Câu hỏi và bài tập

§3. PHƯƠNG TRÌNH CỦA ĐƯỜNG THẲNG

B/ CÂU HỎI VÀ BÀI TẬP

Bài 24. Trong không gian Oxyz, viết phương trình tham số và chính tắc (nếu có) của các đường thẳng sau đây:

a) Các trục tọa độ Ox, Oy và Oz;

b) Các đường thẳng đi qua điểm $\large M_{0}$($\large x_{0}$; $\large y_{0}$; $\large z_{0}$) (với $\large x_{0}$.$\large y_{0}$.$\large z_{0}$) $\large \neq$ 0) và song song với mỗi trục tọa độ;

c) Đường thẳng đi qua M(2; 0; -1) và có vectơ chỉ phương $\large \vec{u}$ (-1; 3; 5);

d) Đường thẳng đi qua M(-2; 1; 2) và có vectơ chỉ phương $\large \vec{u}$ (0; 0; -3);

e) Đường thẳng đi qua N(3; 2; 1) và vuông góc với mặt phẳng 2x - 5y + 4 = 0;

g) Đường thẳng đi qua điểm P(2; 3; -1) và Q(1; 2; 4).

Giải

a) Phương trình tham số của trục Ox, Oy, Oz lần lượt là:

$\large \left\{\begin{matrix} x=t & & \\ y=0 & & \\ z=0 & & \end{matrix}\right.$, $\large \left\{\begin{matrix} x=0 & & \\ y=t & & \\ z=0 & & \end{matrix}\right.$, $\large \left\{\begin{matrix} x=0 & & \\ y=0 & & \\ z=t & & \end{matrix}\right.$

Không có phương trình chính tắc.

b) Đường thẳng đi qua điểm $\large M_{0}$($\large x_{0}$; $\large y_{0}$; $\large z_{0}$) song song với các trục Ox; Oy; Oz có phương trình lần lượt là:

$\large \left\{\begin{matrix} x=x_{0}+t & & \\ y=y_{0} & & \\ z=z_{0} & & \end{matrix}\right.$, $\large \left\{\begin{matrix} x=x_{0} & & \\ y=y_{0}+t & & \\ z=z_{0} & & \end{matrix}\right.$, $\large \left\{\begin{matrix} x=x_{0} & & \\ y=y_{0} & & \\ z=z_{0}+t & & \end{matrix}\right.$

Không có phương trình chính tắc.

c) * Phương trình tham số của đường thẳng:

$\large \left\{\begin{matrix} x=2-t & & \\ y=3t & & \\ z=-1+5t & & \end{matrix}\right.$

* Phương trình chính tắc của đường thẳng:

$\large \frac{x-2}{-1}$ = $\large \frac{y}{3}$ = $\large \frac{z+1}{5}$

d) * Phương trình tham số của đường thẳng:

$\left\{\begin{matrix} x=-2 & & \\ y=1 & & \\ z=2-3t & & \end{matrix}\right.$

* Không có phương trình chính tắc.

e) Đường thẳng đi qua điểm N(3; 2; 1) và vuông góc với mặt phẳng 2x - 5y + 4 = 0 có vectơ chỉ phương $\large \vec{u}$ = (2; -5; 0).

* Phương trình tham số của đường thẳng:

$\left\{\begin{matrix} x=3+2t & & \\ y=2-5t & & \\ z=1 & & \end{matrix}\right.$

* Không có phương trình chính tắc.

g) Đường thẳng đi qua hai điểm P(2; 3; -1), Q(1; 2; 4) có vectơ chỉ phương: $\large \vec{u}$ = $\vec{PQ}$ = (-1; -1; 5)

* Phương trình tham số của đường thẳng:

$\left\{\begin{matrix} x=2-t & & \\ y=3-t & & \\ z=-1+5t & & \end{matrix}\right.$

* Phương trình chính tắc của đường thẳng.

