ngoại tiếp mặt cầu.

a) Chứng minh rằng mọi hình nón đều có mặt cầu nội tiếp duy nhất.

b) Một hình nón có chiều cao h và bán kính bằng r. Hãy tính bán kính mặt cầu nội tiếp.

Giải

a) Gọi S là đỉnh và đáy là đường tròn (T) tâm O. Kẻ đường sinh SA (A lấy bất kì trên (T))

Trong $\Delta$SOA vẽ phân giác trong góc $\widehat{SAO}$ cắt SO tại I. Điểm I như thế cách đều mặt đáy và đường sinh SA. Do vậy mặt cầu (S) tâm I bán kính R = IO tiếp xúc với mặt đáy và các đường sinh của hình nón, mặt cầu (S) là mặt cầu nội tiếp duy nhất của hình nón.

b)

Đặt $\widehat{SAO}$ = $\alpha$ suy ra $\widehat{IAO}$ = $\large \frac{\alpha }{2}$

Từ tam giác IOA vuông tại O, ta có:

IO = OAtan$\large \frac{\alpha }{2}$ = Rtan$\large \frac{\alpha }{2}$

Bán kính của mặt cầu nội tiếp là

R = rtan$\large \frac{\alpha }{2}$

Mà tan$\alpha$ = $\large \frac{h}{r}$ ⇔ $\large \frac{2t}{1-t^{2}}$ = $\large \frac{h}{r}$

⇔ h$t^{2}$ + 2rt – h = 0 (t = tan$\large \frac{\alpha }{2}$)

Giải phương trình này ta được

Suy ra bán kính R của mặt cầu nội tiếp hình nón là:

Bài 21. Cho tam giác ABC vuông tại A, AB = c, AC = b. Tính thể tích của khối tròn xoay sinh bởi tam giác đó (kể cả các điểm trong) khi quay quanh đường thẳng BC.

Giải

Kẻ đường cao AH của tam giác ABC. Tam giác ABC vuông tại A nên BC = $\sqrt{b^{2}+c^{2}}$

Khi cho $\Delta$ABC quay quanh cạnh BC ta được hai khối nón tròn xoay có chung đường tròn đáy, bán kính là AH, chiều cao là BH và CH. Thể tích khối này là:

V = $\large \frac{1}{3}$$\large \pi$$AH^{2}$.BH + $\large \frac{1}{3}$$\large \pi$$AH^{2}$.CH

= $\large \frac{1}{3}$$\large \pi$$AH^{2}$.(BH + CH) = $\large \frac{1}{3}$$\large \pi$$AH^{2}$.BC

Mà AH.BC = AB.AC ⇒ AH = $\large \frac{bc}{\sqrt{b^{2}+c^{2}}}$

Do đó V = $\large \frac{\pi b^{2}c^{2}}{3\sqrt{b^{2}+c^{2}}}$