ÔN TẬP CUỐI NĂM
I. BÀI TẬP TỰ LUẬN
Bài 1. Cho hình lăng trụ ABC.A'B'C', với cạnh bên không vuông góc với mặt đáy. Gọi ($\alpha$) là mặt phẳng vuông góc với các cạnh bên của hình lăng trụ và cắt chúng tại P, Q, R. Phép tịnh tiến theo vectơ $\vec{AA'}$ biến tam giác PQR thành tam giác P'Q'R'.
a) Chứng minh rằng thể tích V của hình lăng trụ đã cho bằng thể tích của hình lăng trụ PQR.P'Q'R'.
b) Chứng minh rằng V = $S_{PQR}$.AA', trong đó $S_{PQR}$ là diện tích tam giác PQR.
Giải
.png)
a) Phép tịnh tiến theo vectơ $\vec{AA'}$ biến khối đa diện ABCPQR thành khối đa diện A'B'C'P'Q'R', nên hai khối đa diện này có thể tích bằng nhau.
Ta có: V = $V_{ABCPQR}$ + $V_{PQRA'B'C'}$ = $V_{PQRA'B'C'}$ + $V_{A'B'C'P'Q'R'}$
Vậy V = $V_{PQR.P'Q'R'}$
b) Vì PQR.P'Q'R' là khối lăng trụ đứng nên:
$V_{PQR.P'Q'R'}$ = $S_{PQR}$.PP'
Mà AA' = PP' và V = $V_{PQR.P'Q'R'}$ nên: V = $S_{PQR}$.AA'
Bài 2. Cho tứ diện ABCD có thể tích V. Hãy tính thể tích của hình tứ diện có đỉnh là trọng tâm các mặt của tứ diện đã cho.
Giải
.png)
Gọi A'; B', C'; D' lần lượt là trọng tâm của các mặt BCD, ACD, ABD, ABC.
Gọi G là trọng tâm của tứ diện ABCD
Ta có $\vec{GA}$ + $\vec{GB}$ + $\vec{GC}$ + $\vec{GD}$ = $\vec{0}$
Vì A' là trọng tâm của $\Delta$BCD nên $\vec{GB}$ + $\vec{GC}$ + $\vec{GD}$ = 3$\vec{GA'}$
Do đó: $\vec{GA}$ + 3$\vec{GA'}$ = $\vec{0}$
Hay $\vec{GA'}$ = -$\large \frac{1}{3}$$\vec{GA}$
Tương tự: $\vec{GB'}$ = -$\large \frac{1}{3}$$\vec{GB}$, $\vec{GC'}$ = -$\large \frac{1}{3}$$\vec{GC}$, $\vec{GD'}$ = -$\large \frac{1}{3}$$\vec{GD}$
Như thế A', B', C', D' lần lượt là ảnh của A, B, C, D qua phép vị tự tâm G tỉ số k = -$\large \frac{1}{3}$
Vậy khối tứ diện A'B'C'D' là ảnh của khối tứ diện ABCD qua phép vị tự tâm G tỉ số k = -$\large \frac{1}{3}$
Suy ra thể tích của khối tứ diện A'B'C'D' là:
V' = $\large (\frac{1}{3})^{3}$.V = $\large \frac{V}{27}$
Bài 3. Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D' có thể tích V. Hãy tính thể tích của tứ diện ACB'D'.
Giải
.png)
Ta có: $V_{ACB'D'}$ = V - ($V_{ACBB'}$ + $V_{ACDD'}$ + $V_{CB'C'D'}$ + $V_{AA'B'D'}$)
Mà $V_{ACBB'}$ = $V_{ACDD'}$ = $V_{CB'C'D'}$ = $V_{AA'B'D'}$ = $\large \frac{V}{6}$
Suy ra: $V_{ACB'D'}$ = V - 4.$\large \frac{V}{6}$ = $\large \frac{V}{3}$
Bài 4. Chứng minh rằng 6 trung điểm các cạnh của một hình tứ diện đều đã cho là các đỉnh của một hình tám mặt đều. Hãy so sánh thể tích của tứ diện đều đã cho và thể tích của hình tám mặt đều đó.
Giải
.png)
Ta xét hình tứ diện đều ABCD cạnh a.