$\large \frac{x-2}{-1}$ = $\large \frac{y-3}{-1}$ = $\large \frac{z+1}{5}$

Bài 25. Viết phương trình tham số, chính tắc (nếu có) của các đường thẳng sau đây:

a) Đường thẳng đi qua điểm (4; 3; 1) và song song với đường thẳng có phương trình: $\left\{\begin{matrix} x=1+2t & & \\ y=-3t & & \\ z=3+2t & & \end{matrix}\right.$

b) Đường thẳng đi qua điểm (-2; 3; 1) và song song với đường thẳng có phương trình:

$\large \frac{x-2}{2}$ = $\large \frac{y+1}{1}$ = $\large \frac{z+2}{3}$

Giải

a) * Phương trình tham số của đường thẳng: $\left\{\begin{matrix} x=4+2t & & \\ y=3-3t & & \\ z=1+2t & & \end{matrix}\right.$

* Phương trình chính tắc của đường thẳng: $\large \frac{x-4}{2}$ = $\large \frac{y-3}{-3}$ = $\large \frac{z-1}{2}$

* Phương trình tham số của đường thẳng: $\left\{\begin{matrix} x=-2+2t & & \\ y=3+t & & \\ z=1+3t & & \end{matrix}\right.$

* Phương trình chính tắc của đường thẳng: $\large \frac{x+2}{2}$ = $\large \frac{y-3}{1}$ = $\large \frac{z-1}{3}$

Bài 26. Viết phương trình hình chiếu vuông góc của đường thẳng d: $\large \frac{x-1}{2}$ = $\large \frac{y+2}{3}$ = $\large \frac{z-3}{1}$ trên mỗi mặt tọa độ.

Giải

Gọi $\Delta _{1}$, $\Delta _{2}$, $\Delta _{3}$ lần lượt là hình chiếu vuông góc của d trên (Oxy), (Oyz), (Ozx)

* Gọi (P) là mặt phẳng qua d và vuông góc với (Oxy) thì $\Delta _{1}$ là giao tuyến của (Oxy) và (P).

- Mặt phẳng (Oxy) có phương trình z = 0 và có vectơ pháp tuyến $\vec{k}$ = (0; 0; 1)

- (P) qua d và vuông góc với (Oxy) nên có phương trình:

$\large \frac{x-1}{2}$ = $\large \frac{y+2}{3}$ ⇔ 3x - 2y - 7 = 0

Các điểm nằm trên $\Delta _{1}$ có tọa độ nghiệm đúng hệ phương trình:

$\left\{\begin{matrix} 3x-2y-7=0 & \\ z=0 & \end{matrix}\right.$ ⇒ A(1; -2; 0) $\in$ $\Delta _{1}$

Mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến $\vec{n_{1}}$ = (3; -2; 0)

Vectơ chỉ phương của $\Delta _{1}$:

$\vec{u}$ = [$\vec{k}$, $\vec{n_{1}}$] = (2; 3; 0)

Phương trình tham số của $\Delta _{1}$: $\left\{\begin{matrix} x=1+2t & & \\ y=-2+3t & & \\ z=0 & & \end{matrix}\right.$

* Gọi (Q) là mặt phẳng qua d và vuông góc với (Oyz) thì $\Delta _{2}$ là giao tuyến của (Oyz) và (Q).

- Mặt phẳng (Oyz) có phương trình x = 0 và có vectơ pháp tuyến $\vec{i}$ = (1; 0; 0)

- (Q) qua d và vuông góc với (Oyz) nên có phương trình:

$\large \frac{z-3}{1}$ = $\large \frac{y+2}{3}$ ⇔ y - 3z + 11 = 0

Các điểm nằm trên $\Delta _{2}$ có tọa độ nghiệm đúng hệ phương trình:

$\left\{\begin{matrix} y-3z+11=0 & \\ x=0& \end{matrix}\right.$ ⇒ B(0; -11; 0) $\in$ $\Delta _{2}$

Mặt phẳng (Q) có vectơ pháp tuyến $\vec{n_{2}}$ = (0; 1; -3)

Vectơ chỉ phương của $\Delta _{2}$:

$\vec{u_{2}}$ = [$\vec{i}$, $\vec{n_{2}}$] = (0; 3; 1).

Phương trình tham số của $\Delta _{2}$: $\left\{\begin{matrix} x=0 & & \\ y=-11+3t & & \\ z=t & & \end{matrix}\right.$

* Gọi (R) là mặt phẳng qua d và vuông góc với (Oxz) thì $\Delta _{3}$ là giao tuyến của (Oxz) và (R).

