§2. PHƯƠNG TRÌNH CỦA MẶT PHẲNG

B/ CÂU HỎI VÀ BÀI TẬP

Bài 15. Viết phương trình mặt phẳng trong mỗi trường hợp sau:

a) Đi qua ba điểm M(2; 0; -1), N(1; -2; 3), P(0; 1; 2).

b) Đi qua hai điểm A(1; 1; -1), B(5; 2; 1) và song song với trục Oz.

c) Đi qua điểm (3; 2; -1) và song song với mặt phẳng có phương trình x – 5y + z = 0.

d) Đi qua hai điểm A(0; 1; 1), B(-1; 0; 2) và vuông góc với mặt phẳng x - y + z + 1 = 0.

e) Đi qua điểm M(a; b; c) (abc $\large \neq$ 0) và song song với một mặt phẳng tọa độ.

g) Đi qua điểm G(1; 2; 3) và cắt các trục tọa độ tại các điểm A, B, C sao cho G là trọng tâm tam giác ABC.

h) Đi qua điểm H(2; 1; 1) và cắt các trục tọa độ tại các điểm A, B, C sao cho H là trực tâm của tam giác ABC.

Giải

a) $\large \vec{MN}$ = (-1; -2; 4), $\large \vec{MP}$ = (-2; 1; 3)

Vectơ pháp tuyến của mp(MNP): [$\large \vec{MN}$, $\large \vec{MP}$] = (-10; -5 -5), cùng phương với $\large \vec{n}$ = (2; 1; 1).

Phương trình của mặt phẳng (MNP):

2.(x - 2) + 1.(y - 0) + 1.(z + 1) = 0 ⇔ 2x + y + z - 3 = 0

b) Gọi (P) là mặt phẳng cần tìm:

Ta có: $\large \vec{AB}$ = (4; 1; 2), $\large \vec{k}$ = (0; 0; 1)

Do (P) đi qua điểm A, B và song song với trục Oz nên có vectơ pháp tuyến là:

$\large \vec{n}$ = [$\large \vec{AB}$ , $\large \vec{k}$] = (1; -4; 0)

Phương trình của mặt phẳng (P):

1.(x - 1) - 4.(y - 1) = 0 ⇔ x - 4y + 3 = 0

c) Gọi (Q) là mặt phẳng cần tìm. Do (Q) song song với mặt phẳng x - 5y + z = 0 nên phương trình có dạng x – 5y + z + D = 0 (D $\large \neq$ 0)

Vì (Q) đi qua điểm (3; 2; -1) nên ta có D = 8

Vậy phương trình của (Q) là x – 5y + z + 8 = 0

d) $\large \vec{AB}$ = (-2; -1; 1), vectơ pháp tuyến của mặt phẳng x - y + z + 1 = 0 là $\large \vec{u}$ = (1; -1; 1)

Gọi (R) là mặt phẳng cần tìm, mặt phẳng (R) có vectơ pháp tuyến là:

[$\large \vec{AB}$, $\large \vec{u}$ ] = (0; 3; 3), cùng phương với vectơ $\large \vec{n}$ = (0; 1; 1).

Phương trình của mp(R):

1.(y - 1) + 1.(z - 1) = 0 ⇔ y + z - 2 = 0

e) * Mặt phẳng đi qua điểm M(a; b; c) và song song với mp(Oxy) có phương trình z = c.

* Mặt phẳng đi qua điểm M(a; b; c) và song song với mp(Oyz) có phương trình x = a.

* Mặt phẳng đi qua điểm M(a; b; c) và song song với mp(Oxz) có phương trình y = b.

g) Gọi A(a; 0; 0), B(0; b; 0), C(0; 0; c). Vì G(1; 2; 3) là trọng tâm của $\Delta$ABC nên ta có:

Phương trình của mặt phẳng cần tìm là:

$\large \frac{x}{3}$ + $\large \frac{y}{6}$ + $\large \frac{z}{9}$ = 1 ⇔ 6x + 3y + 2z - 18 = 0

h)

Gọi ($\large \alpha$) là mặt phẳng cần tìm. Trước hết ta chứng minh rằng OH $\large \perp$ mp($\large \alpha$). Kéo dài CH cắt AB tại điểm I. Do H là trực tâm của $\Delta$ABC nên CI $\perp$ AB. Từ giả thiết ta có:

OC $\perp$ (OAB) ⇒ OC $\perp$ AB

Suy ra AB $\perp$ (OCI) ⇒ AB $\perp$ OH

Chứng minh tương tự ta được BC $\perp$ OH

Do vậy: OH $\perp$ (ABC) hay OH $\perp$ mp($\alpha$).