Gọi I, J, M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, AC, CD, BD, AD, BC. Ta được một khối đa diện có 8 mặt, mỗi mặt là tam giác, đó là IJMNPQ.
Ta dễ dàng tính được tất cả các cạnh của IJMNPQ đều bằng $\large \frac{a}{2}$
Vậy IJMNPQ là một khối tám mặt đều (đpcm)
Gọi V là thể tích khối tứ diện ABCD, ta có:
$V_{AIJP}$ = $\large \frac{AI}{AB}$.$\large \frac{AJ}{AC}$.$\large \frac{AP}{AD}$.V = $\large \frac{1}{2}$.$\large \frac{1}{2}$.$\large \frac{1}{2}$V = $\large \frac{V}{8}$
Tương tự: $V_{BINQ}$ = $V_{CJMQ}$ = $V_{DMNP}$ = $\large \frac{V}{8}$
Suy ra $V_{IJMNPQ}$ = V – 4.$\large \frac{V}{8}$ = $\large \frac{V}{2}$
Bài 5. Cho hình vuông ABCD nội tiếp đường tròn (O; R). Gọi .png)
là hình gồm các điểm của hình tròn (O; R) nhưng không nằm trong hình vuông. Tính thể tích hình tròn xoay sinh bởi hình .png)
khi quay quanh một đường chéo của hình vuông.
Giải
.png)
Gọi V là thể tích khối tròn xoay sinh bởi hình khi quay quanh đường chéo AC của hình vuông ABCD.
Khi quay quanh AC:
- Hình tròn (O; R) sinh ra khối cầu (S) tâm O bán kính R.
Thể tích khối cầu: Vc = $\large \frac{4}{3}\pi R^{3}$
- Hình vuông sinh ra hai khối nón có bán kính đáy R và chiều cao h = R
Thể tích khối tròn xoay này là: $V_{N}$ = 2.$\large \frac{1}{3}$$\pi$$R^{2}$.R = $\large \frac{2}{3}$$\pi R^{3}$
Suy ra: V = Vc - $V_{N}$ = $\large \frac{4}{3}\pi R^{3}$ - $\large \frac{2}{3}$$\pi R^{3}$ = $\large \frac{2}{3}$$\pi R^{3}$
Bài 6. Cho lục giác đều ABCDEF cạnh a.
a) Tính thể tích khối tròn xoay sinh bởi lục giác đó khi quay quanh đường thẳng AD.
b) Tính thể tích hình tròn xoay sinh bởi lục giác đó khi quay quanh đường thẳng đi qua trung điểm của các cạnh AB và DE.
Giải
.png)
a) Khi cho lục giác đều ABCDEF quay quanh AD ta được một khối trụ có bán kính đáy R = $\large \frac{a\sqrt{3}}{2}$ chiều cao HK = a và hai khối nón bằng nhau có bán kính đáy R = $\large \frac{a\sqrt{3}}{2}$, chiều cao h = $\large \frac{a}{2}$
Thể tích khối tròn xoay sinh ra là:
$V_{1}$ = $\pi$$\large (\frac{a\sqrt{3}}{2})^{2}$.a + 2.$\large \frac{1}{3}$.$\pi$$\large (\frac{a\sqrt{3}}{2})^{2}$.$\large \frac{a}{2}$ = $\pi$$a^{3}$
b) Thể tích khối tròn xoay sinh bởi ABCDEF khi cho nó quay quanh trung trực của AB, gấp hai lần thể tích khối sinh bởi tứ giác ABCF. Khối sinh bởi ABCF là một khối nón cụt có bán kính các đáy là a và $\large \frac{a}{2}$, chiều cao bằng OM = $\large \frac{a\sqrt{3}}{2}$ (M là trung điểm của AB)
Thể tích khối nón cụt này là:
$V_{NC}$ = $\large \frac{1}{3}$$\pi a^{2}.a\sqrt{3}$ - $\large \frac{1}{3}$$\pi$.$\large (\frac{a}{2})^{2}$.$\large \frac{a\sqrt{3}}{2}$ = $\large \frac{7\sqrt{3}\pi a^{3}}{24}$
Suy ra thể tích khối tròn xoay sinh bởi ABCDEF là:
$V_{2}$ = 2$V_{NC}$ = $\large \frac{7\sqrt{3}\pi a^{3}}{12}$
Bài 7. Cho hình trụ có bán kính R và đường cao R$\sqrt{2}$. Gọi AB và CD là hai đường kính thay đổi của hai đường tròn đáy mà AB vuông góc với CD.
a) Chứng minh rằng ABCD là tứ diện đều.
b) Chứng minh rằng các đường thẳng AC, AD, BC, BD luôn tiếp xúc với một mặt trụ cố định (tức là khoảng cách từ các đường thắng đó tới trục của mặt trụ bằng bán kính mặt trụ).