- Mặt phẳng (Oxz) có phương trình y = 0 và có vectơ pháp tuyến $\vec{j}$ = (0; 1; 0)

- (R) qua d và vuông góc với (Oxz) nên có phương trình:

$\large \frac{x-1}{2}$ = $\large \frac{z-3}{1}$ ⇔ x - 2z + 5 = 0

Các điểm nằm trên $\Delta _{3}$ có tọa độ nghiệm đúng hệ phương trình:

$\left\{\begin{matrix} x-2z+5=0 & \\ y=0 & \end{matrix}\right.$ ⇒ C(-5; 0; 0) $\in$ $\Delta _{3}$

Mặt phẳng (R) có vectơ pháp tuyến $\vec{n_{3}}$ = (1; 0; -2)

Vectơ chỉ phương của $\Delta _{3}$:

$\vec{u}$ = [$\vec{n_{3}}$,$\vec{j}$] = (2; 0; 1)

Phương trình tham số của $\Delta _{3}$: $\left\{\begin{matrix} x=-5+2t & & \\ y=0 & & \\ z=t & & \end{matrix}\right.$

Bài 27. Cho đường thẳng d: $\left\{\begin{matrix} x=t & & \\ y=8+4t & & \\ z=3+2t & & \end{matrix}\right.$

và mặt phẳng (P): x + y + z - 7 = 0

a) Tìm một vectơ chỉ phương của d và một điểm nằm trên d

b) Viết phương trình mặt phẳng đi qua d và vuông góc với mp(P).

c) Viết phương trình hình chiếu vuông góc của d trên mp(P).

Giải

a) * d có vectơ chỉ phương $\vec{u}$ = (1; 4; 2)

* Cho t = 0 ta được $M_{0}$(0; 8; 3) $\in$ d.

b) Mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến $\vec{n}$ = (1; 1; 1).

Gọi ($\alpha$) là mặt phẳng đi qua d và vuông góc với (P) thì $M_{0}$(0; 8; 3) $\in$ ($\alpha$) và ($\alpha$) có vectơ pháp tuyến là:

$\vec{n_{\alpha }}$ = [$\vec{u}$, $\vec{n}$] = (2; 1; -3)

Phương trình của mp($\alpha$):

2.(x - 0) + 1.(y - 8) - 3(z - 3) = 0 ⇔ 2x + y - 3z + 1 = 0

c) Gọi $\Delta$ là hình chiếu vuông góc của d trên (P) thì $\Delta$ là giao tuyến của (P) và ($\alpha$).

+ Các điểm nằm trên $\Delta$ có tọa độ nghiệm đúng hệ phương trình:

$\left\{\begin{matrix} x+y+z-7=0 & \\ 2x+y-3z+1=0 & \end{matrix}\right.$ ⇔ A(-8; 15; 0) $\in$ $\Delta$

+ Vectơ chỉ phương của $\Delta$: $\vec{a}$ = [$\vec{n_{\alpha }}$, $\vec{n}$] = (4; -5; 1)

Phương trình tham số của $\Delta$: $\left\{\begin{matrix} x=-8+4t& & \\ y=15-5t & & \\ z=t & & \end{matrix}\right.$

Bài 28. Xác định vị trí tương đối giữa các cặp đường thẳng d và d' cho bởi phương trình:

a) d: $\large \frac{x-1}{2}$ = y - 7 = $\large \frac{z-3}{4}$; d': $\large \frac{x-3}{6}$ = $\large \frac{y+1}{-2}$ = $\large \frac{z+2}{1}$

d' là giao tuyến của hai mặt phẳng

b) d: $\left\{\begin{matrix} x=t & & \\ y=-3-4t & & \\ z=-3-3t & & \end{matrix}\right.$

($\alpha$): x + y - z = 0

($\alpha$'): 2x - y + 2z = 0

Giải

a) Đường thẳng d đi qua điểm A(1; 7; 3), có vectơ chỉ phương $\vec{u}$ = (2; 1; 4)

