§2. PHƯƠNG TRÌNH CỦA MẶT PHẲNG
A. KIẾN THỨC CẦN NHỚ
1. Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng
* Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng ($\alpha$) là vectơ $\vec{n}$ $\neq$ $\vec{0}$ có giá vuông góc với mặt phẳng ($\alpha$),
Ta viết $\vec{n}$ $\perp$ ($\alpha$).
* Nếu $\vec{u}$ và $\vec{v}$ là hai vectơ không cùng phương và các giá của chúng cùng song song với (hoặc nằm trên) một mặt phẳng ($\alpha$) thì vectơ $\vec{n}$ = [$\vec{u}$; $\vec{v}$] là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng ($\alpha$).
Cặp vectơ $\vec{u}$; $\vec{v}$ như trên còn gọi là cặp vectơ chỉ phương của mặt phẳng ($\alpha$).
2. Phương trình tổng quát của mặt phẳng
Trong không gian tọa độ Oxyz, mỗi phương trình
Ax + By + Cz + D = 0 với $A^{2}$ + $B^{2}$ + $C^{2}$ $\neq$ 0 (*)
đều là phương trình của một mặt phẳng xác định.
• Phương trình (*) được gọi là phương trình tổng quát của mặt phẳng.
• Nếu mặt phẳng ($\alpha$) có phương trình (*) thì một vectơ pháp tuyến của ($\alpha$) là $\vec{n}$(A; B; C).
3. Mặt phẳng đi qua điểm $M_{0}$($x_{0}$; $y_{0}$; $z_{0}$) và có vectơ pháp tuyến $\vec{n}$(A; B; C) có phương trình là:
A(x - $x_{0}$) + B(y - $y_{0}$) + C(z – $z_{0}$) = 0
4. Các trường hợp riêng:
Xét mặt phẳng ($\alpha$) có phương trình tổng quát Ax + By + Cz + D = 0.
Khi đó:
• ($\alpha$) đi qua gốc tọa độ O ⇔ D = 0
• ($\alpha$) song song với trục Oz ⇔ (C = 0, D $\neq$ 0)
($\alpha$) chứa trục Oz ⇔ (C = D = 0).
• ($\alpha$) song song với mp(Oyz) ⇔ (B = C = 0, D $\neq$ 0)
($\alpha$) trùng với mp(Oyz) ⇔ (B = C = D = 0).
Chú ý: Khi nói ($\alpha$) song song với Oz hoặc chứa Oz điều này tương đương với ($\alpha$) vuông góc với trục Ox.
(Các trường hợp khác được suy ra tương tự).
5. Phương trình theo đoạn chắn của mặt phẳng
Mặt phẳng ($\alpha$) cắt trục Ox tại điểm A(a; 0; 0), cắt trục Oy tại điểm B(0; b; 0), cắt trục Oz tại điểm C(0; 0; c) có phương trình:
$\large \frac{x}{a}$ + $\large \frac{y}{b}$ + $\large \frac{z}{c}$ = 1, abc $\neq$ 0
6. Vị trí tương đối của hai mặt phẳng
Cho hai mặt phẳng:
($\alpha$): Ax + By + Cz + D = 0 và ($\alpha$'): A'x + B'y + C'z + D' = 0
Ta có các trường hợp sau:
a) ($\alpha$) // ($\alpha$') ⇔ $\large \frac{A}{A'}$ = $\large \frac{B}{B'}$ = $\large \frac{C}{C'}$ $\neq$ $\large \frac{D}{D'}$
b) ($\alpha$) $\equiv$ ($\alpha$') ⇔ $\large \frac{A}{A'}$ = $\large \frac{B}{B'}$ = $\large \frac{C}{C'}$ = $\large \frac{D}{D'}$
c) ($\alpha$) cắt ($\alpha$') ⇔ $\large \frac{A}{A'}$ $\neq$ $\large \frac{B}{B'}$ hoặc $\large \frac{B}{B'}$ $\neq$ $\large \frac{C}{C'}$ hoặc $\large \frac{C}{C'}$ $\neq$ $\large \frac{A}{A'}$
($\alpha$) $\perp$ ($\alpha$') ⇔ AA' + BB' + CC' = 0
Ghi chú:
(i) Trong cách viết trên, ta quy ước một phân số nào đó nếu có mẫu số bằng 0 thì tử số cũng phải bằng 0.
(ii) Nếu hai bộ n số ($A_{1}$; $A_{2}$;...; $A_{n}$) và ($B_{1}$; $B_{2}$;...; $B_{n}$) tỉ lệ với nhau, ta kí hiệu:
$\large \frac{A_{1}}{B_{1}}$ = $\large \frac{A_{2}}{B_{2}}$ = ... = $\large \frac{A_{n}}{B_{n}}$
hoặc $A_{1}$ : $A_{2}$ : ... : $A_{n}$ = $B_{1}$ : $B_{2}$ : ... : $B_{n}$.
7. Góc giữa hai mặt phẳng
Cho hai mặt phẳng:
($\alpha$): Ax + By + Cz + D = 0 và ($\alpha$'): A'x + B'y + C'z + D' = 0
Gọi $\varphi$ là góc hợp bởi hai mặt phẳng ($\alpha$) và ($\alpha$'), ta có:
cos $\varphi$ = $\large \frac{\mid AA'+BB'+CC'\mid }{\sqrt{A^{2}+B^{2}+C^{2}}.\sqrt{A'^{2}+B'^{2}+C'^{2}}}$
8. Khoảng cách từ một điểm tới một mặt phẳng
Cho mặt phẳng ($\alpha$): Ax + By + Cz + D = 0 và điểm $M_{0}$($x_{0}$; $y_{0}$; $z_{0}$), ta có:
d($M_{0}$, ($\alpha$)) = $\large \frac{\mid Ax_{0}+By_{0}+Cz_{0}+D\mid }{\sqrt{A^{2}+B^{2}+C^{2}}}$