Giải
.png)
a) Gọi (O), (O') là hai đường tròn đáy, giả sử A, B $\in$ (O) và C, D $\in$ (O')
Kẻ hai đường sinh AE, BF. Từ giả thiết suy ra CEDF là hình vuông
Ta có:
+ AB = CD = 2R
+ Tam giác AEC vuông cân tại E
⇒ AC = AE$\sqrt{2}$ = 2R
+ Chứng minh tương tự:
AD = BC = BD = 2R
Vậy ABCD là một tứ diện đều cạnh 2R.
b) Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AC và BD. Do AC và BD là hai cạnh đối của tứ diện đều ABCD, nên chúng cắt nhau tại trung điểm I của mỗi đường, và MN vuông góc với cả AC và BD, ngoài ra ta cũng có MN $\perp$ OO'.
Ta có: IM = IN = $\large \frac{OO'}{2}$ = $\large \frac{R\sqrt{2}}{2}$ ⇒ d(AC, OO') = d(BD, OO') = $\large \frac{R\sqrt{2}}{2}$
Vậy: hai đường thẳng AC và BD luôn tiếp xúc với mặt (T) trục OO' bán kính r = $\large \frac{R\sqrt{2}}{2}$
Chứng minh tương tự AD và BD cũng tiếp xúc với mặt trụ (T).
Bài 8. Trong không gian tọa độ Oxyz, cho các điểm A(1; 5; 3), B(4; 2; -5), C(5; 5; -1) và D(1; 2; 4).
a) Chứng tỏ rằng bốn điểm A, B, C, D không đồng phẳng.
b) Viết phương trình mặt cầu (S) đi qua bốn điểm A, B, C, D. Xác định tâm và tính bán kính của mặt cầu đó.
c) Viết phương trình mặt phẳng đi qua ba điểm A, B, C và tìm khoảng cách từ điểm D tới mặt phẳng đó.
d) Viết phương trình mặt phẳng vuông góc với CD và tiếp xúc với mặt cầu (S).
e) Tìm bán kính các đường tròn giao tuyến của mặt cầu (S) và các mặt phẳng tọa độ.
Giải
a) Ta có $\vec{AB}$ = (3; -3; -8), $\vec{AC}$ = (4; 0; -4), $\vec{AD}$ = (0; -3; 1)
[$\vec{AB}$, $\vec{AC}$] = (12; -20; 12) ⇒ [$\vec{AB}$, $\vec{AC}$]. $\vec{AD}$ = 72 $\neq$ 0
Suy ra bốn điểm A, B, C, D không đồng phẳng.
b) Phương trình của mặt cầu (S) đi qua bốn điểm A, B, C, D có dạng:
$x^{2}$ + $y^{2}$ + $z^{2}$ + 2ax + 2by + 2cz + d = 0
Do (S) qua A, B, C, D nên ta có hệ phương trình:
$\left\{\begin{matrix} 35+2a+10b+6c+d=0 & & & \\ 45+8a+4b-10c+d=0 & & & \\ 51+10a+10b-2c+d=0& & & \\ 21+2a+4b+8c+d=0 & & & \end{matrix}\right.$
Giải được: a = -1, b = -2, c = 1, d = -19
Vậy (S): $x^{2}$ + $y^{2}$ + $z^{2}$ - 2x - 4y + 2z - 19 = 0
Mặt cầu (S) có tâm I(1; 2; -1), bán kính R = 5.