Đường thẳng d' đi qua điểm B(3; -1; -2), có vectơ chỉ phương $\vec{v}$ = (6; -2, 1)

Ta có: [$\vec{u}$,$\vec{v}$] = (9; 22; -10), $\vec{AB}$ = (2; -8; -5)

Suy ra [$\vec{u}$,$\vec{v}$]. $\vec{AB}$ = -108 $\neq$ 0

Vậy d và d' chéo nhau.

b) Đường thẳng d đi qua điểm A(0; -3; -3), có vectơ chỉ phương $\vec{u}$ = (1; -4; -3)

Đường thẳng d' đi qua điểm O(0; 0; 0), có vectơ chỉ phương $\vec{v}$ = (1; -4; -3)

Suy ra $\vec{u}$ = $\vec{v}$

Ngoài ra: điểm O(0, 0, 0) $\in$ d' nhưng O $\notin$ d.

Vậy: d // d'.

Bài 29. Viết phương trình đường thẳng đi qua A(1; -1; 1) và cắt cả hai đường thẳng sau đây:

d: $\left\{\begin{matrix} x=1+2t & & \\ y=t& & \\ z=3-t& & \end{matrix}\right.$

d': $\left\{\begin{matrix} x=t & & \\ y=-1-2t& & \\ z=2+t& & \end{matrix}\right.$

Giải

Đường thẳng d đi qua điểm M(1; 0; 3), có vectơ chỉ phương $\vec{u}$ = (2; 1;-1)

Đường thẳng d' đi qua điểm N(0; -1; 2), có vectơ chỉ phương $\vec{v}$ = (1;-2; 1)

Gọi (P) là mặt phẳng qua A và d, (Q) là mặt phẳng qua A và d' thì đường thẳng cần tìm là giao tuyến $\Delta$ của (P) và (Q). ($\Delta$ không song song với d và d').

+ $\vec{u}$ = (2; 1; -1), $\vec{AM}$ = (0; 1; 2).

Mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến $\vec{n_{p}}$ = [$\vec{u}$, $\vec{AM}$] = (3 -4; 2)

Phương trình của (P):

3.(x - 1) - 4.(y + 1) + 2.(z - 1) = 0 ⇔ 3x – 4y + 2z - 9 = 0

+ $\vec{v}$ = (1;-2; 1), $\vec{AN}$ = (-1; 0; 1).

Mặt phẳng (Q) có vectơ pháp tuyến $\vec{n_{Q}}$ = [$\vec{AN}$,$\vec{v}$] = (2; 2; 2)

Phương trình của (Q):

2.(x - 1) + 2.(y + 1) + 2.(z - 1) = 0 ⇔ x + y + z - 1 = 0

Các điểm thuộc $\Delta$ có tọa độ nghiệm đúng hệ phương trình:

$\left\{\begin{matrix} 3x-4y+2z-9=0 & \\ x+y+z-1=0 & \end{matrix}\right.$ ⇒ $M_{0}$(1; -1; 1) $\in$ $\Delta$

Đường thẳng $\Delta$ có vectơ chỉ phương:

$\vec{a}$ = [$\vec{n_{p}}$, $\vec{n_{Q}}$] = (-12; -2; 14), cùng phương với $\vec{b}$ = (6; 1; -7)

Nhận thấy $\vec{b}$ không cùng phương với $\vec{u}$ và $\vec{v}$.

Vậy phương trình tham số của $\Delta$ là: $\left\{\begin{matrix} x=1+6t & & \\ y=-1+t & & \\ z=1-7t & & \end{matrix}\right.$

Bài 30. Viết phương trình đường thẳng song song với đường thẳng $d_{1}$ và cắt cả hai đường thẳng $d_{2}$ và $d_{3}$, biết phương trình của $d_{1}$, $d_{2}$, $d_{3}$ là:

$d_{1}$: $\left\{\begin{matrix} x=1 & & \\ y=-2+4t & & \\ z=1-t & & \end{matrix}\right.$

$d_{2}$: $\large \frac{x-1}{1}$ = $\large \frac{y+2}{4}$ = $\large \frac{z-2}{3}$

$d_{3}$: $\left\{\begin{matrix} x=-4+5t' & & \\ y=-7+9t' & & \\ z=t' & & \end{matrix}\right.$