Tóm lại, từ giả thiết ta suy ra được ($\alpha$) là mặt phẳng vuông góc với OH tại điểm H.

Một vectơ pháp tuyến của ($\alpha$) là: $\vec{n}$ = $\vec{OH}$ = (2; 1; 1)

Phương trình của mp($\alpha$) là:

2(x - 2) + 1(y - 1) + 1(z-1) = 0 ⇔ 2x + y + z - 6 = 0.

Bài 16. Xét vị trí tương đối của mỗi cặp mặt phẳng cho bởi các phương trình sau:

a) x + 2y - z + 5 = 0 và 2x + 3y – 7z – 4 = 0

b) x - 2y + z - 3 = 0 và 2x - y + 4z - 2 = 0

c) x + y + z - 1 = 0 và 2x + 2y + 2z + 3 = 0

d) 3x - 2y + 3z + 5 = 0 và 9x - 6y - 9z - 5 = 0

e) x - y + 2z - 4 = 0 và 10x – 10y + 20z - 40 = 0.

Giải

a) Gọi ($\alpha$): x + 2y - z + 5 = 0, ($\beta$): 2x + 3y - 7z - 4 = 0

Do 1 : 2 : (-1) $\neq$ 2 : 3 : (-7) nên hai mặt phẳng ($\alpha$) và ($\beta$) cắt nhau.

b) Gọi ($\alpha$): x - 2y + z – 3 = 0, ($\beta$): 2x - y + 4z – 2 = 0

Do: 1 : (-2) : 1 $\neq$ 2 : (-1) : 4 nên hai mặt phẳng ($\alpha$) và ($\beta$) cắt nhau.

c) Gọi ($\alpha$): x + y + z - 1 = 0, ($\beta$): 2x + 2y + 2z + 3 = 0

Do $\large \frac{1}{2}$ = $\large \frac{1}{2}$ = $\large \frac{1}{2}$ $\neq$ $\large \frac{-1}{3}$ nên ($\alpha$) // ($\beta$)

d) Gọi ($\alpha$): 3x - 2y + 3z + 5 = 0, ($\beta$): 9x - 6y - 9z – 5 = 0

Do 3 : (-2) : 3 $\neq$ 9 : (-6) : (-9) nên hai mặt phẳng ($\alpha$) và ($\beta$) cắt nhau.

e) Gọi ($\alpha$): x - y + 2z - 4 = 0, ($\beta$): 10x - 10y + 20z - 40 = 0

Do $\large \frac{1}{10}$ = $\large \frac{-1}{-10}$ = $\large \frac{2}{20}$ = $\large \frac{-4}{-40}$ nên ($\alpha$) $\equiv$ ($\beta$)

Bài 17. Xác định giá trị của m và n để mỗi cặp mặt phẳng sau đây song song:

a) 2x + ny + 2z + 3 = 0 và mx + 2y - 4z + 7 = 0.

b) 2x + y + mz - 2 = 0 và x + ny + 2z + 8 = 0.

Giải

a) Điều kiện để hai mặt phẳng đã cho song song với nhau là:

Vậy khi m = -4 và n = -1 thì hai mặt phẳng đã cho song song với nhau.

b) Điều kiện để hai mặt phẳng đã cho song song với nhau là:

Vậy khi m = 4 và n = $\large \frac{1}{2}$ thì hai mặt phẳng đã cho song song với nhau.

Bài 18. Cho hai mặt phẳng có phương trình lần lượt là:

2x - my + 3z - 6 + m = 0 và (m + 3)x - 2y + (5m + 1)z – 10 = 0

Với giá trị nào của m thì:

a) Hai mặt phẳng đó song song?

b) Hai mặt phẳng đó trùng nhau?

c) Hai mặt phẳng đó cắt nhau?

d) Hai mặt phẳng đó vuông góc?

Giải

Gọi ($\alpha$): 2x – my + 3z – 6 + m = 0, ($\beta$): (m + 3)x - 2y + (5m + 1)z – 10 = 0

a) Hai mặt phẳng ($\alpha$) và ($\beta$) song song với nhau khi và chỉ khi:

Nhận thấy m = 1 không nghiệm đúng (*).