c) Mặt phẳng đi qua A, B, C có vectơ pháp tuyến là:
$\vec{n}$ = [$\vec{AB}$, $\vec{AC}$] = (12; -20; 12), cùng phương với vectơ $\vec{p}$ = (3; -5; 3)
Phương trình của mp(ABCD):
3(x - 1) - 5(y - 5) + 3(z - 3) = 0 ⇔ 3x - 5y + 3z + 13 = 0
Khoảng cách từ D đến mp(ABC):
d(D, (ABC)) = $\large \frac{\mid 3.1-5.2+3.4+13\mid }{\sqrt{43}}$ = $\large \frac{18}{\sqrt{43}}$
d) Gọi (P) là mặt phẳng vuông góc với CD, thì (P) có vectơ pháp tuyến là:
$\vec{q}$ = $\vec{DC}$ = (4; 3; -5)
Do đó phương trình của (P) có dạng: 4x + 3y – 5z + m = 0
Mặt phẳng (P) tiếp xúc với mặt cầu (S) khi và chỉ khi:
d(I, (P)) = R ⇔ $\large \frac{\mid 4.1+3.2-5.(-1)+m\mid }{\sqrt{50}}$ = 5
⇔ $\mid$m + 15$\mid$ = 25$\sqrt{2}$ ⇔ .png)
Vậy có hai mặt phẳng thỏa mãn đề bài phương trình là:
4x + 3y - 5z - 15 + 25$\sqrt{2}$ = 0
và 4x + 3y - 5z - 15 - 25$\sqrt{2}$ = 0
e) Mặt cầu (S) có tâm I(1; 2; -1), bán kính R = 5
Gọi ($T_{1}$), ($T_{2}$), ($T_{3}$) là các đường tròn giao tuyến của mặt cầu (S) lần lượt với các mặt phẳng (Oxy), (Oyz), (Ozx).
* Tâm $I_{1}$ của ($T_{1}$) là hình chiếu vuông góc của I(1; 2; -1) trên (Oxy), suy ra $I_{1}$(1; 2; 0). Khoảng cách từ I đến mp(Oxy) là $d_{1}$ = $\mid$-1$\mid$ = 1.
Bán kính của ($T_{1}$) là: $r_{1}$ = $\sqrt{5^{2}-1^{2}}$ = 2$\sqrt{6}$
Vậy ($T_{1}$) có tâm $I_{1}$(1; 2; 0) và bán kính $r_{1}$ = 2$\sqrt{6}$
* Tâm $I_{2}$ của ($T_{2}$) là hình chiếu vuông góc của I(1; 2; -1) trên (Oyz), suy ra $I_{2}$(0; 2; -1). Khoảng cách từ I đến mp(Oyz) là $d_{2}$ = $\mid$1$\mid$ = 1.
Bán kính của ($T_{2}$) là: $r_{2}$ = $\sqrt{5^{2}-1^{2}}$ = 2$\sqrt{6}$
Vậy ($T_{2}$) có tâm $I_{2}$(0; 2; -1) và bán kính $r_{2}$ = 2$\sqrt{6}$
* Tâm $I_{3}$ của ($T_{3}$) là hình chiếu vuông góc của I(1; 2; -1) trên (Ozx), suy ra $I_{3}$(1; 0; -1). Khoảng cách từ I đến mp(Ozx) là
$d_{3}$ = $\mid$2$\mid$ = 2
Bán kính của ($T_{3}$) là: $r_{3}$ = $\sqrt{5^{2}-2^{2}}$ = $\sqrt{21}$
Vậy ($T_{3}$) có tâm $I_{3}$(1; 0; -1) và bán kính $r_{3}$ = $\sqrt{21}$
Ghi chú: Có thể tìm tâm và bán kính của ($T_{1}$) như sau:
Phương trình của mặt cầu (S) viết lại:
$(x-1)^{2}$ + $(y-2)^{2}$ + $(z+1)^{2}$ = 25
Đường tròn ($T_{1}$) là tập hợp các điểm nghiệm đúng hệ phương trình:
$\left\{\begin{matrix} (x-1)^{2}+(y-2)^{2}+(z+1)^{2}=25 & \\ z=0& \end{matrix}\right.$ ⇔ $\left\{\begin{matrix} (x-1)^{2}+(y-2)^{2}=24 & \\ z=0 & \end{matrix}\right.$
Suy ra ($T_{1}$) có tâm $I_{1}$(1; 2; 0) và bán kính $r_{1}$ = 2$\sqrt{6}$
Bài 9. Trong không gian tọa độ Oxyz, cho đường thẳng $\Delta$ có phương trình: $\large \frac{x-1}{2}$ = $\large \frac{y+1}{-1}$ = $\large \frac{z}{3}$
a) Viết phương trình hình chiếu của $\Delta$ trên các mặt phẳng tọa độ.