Giải

Đường thẳng $d_{1}$ đi qua điểm A(1; -2; 1), có vectơ chỉ phương $\vec{u}$ = (0; 4; -1)

Đường thẳng $d_{2}$ đi qua điểm B(1; -2; 2), có vectơ chỉ phương $\vec{v}$ = (1; 4; 3)

Đường thẳng $d_{3}$ đi qua điểm C(-4; -7; 0), có vectơ chỉ phương $\vec{w}$ = (5; 9; 1)

Gọi $\Delta$ là đường thẳng cần tìm, thì $\Delta$ có vectơ chỉ phương $\vec{u}$ = (0; 4; -1)

Lại gọi (P) là mặt phẳng qua $d_{2}$ và $\Delta$, (Q) là mặt phẳng qua $d_{3}$ và $\Delta$, đường thẳng $\Delta$ là giao tuyến của (P) và (Q).

Mặt phẳng (P) đi qua điểm B(1;-2; 2) và có vectơ pháp tuyến:

$\vec{n_{P}}$ = [$\vec{u}$, $\vec{v}$] = (16; -1; -4)

Phương trình của (P):

16.(x - 1) - 1.(y + 2) – 4.(z - 2) = 0 ⇔ 16x - y - 4z -10 = 0

Mặt phẳng (Q) đi qua điểm C(-4; -7; 0) và có vectơ pháp tuyến:

$\vec{n_{Q}}$ = [$\vec{u}$, $\vec{w}$] = (13; -5; -20)

Phương trình của (Q):

13.(x + 4) - 5.(y + 7) - 20.(z - 0) = 0 ⇔ 13x - 5y - 20z + 17 = 0

Các điểm thuộc $\Delta$ có tọa độ nghiệm đúng hệ phương trình:

$\left\{\begin{matrix} 16x-y-4z-10=0 & \\ 13x-5y-20z+17=0 & \end{matrix}\right.$ ⇒ $M_{0}$(1; -2; 2) $\in$ $\Delta$

Vectơ chỉ phương của $\Delta$:

$\vec{a}$ = [$\vec{n_{P}}$, $\vec{n_{Q}}$] = (0; 268; -67), cùng phương với $\vec{b}$ = (0; 4; -1)

Phương trình tham số của $\Delta$ là: $\left\{\begin{matrix} x=1 & & \\ y=-2+4t & & \\ z=2-t & & \end{matrix}\right.$

Bài 31. Cho hai đường thẳng:

$d_{1}$: $\left\{\begin{matrix} x=8+t & & \\ y=5+2t & & \\ z=8-t & & \end{matrix}\right.$

và $d_{2}$: $\large \frac{3-x}{7}$ = $\large \frac{y-1}{2}$ = $\large \frac{z-1}{3}$

a) Chứng tỏ rằng hai đường thẳng đó chéo nhau.

b) Viết phương trình mặt phẳng đi qua gốc tọa độ O và song A song với $d_{1}$ và $d_{2}$.

c) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng $d_{1}$ và $d_{2}$.

d) Viết phương trình đường vuông góc chung của hai đường thẳng đó.

Giải

a) Đường thẳng $d_{1}$ đi qua điểm M(8; 5; 8), có vectơ chỉ phương $\vec{u}$ = (1; 2; -1)

Đường thẳng $d_{2}$ đi qua điểm N(3; 1; 1), có vectơ chỉ phương $\vec{v}$ = (-7; 2; 3)

Ta có: [$\vec{u}$,$\vec{v}$] = (8; 4; 16), $\vec{MN}$ = (-5; -4; -7)

Suy ra: [$\vec{u}$,$\vec{v}$].$\vec{MN}$ = -168 $\neq$ 0

Vậy hai đường thẳng $d_{1}$ và $d_{2}$ chéo nhau.