Vậy không có giá trị nào của m để ($\alpha$) và ($\beta$) song song với nhau.

b) Hai mặt phẳng ($\alpha$) và ($\beta$) trùng nhau khi và chỉ khi:

Vậy nếu m = 1 thì hai mặt phẳng ($\alpha$) và ($\beta$) trùng nhau.

c) Hai mặt phẳng ($\alpha$) và ($\beta$) cắt nhau khi và chỉ khi:

Vậy nếu m $\neq$ 1 thì hai mặt phẳng ($\alpha$) và ($\beta$) cắt nhau.

Ghi chú: Có thể suy từ kết quả hai câu a) và b)

d) Hai mặt phẳng ($\alpha$) và ($\beta$) vuông góc với nhau khi và chỉ khi:

2(m + 3) + (-m).(-2) + 3.(5m + 1) = 0 ⇔ m = $\large \frac{-9}{19}$

Bài 19. Tìm tập hợp các điểm cách đều hai mặt phẳng ($\alpha$) và ($\alpha$') trong mỗi trường hợp sau:

a) ($\alpha$): 2x - y + 4z + 5 = 0, ($\alpha$'): 3x + 5y - z - 1 = 0;

b) ($\alpha$): 2x + y – 2z - 1 = 0, ($\alpha$'): 6x – 3y + 2z - 2 = 0;

c) ($\alpha$): x + 2y + z - 1 = 0, ($\alpha$'): x + 2y + z + 5 = 0.

Giải

Gọi M(x; y; z) là điểm cách đều ($\alpha$) và ($\alpha$') ta có:

a) d(M, ($\alpha$)) = d(M, ($\alpha$')) ⇔ $\large \frac{\mid 2x-y+4z+5\mid }{\sqrt{21}}$ = $\large \frac{\mid 3x+5y-z-1\mid }{\sqrt{35}}$

⇔ $\sqrt{5}$$\mid$ 2x - y + 4z + 5$\mid$ = $\sqrt{3}$$\mid$ 3x + 5y - z - 1$\mid$

Vậy tập hợp các điểm M gồm hai mặt phẳng có phương trình định bởi (1) và (2).

b) d(M, ($\alpha$)) = d(M, ($\alpha$')) ⇔ $\large \frac{\mid 2x+y-2z-1\mid }{3}$ = $\large \frac{\mid 6x-3y+2z-2\mid }{7}$

⇔ 7$\mid$ 2x + y - 2z - 1$\mid$ = 3$\mid$ 6x - 3y + 2z - 2$\mid$

Vậy tập hợp các điểm M gồm hai mặt phẳng có phương trình định bởi (1) và (2).

c) d(M, ($\alpha$)) = d(M, ($\alpha$')) ⇔ $\large \frac{\mid x+2y+z-1\mid }{\sqrt{6}}$ = $\large \frac{\mid x+2y+z+5\mid }{\sqrt{6}}$

⇔ x + 2y + z + 2 = 0

Vậy tập hợp các điểm M là một mặt phẳng có phương trình x + 2y + z + 2 = 0.

Bài 20. Tìm khoảng cách giữa hai mặt phẳng Ax + By + Cz + D = 0 và Ax + By + Cz + D' = 0 với D $\neq$ D'

Giải

Gọi ($\alpha$), ($\beta$) lần lượt là hai mặt phẳng có phương trình đã cho. Hiển nhiên hai mặt phẳng đã cho là song song với nhau.

Lấy điểm $M_{0}$($x_{0}$; $y_{0}$; $z_{0}$) $\in$ ($\alpha$) tức là A$x_{0}$ + B$y_{0}$ + C$z_{0}$ + D = 0.

Ta có: d(($\alpha$), ($\beta$)) = d($M_{0}$, ($\beta$)) = $\large \frac{\mid Ax_{0}+By_{0}+Cz_{0}+D'\mid }{\sqrt{A^{2}+B^{2}+C^{2}}}$

= $\large \frac{\mid -D+D'\mid }{\sqrt{A^{2}+B^{2}+C^{2}}}$ = $\large \frac{\mid D-D'\mid }{\sqrt{A^{2}+B^{2}+C^{2}}}$

Bài 21. Tìm điểm M trên trục Oz trong mỗi trường hợp sau:

a) M cách đều điểm A(2; 3; 4) và mặt phẳng 2x + 3y + z - 17 = 0;

b) M cách đều hai mặt phẳng x + y - z + 1 = 0 và x - y + z + 5 = 0.