b) Chứng minh rằng mặt phẳng x + 5y + z + 4 = 0 đi qua đường thẳng $\Delta$.
c) Tính khoảng cách giữa đường thẳng $\Delta$ và các trục tọa độ.
d) Viết phương trình đường vuông góc chung của $\Delta$ và đường thẳng $\Delta$': x = y = z
e) Viết phương trình đường thẳng song song với Oz, cắt cả $\Delta$ và $\Delta$'.
Giải
a) Trên $\Delta$ lấy hai điểm A(1; -1; 0) và B(3; -2; 3)
* Hình chiếu vuông góc của A, B trên mp(Oxy) là $A_{1}$(1; -1; 0), $B_{1}$(3; -2; 0)
Gọi $d_{1}$ là hình chiếu vuông góc của đường thẳng $\Delta$ trên mặt phẳng (Oxy) thì $d_{1}$ là đường thẳng qua hai điểm $A_{1}$ và $B_{1}$, $d_{1}$ có vectơ chỉ phương $\vec{a}$ = $\vec{AB}$ = (2; -1; 0)
Phương trình của $d_{1}$ là: $\left\{\begin{matrix} x=1+2t & & \\ y=-1-t & & \\ z=0 & & \end{matrix}\right.$
* Hình chiếu vuông góc của A, B trên mp(Oyz) là $A_{2}$(0; -1; 0), $B_{2}$(0; -2; 3)
Gọi $d_{2}$ là hình chiếu vuông góc của đường thẳng $\Delta$ trên mặt phẳng (Oxy) thì $d_{2}$ có phương trình là: $\left\{\begin{matrix} x=0 & & \\ y=-1-t & & \\ z=3t & & \end{matrix}\right.$
* Hình chiếu vuông góc của A, B trên mp(Ozx) là $A_{3}$(1; 0; 0), $B_{3}$(3; 0; 3)
Gọi $d_{3}$ là hình chiếu vuông góc của đường thẳng $\Delta$ trên mặt phẳng (Ozx) thì $d_{3}$ có phương trình là: $\left\{\begin{matrix} x=1+2t & & \\ y=0 & & \\ z=3t & & \end{matrix}\right.$
b) Đường thẳng $\Delta$ đi qua điểm M(1; -1; 0) có vectơ chỉ phương $\vec{u}$ = (2; -1; 3)
Mặt phẳng (P): x + 5y + z + 4 = 0 có vectơ pháp tuyến $\vec{n}$ = (1; 5; 1)
Do $\vec{u}$.$\vec{n}$ = 0 và điểm M(1; -1; 0) $\in$ (P) nên $\Delta$ $\subset$ (P)
Vậy mặt phẳng (P) đi qua đường thẳng $\Delta$.
c) * Trục Ox có vectơ chỉ phương $\vec{i}$ = (1; 0; 0) ⇒ [$\vec{i}$, $\vec{u}$] = (0; -3; -1)
Ta có $\vec{OM}$ = (1; -1; 0) ⇒ [$\vec{i}$, $\vec{u}$].$\vec{OM}$ = 3
Suy ra d($\Delta$, Ox) = $\large \frac{\mid 3\mid }{\sqrt{0^{2}+(-3)^{2}+(-1)^{2}}}$ = $\large \frac{3}{\sqrt{10}}$
* Trục Oy có vectơ chỉ phương $\vec{j}$ = (0; 1; 0) ⇒ [$\vec{j}$, $\vec{u}$] = (3; 0; -2)
Ta có $\vec{OM}$ = (1; -1; 0) ⇒ [$\vec{j}$, $\vec{u}$]. $\vec{OM}$ = 3
Suy ra d($\Delta$, Oy) = $\large \frac{\mid 3\mid }{\sqrt{3^{2}+0^{2}+(-2)^{2}}}$ = $\large \frac{3}{\sqrt{13}}$
* Trục Oz có vectơ chỉ phương $\vec{k}$ = (0; 0; 1) ⇒ [$\vec{k}$, $\vec{u}$] = (1; 2; 0)
Ta có $\vec{OM}$ = (1; -1; 0) ⇒ [$\vec{k}$, $\vec{u}$].$\vec{OM}$ = -1
Suy ra d($\Delta$, Oz) = $\large \frac{\mid -1\mid }{\sqrt{1^{2}+2^{2}+0^{2}}}$ = $\large \frac{1}{\sqrt{5}}$
d) Đường thẳng $\Delta$ đi qua điểm M(1; -1; 0) có vectơ chỉ phương $\vec{u}$ = (2; -1; 3)
Đường thẳng $\Delta$' đi qua điểm O(0; 0; 0) có vectơ chỉ phương $\vec{v}$ = (1; 1; 1)
Gọi T là đường vuông góc chung của $\Delta$ và $\Delta$' thì T có vectơ chỉ phương là: $\vec{a}$ = [$\vec{u}$, $\vec{v}$] = (-4; 1; 3)
Gọi (P) là mặt phẳng chứa T và $\Delta$, (Q) là mặt phẳng chứa T và $\Delta$' thì T là giao tuyến của (P) và (Q).