[$\vec{u}$,$\vec{v}$] = (8; 4; 16), cùng phương với $\vec{w}$ = (2; 1; 4)

b) Mặt phẳng đi qua gốc tọa độ O song song với $d_{1}$ và $d_{2}$ có vectơ pháp tuyến là $\vec{w}$ = (2; 1; 4)

Phương trình của mặt phẳng này là: 2x + y + 4z = 0

c) Ta có: $\mid$[$\vec{u}$,$\vec{v}$]. $\vec{MN}$$\mid$ = 168, $\mid$[$\vec{u}$,$\vec{v}$]$\mid$ = $\sqrt{336}$ = 4$\sqrt{21}$

Suy ra khoảng cách giữa $d_{1}$ và $d_{2}$ là h = $\large \frac{168}{4\sqrt{21}}$ = 2$\sqrt{21}$

d) Gọi $\Delta$ là đường vuông góc chung của $d_{1}$ và $d_{2}$ thì $\Delta$ có vectơ chỉ phương là $\vec{w}$ = (2; 1; 4). Gọi (P) là mặt phẳng qua $d_{1}$ và $\Delta$, (Q) là mặt phẳng qua $d_{2}$ và $\Delta$, thì $\Delta$ là giao tuyến của (P) và (Q).

Mặt phẳng (P) đi qua điểm M(8; 5; 8) và có vectơ pháp tuyến là:

$\vec{n_{P}}$ = [$\vec{u}$, $\vec{w}$] = (9; -6; -3), cùng phương với $\vec{a}$ = (3; -2; -1)

Phương trình của (P):

3.(x - 8) - 2.(y - 5) - 1.(z - 8) = 0 ⇔ 3x – 2y - z - 6 = 0

Mặt phẳng (Q) đi qua điểm N(3; 1; 1) và có vectơ pháp tuyến là:

$\vec{n_{Q}}$ = [$\vec{v}$, $\vec{w}$] = (5; 34; -11)

Phương trình của (Q):

5.(x - 3) + 34.(y - 1) - 11.(z - 1) = 0 ⇔ 5x + 34y - 11z - 38 = 0

Các điểm thuộc $\Delta$ có tọa độ nghiệm đúng hệ phương trình:

$\left\{\begin{matrix} 3x-2y-z-6=0 & \\ 5x+34y-11z-38=0 & \end{matrix}\right.$ ⇒ $M_{0}$(3; 1; 1) $\in$ $\Delta$

Phương trình tham số của đường vuông góc chung là:

$\left\{\begin{matrix} x=3+2t & & \\ y=1+t & & \\ z=1+4t & & \end{matrix}\right.$

Bài 32. Cho đường thẳng d và mặt phẳng ($\alpha$) có phương trình:

d: $\large \frac{x-2}{2}$ = $\large \frac{y+1}{3}$ = $\large \frac{z-1}{5}$

($\alpha$): 2x + y + z - 8 = 0

a) Tìm góc giữa d và ($\alpha$).

b) Tìm tọa độ giao điểm của d và ($\alpha$).

c) Viết phương trình hình chiếu vuông góc của d trên ($\alpha$).

Giải

a) Đường thẳng d đi qua điểm $M_{0}$(2; -1; 1) có vectơ chỉ phương $\vec{u}$ = (2; 3; 5)

Mặt phẳng ($\alpha$) có vectơ pháp tuyến $\vec{n}$ = (2; 1; 1)

Gọi $\varphi$ là góc giữa d và ($\alpha$) ta có:

sin$\varphi$ = $\mid$ cos($\vec{u}$, $\vec{n}$) $\mid$ = $\large \frac{\mid 2.2+3.1+5.1\mid }{\sqrt{38}.\sqrt{6}}$ = $\large \frac{6}{\sqrt{57}}$

b) Tọa độ giao điểm của d và ($\alpha$) nghiệm đúng hệ phương trình:

$\large \left\{\begin{matrix} \frac{x-2}{2}=\frac{y+1}{3}=\frac{z-1}{5} & \\ 2x+y+z-8=0 & \end{matrix}\right.$ ⇔ $\large \left\{\begin{matrix} 3x-2y-8=0 & & \\ 5x-2z-8=0 & & \\ 2x+y+z-8=0 & & \end{matrix}\right.$ ⇔ x = $\large \frac{8}{3}$, y = 0, z = $\large \frac{8}{3}$

c) Gọi ($\beta$) là mặt phẳng qua d và vuông góc với ($\alpha$) thì hình chiếu vuông góc của d trên ($\alpha$) là giao tuyến của ($\alpha$) và ($\beta$).