Giải

a) Lấy điểm M(0; 0; z) $\in$ Oz. Điểm M cách đều điểm A và mặt phẳng ($\alpha$) khi và chỉ khi:

d(M, ($\alpha$)) = AM ⇔ $\large \frac{\mid 2.0+3.0+z-17\mid }{\sqrt{2^{2}+3^{2}+1^{2}}}$ = $\sqrt{(0-2)^{2}+(0-3)^{2}+(z-4)^{2}}$

⇔ $\mid z-17\mid$ = $\sqrt{14}$.$\sqrt{z^{2}-8z+29}$

Bình phương hai vế và thu gọn ta được:

$z^{2}$ - 6z + 9 = 0 ⇔ $(z-3)^{2}$ = 0 ⇔ z = 3.

Vậy M(0; 0; 3).

b) Lấy điểm M(0; 0; z) $\in$ Oz. Điểm M cách đều hai mặt phẳng ($\alpha$) và ($\beta$) khi và chỉ khi:

d (M, ($\alpha$)) = d(M, ($\beta$)) = $\large \frac{\mid 0+0-z+1\mid }{\sqrt{3}}$ = $\large \frac{\mid 0-0+z+5\mid }{\sqrt{3}}$

⇔ $\mid 1-z\mid$ = $\mid z+5\mid$ ⇔ ⇔ z = -2

Vậy M(0; 0; -2).

Bài 22. Cho tứ diện OABC có các tam giác OAB, OBC, OCA là những tam giác vuông đỉnh O. Gọi $\alpha$, $\beta$, $\gamma$ lần lượt là góc giữa mặt phẳng (ABC) và các mặt phẳng (OBC), (OCA), (OAB). Bằng phương pháp tọa độ, hãy chứng minh:

a) Tam giác ABC có ba góc nhọn;

b) $cos^{2}\alpha$ + $cos^{2}\beta$ + $cos^{2}\gamma$ = 1.

Giải

Đặt OA = a, OB = b, OC = c.

Chọn hệ Oxyz sao cho O là gốc tọa độ, A(a; 0; 0), B(0; b; 0), C(0; 0; c).

a) $\vec{AB}$ = (-a; b; 0), $\vec{AC}$ = (-a; 0; c)

Ta có: cosA = cos($\vec{AB}$, $\vec{AC}$) = $\large \frac{a^{2}}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}.\sqrt{a^{2}+c^{2}}}$ > 0

Do đó góc $\widehat{A}$ của $\Delta$ABC là một góc nhọn.

Chứng minh tương tự các góc $\widehat{B}$ và $\widehat{C}$ cũng là các góc nhọn.

b) Mặt phẳng (OAB) tức mp(Oxy) có vectơ pháp tuyến $\vec{k}$ = (0; 0; 1)

Mặt phẳng (ABC) có vectơ pháp tuyến $\vec{n}$ = [$\vec{AB}$,$\vec{AC}$] = (bc; ac; ab)

Vậy: $cos^{2}\alpha$ + $cos^{2}\beta$ + $cos^{2}\gamma$ = 1.

Bài 23. Viết phương trình mặt phẳng song song với mặt phẳng 4x + 3y - 12z + 1 = 0 và tiếp xúc với mặt cầu có phương trình:

$x^{2}$ + $y^{2}$ + $z^{2}$ - 2x - 4y - 6z - 2 = 0

Giải

Phương trình của mặt cầu viết lại:

$(x-1)^{2}$ + $(y-2)^{2}$ + $(z-3)^{2}$ = 16 (S)

Suy ra (S) có tâm I(1; 2; 3), bán kính R = 4

Phương trình của mặt phẳng (P) song song với mặt phẳng 4x + 3y - 12x + 1 = 0 có dạng: 4x + 3y - 12x + D = 0

Mặt phẳng (P) tiếp xúc với (S) khi và chỉ khi:

d(I, (P)) =R ⇔ $\large \frac{\mid -24+D\mid }{13}$ = 4 ⇔ $\mid$-26 + D$\mid$ = 52 ⇔

Vậy phương trình của mặt phẳng cần tìm là:

4x + 3y - 12z + 78 = 0 hoặc 4x + 3y - 12z – 26 = 0