Mặt phẳng (P) đi qua điểm M(1; -1; 0) và có vectơ pháp tuyến $\vec{n_{P}}$ = [$\vec{a}$, $\vec{u}$] = (6; 18; 2)
Phương trình của mp(P):
6(x - 1) + 18(y + 1) + 2(z - 0) = 0 ⇔ 3x + 9y + z + 6 = 0
Mặt phẳng (Q) đi qua điểm O(0; 0; 0) và có vectơ pháp tuyến $\vec{n_{Q}}$ = [$\vec{a}$, $\vec{v}$] = (-2; 7; -5)
Phương trình của mp(Q): -2x + 7y – 5z = 0
Các điểm nằm trên T có tọa độ nghiệm đúng hệ phương trình:
$\left\{\begin{matrix} 3x+9y+z+6=0 & \\ -2x+7y-5z=0 & \end{matrix}\right.$ ⇒ A($\large \frac{30}{13}$; 0; $\large \frac{12}{13}$) $\in$ T
Vậy phương trình của đường vuông góc chung T là:
$\large \left\{\begin{matrix} x=\frac{30}{13}-4t & & \\ y=t & & \\ z=\frac{12}{13}+3t & & \end{matrix}\right.$
e) Gọi d là đường thẳng song song với trục Oz đồng thời cắt cả $\Delta$ và $\Delta$'; ($\alpha$) là mặt phẳng chứa d và $\Delta$, ($\beta$) là mặt phẳng chứa d và $\Delta$' thì d là giao tuyến của ($\alpha$) và ($\beta$).
Mặt phẳng ($\alpha$) đi qua điểm M(1; -1; 0) và có vectơ pháp tuyến $\vec{n_{\alpha }}$ = [$\vec{k}$, $\vec{u}$] = (1; 2; 0)
Phương trình của ($\alpha$):
1(x - 1) + 2(y + 1) = 0 ⇔ x + 2y + 1 = 0
Mặt phẳng ($\beta$) đi qua điểm O(0; 0; 0) và có vectơ pháp tuyến $\vec{n_{\beta }}$ = [$\vec{k}$, $\vec{v}$] = (-1; 1; 0)
Phương trình của ($\beta$): -x + y = 0
Các điểm thuộc d có tọa độ nghiệm đúng hệ phương trình:
$\left\{\begin{matrix} x+2y+1=0 & \\ x-y=0 & \end{matrix}\right.$ ⇒ B(-$\large \frac{1}{3}$; -$\large \frac{1}{3}$; 0) $\in$ d
Ngoài ra do d // Oz nên d có vectơ chỉ phương là $\vec{k}$ = (0; 0; 1)
Vậy phương trình của đường thẳng d là: $\large \left\{\begin{matrix} x=-\frac{1}{3} & & \\ y=-\frac{1}{3} & & \\ z=t& & \end{matrix}\right.$
Bài 10. Trong không gian tọa độ Oxyz cho hai điểm A(1; -1; 2), B(2; 0; 1).
a) Tìm quỹ tích các điểm M sao cho $MA^{2}$ – $MB^{2}$ = 2
b) Tìm quỹ tích các điểm N sao cho $NA^{2}$ + $NB^{2}$ = 3
c) Tìm quỹ tích các điểm cách đều hai mặt phẳng (OAB) và (Oxy).
