Chương III. PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN
§1. HỆ TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN
A. KIẾN THỨC CẦN NHỚ
1. Hệ tọa độ trong không gian
Hệ tọa độ trong không gian là hệ gồm ba trục x'Ox, y'Oy, z'Oz vuông góc với nhau từng đôi một. Trên mỗi trục nói trên lần lượt có các vectơ đơn vị $\large \vec{i}$, $\large \vec{j}$, $\large \vec{k}$.
Kí hiệu: Oxyz hay (O; $\large \vec{i}$, $\large \vec{j}$, $\large \vec{k}$)
• Điểm O được gọi là gốc tọa độ
• Các trục x'Ox, y'Oy, z'Oz lần lượt gọi là trục hoành, trục tung và trục cao
• Các mặt phẳng (Oxy), (Oyz), (Ozx) gọi là các mặt phẳng tọa độ.
2. Tọa độ của một điểm
Trong không gian tọa độ Oxyz, với mỗi điểm M tồn tại bộ ba số (x; y; z) duy nhất sao cho:
$\large \vec{OM}$ = x$\large \vec{i}$ + y$\large \vec{j}$ + z$\large \vec{k}$
• x: gọi là hoành độ của điểm M
• y: gọi là tung độ của điểm M
• z: gọi là cao độ của điểm M
Bộ ba số (x; y; z) được gọi là tọa độ của điểm M. Kí hiệu M(x; y; z) hay M = (x; y; z)
Vậy: M(x; y; z) ⇔ $\large \vec{OM}$ = x$\large \vec{i}$ + y$\large \vec{j}$ + z$\large \vec{k}$
3. Tọa độ của một vectơ:
Trong không gian tọa độ Oxyz, cho một vectơ $\large \vec{u}$. Khi đó tồn tại bộ ba số (x; y; z) duy nhất sao cho $\large \vec{u}$ = x$\large \vec{i}$ + y$\large \vec{j}$ + z$\large \vec{k}$.
Bộ ba số (x; y; z) gọi là tọa độ của vectơ $\large \vec{u}$. Kí hiệu $\large \vec{u}$(x; y; z) hay $\large \vec{u}$ = (x; y; z)
Vậy: $\large \vec{u}$(x; y; z) ⇔ $\large \vec{u}$ = x$\large \vec{i}$ + y$\large \vec{j}$ + z$\large \vec{k}$
Suy ra: $\large \vec{i}$ = (1; 0; 0), $\large \vec{j}$ = (0; 1; 0), $\large \vec{k}$ = (0; 0; 1)
4. Biểu thức tọa độ của các phép toán vectơ
Cho các vectơ $\large \vec{u}$ = ($\large x_{1}$; $\large y_{1}$; $\large z_{1}$), $\large \vec{v}$ = ($\large x_{2}$; $\large y_{2}$; $\large z_{2}$) và số k tùy ý, ta có:
1. $\large \vec{u}$= $\large \vec{0}$ ⇔ $\large x_{1}$ = 0, $\large y_{1}$ = 0, $\large z_{1}$ = 0
2. $\large \vec{u}$ = $\large \vec{v}$ ⇔ $\large x_{1}$ = $\large x_{2}$ ; $\large y_{1}$ = $\large y_{2}$; $\large z_{1}$ = $\large z_{2}$
3. • $\large \vec{u}$ + $\large \vec{v}$ = ($\large x_{1}$ + $\large x_{2}$; $\large y_{1}$ + $\large y_{2}$; $\large z_{1}$ + $\large z_{2}$)
• $\large \vec{u}$ - $\large \vec{v}$ = ($\large x_{1}$ - $\large x_{2}$; $\large y_{1}$ - $\large y_{2}$; $\large z_{1}$ - $\large z_{2}$)
4. k$\large \vec{u}$ = (k$\large x_{1}$; k$\large y_{1}$; k$\large z_{1}$)
5. $\large \vec{u}$.$\large \vec{v}$ = $\large x_{1}$$\large x_{2}$ + $\large y_{1}$$\large y_{2}$ + $\large z_{1}$$\large z_{2}$
6. $\mid$ $\large \vec{u}$$\mid$ = $\large \sqrt{x_{1}^{2}+y_{1}^{2}+z_{1}^{2}}$
7. 