Mặt phẳng ($\beta$) có vectơ pháp tuyến $\vec{n_{\beta }}$ = [$\vec{n}$, $\vec{u}$] = (2; -8; 4)

Suy ra vectơ chỉ phương của $\Delta$ là:

$\vec{a}$ = [$\vec{n_{\beta }}$, $\vec{n}$] = (-12; 6; 18), cùng phương với $\vec{b}$ = (2; -1; -3)

Phương trình của $\Delta$ là: $\large \left\{\begin{matrix} x=\frac{8}{3}+2t & & \\ y=-t & & \\ z=\frac{8}{3}-3t& & \end{matrix}\right.$

Vậy giao điểm của d và ($\alpha$) là I($\large \frac{8}{3}$, 0, $\large \frac{8}{3}$).

Bài 33. Cho đường thẳng $\Delta$ và mp (P) có phương trình:

$\Delta$: $\large \frac{x-1}{1}$ = $\large \frac{y-2}{2}$ = $\large \frac{z-3}{2}$

(P): 2x + z - 5 = 0

a) Xác định tọa độ giao điểm A của $\Delta$ và (P).

b) Viết phương trình đường thẳng đi qua A, nằm trong (P) và vuông góc với $\Delta$.

Giải

a) Tọa độ giao điểm của $\Delta$ và (P) nghiệm đúng hệ phương trình:

$\large \left\{\begin{matrix} \frac{x-1}{1}=\frac{y-2}{2}=\frac{z-3}{2} & \\ 2x+z-5=0 & \end{matrix}\right.$ ⇔ $\large \left\{\begin{matrix} 2x-y=0 & & \\ 2x-z+1=0& & \\ 2x+z-5=0 & & \end{matrix}\right.$ ⇔ $\large \left\{\begin{matrix} x=1 & & \\ y=2 & & \\ z=3 & & \end{matrix}\right.$

Vậy giao điểm của $\Delta$ và (P) là A(1; 2; 3).

b) Gọi (Q) là mặt phẳng đi qua A và vuông góc với $\Delta$ thì đường thẳng cần tìm là giao tuyến d của (P) và (Q).

Đường thẳng $\Delta$ có vectơ chỉ phương $\large \vec{u}$ = (1; 2; 2)

Do (Q) vuông góc với $\Delta$ nên (Q) nhận $\large \vec{u}$ = (1; 2; 2) làm vectơ pháp tuyến.

Phương trình của (Q):

1.(x - 1) + 2.(y - 2) + 2.(z - 3) = x + 2y + 2z - 11 = 0

Mặt phẳng (Q) có vectơ pháp tuyến $\vec{n_{Q}}$ = (1; 2; 2)

Mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến $\vec{n_{P}}$ = (2; 0; 1)

Vectơ chỉ phương của d:

$\vec{a}$ = [$\vec{n_{P}}$, $\vec{n_{Q}}$] = (2; 3; –4)

Phương trình của đường thẳng d cần tìm là:

$\large \frac{x-1}{2}$ = $\large \frac{y-2}{3}$ = $\large \frac{z-3}{-4}$

Bài 34. a) Tính khoảng cách từ điểm M(2; 3; 1) đến đường thẳng $\Delta$ có phương trình:

$\large \frac{x+2}{1}$ = $\large \frac{y-1}{2}$ = $\large \frac{z+1}{-2}$

b) Tính khoảng cách từ điểm N(2; 3; -1) đến đường thẳng $\Delta$ đi qua điểm $M_{0}$($\large \frac{-1}{2}$; 0; $\large \frac{-3}{4}$) và có vectơ chỉ phương $\vec{u}$(-4; 2; -1).