Giải
a) Với bất kì điểm M(x, y, z), ta có:
$MA^{2}$ = $(x-1)^{2}$ + $(y+1)^{2}$ + $(z-2)^{2}$ = $x^{2}$ + $y^{2}$ + $z^{2}$ - 2x + 2y – 4z + 6
$MB^{2}$ = $(x-2)^{2}$ + $y^{2}$ + $(z-1)^{2}$ = $x^{2}$ + $y^{2}$ + $z^{2}$ - 4x – 2z + 5
Suy ra: $MA^{2}$ – $MB^{2}$ = 2x + 2y - 2z + 1
Do đó: $MA^{2}$ – $MB^{2}$ = 2 ⇔ 2x + 2y - 2z + 1 = 2 ⇔ 2x + 2y - 2z - 1 = 0
Vậy quỹ tích các điểm M sao cho $MA^{2}$ – $MB^{2}$ = 2 là một mặt phẳng có phương trình: 2x + 2y - 2z – 1 = 0
b) Với bất kì điểm N(x; y; z), ta có:
$NA^{2}$ = $x^{2}$ + $y^{2}$ + $z^{2}$ - 2x + 2y - 4z + 6
$NB^{2}$ = $x^{2}$ + $y^{2}$ + $z^{2}$ - 4x - 2z + 5
Suy ra $NA^{2}$ + $NB^{2}$ = 2$x^{2}$ + 2$y^{2}$ + 2$z^{2}$ - 6x + 2y - 6z + 11
Do đó $NA^{2}$ + $NB^{2}$ = 3 ⇔ 2$x^{2}$ + 2$y^{2}$ + 2$z^{2}$ - 6x + 2y - 6z + 11 = 3
⇔ $\large (x-\frac{3}{2})^{2}$ + $\large (y+\frac{1}{2})^{2}$ + $\large (z-\frac{3}{2})^{2}$ = $\large \frac{3}{4}$
Vậy quỹ tích các điểm N là một mặt cầu có phương trình trên.
c) Ta có $\vec{OA}$ = (1; -1; 2), $\vec{OB}$ = (2; 0; 1).
Mặt phẳng (OAB) có vectơ pháp tuyến là:
$\vec{n}$ = [$\vec{OA}$, $\vec{OB}$] = (-1; 3; 2)
Phương trình của mặt phẳng (OAB): -x + 3y + 2z = 0
Mặt phẳng (Oxy) có phương trình z = 0
Điểm M(x, y, z) cách đều hai mp(OAB) và mp(Oxy) khi và chỉ khi:
d(M, (OAB)) = d(M, (Oxy)) ⇔ $\large \frac{\mid -x+3y+2z\mid }{\sqrt{14}}$ = $\mid z\mid$
⇔ $\mid$ -x + 3y + 2z $\mid$ = $\sqrt{14}$ $\mid z\mid$ ⇔ -x + 3y + (2 + $\sqrt{14}$)z = 0 và -x + 3y + (2 - $\sqrt{14}$)z = 0
Vậy quỹ tích các điểm M gồm hai mặt phẳng có phương trình trên.
Bài 11. Trong không gian tọa độ Oxyz, cho đường thẳng $\Delta$ có phương trình: $\left\{\begin{matrix} x=1+at & & \\ y=1+bt & & \\ z=5+ct& & \end{matrix}\right.$
trong đó a, b, c thay đổi cho $c^{2}$ = $a^{2}$ + $b^{2}$.
a) Chứng minh đường thẳng $\Delta$ đi qua một điểm cố định, góc giữa $\Delta$ và Oz là không đổi.
b) Tìm quỹ tích giao điểm của $\Delta$ và mp(Oxy).
Giải
a) Nhận thấy rằng tọa độ của điểm A(1; 1; 5) nghiệm đúng phương trình của $\Delta$ với mọi t, nên đường thẳng $\Delta$ luôn đi qua điểm cố định A(1; 1; 5).
Đường thẳng $\Delta$ có vectơ chỉ phương $\vec{u}$ = (a; b; c)
Trục Oz có vectơ chỉ phương $\vec{k}$ = (0; 0; 1).