8. $\large \vec{u}$ $\perp$ $\large \vec{v}$ ⇔ $\large \vec{u}$.$\large \vec{v}$ = 0 ⇔ $\large x_{1}$$\large x_{2}$ + $\large y_{1}$$\large y_{2}$ + $\large z_{1}$$\large z_{2}$ = 0
9. Cho A($x_{A}$; $y_{A}$; $z_{A}$) và B($x_{B}$; $y_{B}$; $z_{B}$). Ta có:
• $\vec{AB}$ = ($x_{B}$ - $x_{A}$ ; $y_{B}$ - $y_{A}$ ; $z_{B}$ - $z_{A}$ )
• AB = $\sqrt{(x_{B}-x_{A})^{2}+(y_{B}-y_{A})^{2}+(z_{B}-z_{A})^{2}}$
5. Chia đoạn thẳng theo tỉ số cho trước:
Nếu $\vec{MA}$ = k$\vec{MB}$ (k $\neq$ 1) ta nói M là điểm chia đoạn thẳng AB theo tỉ số k.
Với A($x_{A}$; $y_{A}$; $z_{A}$) và B($x_{B}$; $y_{B}$; $z_{B}$). Ta có:
.png)
Với k = -1 ta được tọa độ trung điểm I của đoạn thẳng AB là:
($\LARGE \frac{x_{A}+x_{B}}{2}$; $\LARGE \frac{y_{A}+y_{B}}{2}$; $\LARGE \frac{z_{A}+z_{B}}{2}$)
6. Tích có hướng của hai vectơ:
1. Định nghĩa: Tích có hướng (hay tích vectơ) của hai vectơ $\vec{u}$(a; b; c) và $\vec{v}$(a'; b'; c') là một vectơ kí hiệu [$\vec{u}$,$\vec{v}$] (hoặc $\vec{u}$ $\Lambda$ $\vec{v}$) có tọa độ được xác định như sau:
.png)
2. Tính chất:
1. Không giao hoán: [$\vec{u}$,$\vec{v}$] $\neq$ [$\vec{v}$ ,$\vec{u}$]
2. [$\vec{u}$,$\vec{v}$] = 0 khi và chỉ khi $\vec{u}$ và $\vec{v}$ cùng phương
3. Vectơ [$\vec{u}$,$\vec{v}$] vuông góc với cả hai vectơ $\vec{u}$ và $\vec{v}$
4. $\mid$[$\vec{u}$,$\vec{v}$]$\mid$= $\mid$$\vec{u}$$\mid$. $\mid$$\vec{v}$$\mid$ .sin($\vec{u}$, $\vec{v}$)
3. Áp dụng:
a) Điều kiện đồng phẳng của ba vectơ:
($\vec{u}$, $\vec{v}$, $\vec{w}$) đồng phẳng ⇔ [$\vec{u}$,$\vec{v}$].$\vec{w}$ = 0
b) Diện tích hình bình hành:
Diện tích S của hình bình hành ABCD cho bởi công thức:
S = $\mid$[$\vec{AB}$, $\vec{AD}$]$\mid$
c) Diện tích tam giác:
Diện tích của tam giác ABC cho bởi công thức:
$S_{\Delta ABC}$ = $\large \frac{1}{2}$|[$\vec{AB}$, $\vec{AC}$]|
d) Thể tích khối hộp:
Thể tích V của khối hộp ABCD.A'B'C'D' cho bởi công thức:
V = |[$\vec{AB}$, $\vec{AD}$]$\vec{AA'}$|
e) Thể tích khối tứ diện ABCD:
$V_{ABCD}$ = $\large \frac{1}{6}$|[$\vec{AB}$, $\vec{AC}$]$\vec{AD}$|
7. Phương trình của mặt cầu:
a) Trong không gian tọa độ Oxyz, phương trình của mặt cầu (S) tâm I(a; b; c) bán kính R có dạng:
$(x-a)^{2}$ + $(y-b)^{2}$ + $(z-c)^{2}$ = $R^{2}$
Trường hợp đặc biệt: Phương trình mặt cầu có tâm là gốc tọa độ O bán kính R là:
$x^{2}+y^{2}+z^{2}=R^{2}$
b) Trong không gian tọa độ Oxyz, phương trình:
$x^{2}+y^{2}+z^{2}$ + 2ax + 2by + 2cz + d = 0
Với điều kiện $a^{2}+b^{2}+c^{2}$ - d > 0 là phương trình của mặt cầu tâm I(-a: -b; -c) bán kính R = $\sqrt{a^{2}+b^{2}+c^{2}-d}$