Giải

a) Đường thẳng $\Delta$ đi qua điểm A(-2; 1; -1) có vectơ chỉ phương $\vec{u}$ = (1; 2; -2)

$\vec{AM}$ = (4; 2; 2) ⇒ [$\vec{AM}$, $\vec{u}$] = (-8; 10; 6)

Ta có: $\mid$[$\vec{AM}$, $\vec{u}$]$\mid$ = $\sqrt{200}$ = 10$\sqrt{2}$ , $\mid$$\vec{u}$$\mid$ = 3

Suy ra khoảng cách từ M đến $\Delta$ là: d(M, $\Delta$) = $\large \frac{10\sqrt{2}}{3}$

b) $\large \vec{NM_{0}}$ = (-$\large \frac{5}{2}$; -3; $\large \frac{1}{4}$) ⇒ [$\large \vec{NM_{0}}$, $\vec{u}$] = ($\large \frac{5}{2}$; -$\large \frac{7}{2}$; -17)

Ta có: $\mid$[$\large \vec{NM_{0}}$, $\vec{u}$]$\mid$ = $\frac{\sqrt{1230}}{2}$, $\mid$$\vec{u}$$\mid$ = 21

Suy ra khoảng cách từ N đến $\Delta$ là: d(N, $\Delta$) = $\large \frac{\frac{\sqrt{1230}}{2}}{\sqrt{21}}$ = $\large \frac{\sqrt{2870}}{14}$.

Bài 35. Tìm khoảng cách giữa hai đường thẳng sau:

a) $\left\{\begin{matrix} x=1+t & & \\ y=-1+t & & \\ z=1 & & \end{matrix}\right.$ và $\left\{\begin{matrix} x=2-3t' & & \\ y=-2+3t' & & \\ z=3 & & \end{matrix}\right.$

b) $\large \frac{x}{-1}$ = $\large \frac{y-4}{1}$ = $\large \frac{z+1}{-2}$ và $\left\{\begin{matrix} x=-t' & & \\ y=2+3t' & & \\ z=-4+3t' & & \end{matrix}\right.$

Giải

a) Gọi $d_{1}$, $d_{2}$ lần lượt là hai đường thẳng có phương trình đã cho.

Đường thẳng $d_{1}$ đi qua điểm M(1; -1; 1), có vectơ chỉ phương $\vec{u}$ = (1; -1; 0)

Đường thẳng $d_{2}$ đi qua điểm N(2; -2; 3), có vectơ chỉ phương $\vec{v}$ = (-1; 1; 0)

Nhận thấy $\vec{u}$ và $\vec{v}$ cùng phương và điểm N $\in$ $d_{2}$, nhưng N $\notin$ $d_{1}$, do đó hai đường thẳng $d_{1}$ và $d_{2}$ song song với nhau.

Như vậy d($d_{1}$, $d_{2}$) = d(N, $d_{1}$).

Ta có: $\vec{u}$ = (1; -1; 0), $\vec{MN}$ = (1; -1; 2) ⇒ [$\vec{u}$, $\vec{MN}$] = (-2;-2; 0)

Suy ra: $\mid$[$\vec{u}$, $\vec{MN}$]$\mid$ = 2$\sqrt{2}$, $\mid$$\vec{u}$$\mid$ = $\sqrt{2}$

Vậy khoảng cách giữa $d_{1}$ và $d_{2}$ là: d($d_{1}$, $d_{2}$) = $\large \frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ = 2

b) Gọi $d_{1}$, $d_{2}$ lần lượt là hai đường thẳng có phương trình đã cho.

Đường thẳng $d_{1}$ đi qua điểm M(0; 4; -1), có vectơ chỉ phương $\vec{u}$ = (-1; 1; -2)

Đường thẳng $d_{2}$ đi qua điểm N(0; 2; -4), có vectơ chỉ phương $\vec{v}$ = (-1; 3; 3)

Ta có: [$\vec{u}$, $\vec{v}$]= (9; 5; -2), $\vec{MN}$ = (0; -2; -3) ⇒ [$\vec{u}$, $\vec{v}$].$\vec{MN}$ = -4

Suy ra $\mid$[$\vec{u}$, $\vec{v}$].$\vec{MN}$$\mid$ = 4, $\mid$[$\vec{u}$, $\vec{v}$]$\mid$ = $\sqrt{110}$

Khoảng cách giữa $d_{1}$ và $d_{2}$ là: h = $\large \frac{4}{\sqrt{110}}$ = $\large \frac{2\sqrt{110}}{55}$