Gọi $\varphi$ là góc tạo bởi $\Delta$ và Oz ta có:
cos $\varphi$ = $\mid$cos($\vec{u}$, $\vec{k}$)$\mid$ = $\large \frac{\mid c\mid }{\sqrt{a^{2}+b^{2}+c^{2}}}$ = $\large \frac{\mid c\mid }{\sqrt{2c^{2}}}$ = $\large \frac{\sqrt{2}}{2}$
Vậy góc giữa $\Delta$ và trục Oz luôn bằng $\varphi$ = 45°.
b) Đường thẳng $\Delta$ cắt mặt phẳng (Oxy) tại điểm N(1 - $\large \frac{5a}{c}$; 1 - $\large \frac{5b}{c}$; 0)
Ta có: $(x_{N}-1)^{2}$ + $(y_{N}-1)^{2}$ = 25.
Vậy quỹ tích giao điểm N của $\Delta$ với mặt phẳng (Oxy) là đường tròn (T) tâm là điểm I(1; 1; 0) bán kính R = 5 nằm trên mp(Oxy).
Bài 12. Cho hình hộp chữ nhật ABCD. A'B'C'D' với AB = a, CC' = c.
a) Tính khoảng cách từ điểm A tới mp(A'BD).
b) Tính khoảng cách từ điểm A' tới đường thẳng C'D.
c) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng BC' và CD'.
Giải
Chọn hệ Oxyz sao cho A trùng với gốc tọa độ O, B(a; 0; 0), D(0; b; 0), A'(0; 0; c).
a) Phương trình của mặt phẳng (A'BD):
$\large \frac{x}{a}$ + $\large \frac{y}{b}$ + $\large \frac{z}{c}$ = 1
⇔ bcx + cay + abz - abc = 0
Khoảng cách từ A đến mp(A'BD)
h = $\large \frac{\mid -abc\mid }{\sqrt{b^{2}c^{2}+c^{2}a^{2}+a^{2}b^{2}}}$ = $\large \frac{abc}{\sqrt{a^{2}b^{2}+b^{2}c^{2}+c^{2}a^{2}}}$
b) Đường thẳng C'D đi qua điểm D(0; b; 0) và có vectơ chỉ phương $\vec{w}$ = $\vec{DC'}$ = (a; 0; c)
Ta có: $\vec{DA'}$ = (0; -b; c) ⇒ [$\vec{DA'}$, $\vec{w}$] = (-bc; ca; ab)
Suy ra: $\mid$[$\vec{DA'}$, $\vec{w}$]$\mid$ = $\sqrt{a^{2}b^{2}+b^{2}c^{2}+c^{2}a^{2}}$, $\mid$$\vec{w}$$\mid$ = $\sqrt{a^{2}+c^{2}}$
d = (A', C'D) = $\large \frac{\sqrt{a^{2}b^{2}+b^{2}c^{2}+c^{2}a^{2}}}{\sqrt{a^{2}+c^{2}}}$
c) Đường thẳng BC' đi qua điểm B(a; 0; 0) và có vectơ chỉ phương $\vec{u}$ = $\vec{BC'}$ = (0; b; c), (C'(a; b; c))
Đường thẳng CD' đi qua điểm C(a; b; 0) và có vectơ chỉ phương $\vec{v}$ = $\vec{CD'}$ = (-a; 0; c), (D'(0; b; 0))
Ta có: [$\vec{u}$, $\vec{v}$] = (bc; -ca; ab), $\vec{BC}$ = (0; b; 0)
Suy ra [$\vec{u}$, $\vec{v}$].$\vec{BC}$ = -abc, $\mid$[$\vec{u}$, $\vec{v}$]$\mid$ = $\sqrt{a^{2}b^{2}+b^{2}c^{2}+c^{2}a^{2}}$
Do đó khoảng cách giữa hai đường thẳng BC' và CD' là:
d(BC', CD') = $\large \frac{\mid -abc\mid }{\sqrt{a^{2}b^{2}+b^{2}c^{2}+c^{2}a^{2}}}$ = $\large \frac{abc}{\sqrt{a^{2}b^{2}+b^{2}c^{2}+c^{2}a^{2}}}$