Ôn tập chương I: Bài tập trắc nghiệm

ÔN TẬP CHƯƠNG I

III. CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM

1. Mỗi đỉnh của hình đa diện là đỉnh chung của ít nhất

(A) Năm cạnh

(B) Bốn cạnh

(D) Hai cạnh.

2. Cho khối chóp có đáy là n-giác. Trong các mệnh đề sau đây, mệnh đề nào đúng?

(A) Số cạnh của khối chóp bằng n + 1;

(B) Số mặt của khối chóp bằng 2n;

(D) Số mặt của khối chóp bằng số đỉnh của nó.

3. Phép đối xứng qua mp(P) biến đường thẳng d thành chính nó khi và chỉ khi

(A) d song song với (P)

(B) d nằm trên (P)

(D) d nằm trên (P) hoặc d $\perp$ (P).

4. Cho hai đường thẳng d và d' cắt nhau. Có bao nhiêu phép đối xứng qua mặt phẳng biến d thành d'?

(A) Có một

(B) Có hai

(D) Có vô số.

5. Cho hai đường thẳng phân biệt d và d' đồng phẳng. Có bao nhiêu phép đối xứng qua mặt phẳng biến d thành d'?

(A) Không có

(B) Có một

(D) Có một hoặc hai.

6. Hình chóp tứ giác đều có bao nhiêu mặt phẳng đối xứng?

(A) Một

(B) Hai

(D) Bốn.

7. Một hình hộp đứng có đáy là hình thoi (không phải hình vuông) có bao nhiêu mặt phẳng đối xứng?

(A) Một

(B) Hai

(D) Bốn.

8. Cho phép vị tự tâm O biến điểm A thành điểm B, biết rằng OA = 2OB. Khi đó tỉ số phép vị tự là bao nhiêu?

(A) 2

(B) -2

(C)

(D) $\large \frac{1}{2}$

9. Cho hai đường thẳng song song d và d', và một điểm O không nằm trên chúng. Có bao nhiêu phép vị tự tâm O biến d thành d'?

(A) Có một

(B) Không có

(D) Có một hoặc không có.

10. Khối tám mặt đều thuộc loại

(A) {3, 3}

(B) {4, 3}

(D) {3, 4}.

11. Khối hai mươi mặt đều thuộc loại

(A) {3, 4}

(B) {3, 5}

(D) {4, 5}.

12. Nếu ba kích thước của một khối hộp chữ nhật tăng lên k lần thì thể tích của nó tăng lên

(A) k lần

(B) $k^{2}$ lần

(D) 3$k^{3}$ lần.

13. Tổng diện tích các mặt của một hình lập phương bằng 96. Thể tích của khối lập phương đó là:

(A) 64

(B) 91

(D) 48.

14. Ba kích thước của một hình hộp chữ nhật làm thành một cấp số nhân có công bội là 2. Thể tích hình hộp đã cho là 1728. Khi đó các kích thước của hình hộp là:

(A) 8, 16, 32

(B) 2, 4, 8

(D) 6, 12, 24.

15. Các đường chéo của các mặt của một hình hộp chữ nhật bằng $\sqrt{5}$, $\sqrt{10}$, $\sqrt{13}$. Thể tích của hình hộp đó là:

(A) 4

(B) 5

(D) 8.

16. Một khối lăng trụ đứng tam giác có các cạnh đáy bằng 37, 13, 30 và diện tích xung quanh bằng 480. Khi đó thể tích của khối lăng trụ là:

(A) 2010

(B) 1010

(D) 2040.

17. Một khối lăng trụ tam giác có các cạnh đáy bằng 13, 14, 15, cạnh bên tạo với mặt phẳng đáy một góc 30° và có chiều dài bằng 8. Khi đó thể tích của khối lăng trụ là:

(A) 340

(B) 336

(D)124$\sqrt{3}$.

18. Đáy của một hình hộp đứng là hình thoi cạnh a, góc nhọn 60°. Đường chéo lớn của đáy bằng đường chéo nhỏ của hình hộp. Khi đó thể tích của hình hộp là:

(A) $a^{3}$

(B) $a^{3}$$\sqrt{3}$

(D) $\large \frac{a^{3}\sqrt{6}}{2}$

19. Khi độ dài cạnh của hình lập phương tăng thêm 2 cm thì thể tích của nó tăng thêm 98 $cm^{3}$. Cạnh của hình lập phương đã cho là:

(A) 4 cm

(B) 5 cm

(D) 3 cm.

20. Cho một hình hộp với sáu mặt đều là hình thoi cạnh a, góc nhọn bằng 60°. Khi đó thể tích của hình hộp là:

(A) $\large \frac{a^{3}\sqrt{3}}{3}$

(B) $\large \frac{a^{3}\sqrt{2}}{2}$

(D) $\large \frac{a^{3}\sqrt{3}}{2}$

21. Cho một hình lập phương có cạnh bằng a. Khi đó thể tích của khối tám mặt đều mà các đỉnh là các tâm của các mặt của hình lập phương đã cho bằng

(A) $\large \frac{a^{3}\sqrt{3}}{2}$

(B) $\large \frac{a^{3}\sqrt{2}}{9}$

(D) $\large \frac{a^{3}}{6}$

22. Cho một khối tứ diện đều có cạnh bằng a. Khi đó có thể tích của khối tám mặt đều mà các đỉnh là trung điểm của các cạnh của khối tứ diện đã cho là

(A) $\large \frac{a^{3}\sqrt{2}}{24}$

(B) $\large \frac{a^{3}\sqrt{3}}{12}$

(D) $\large \frac{a^{3}\sqrt{3}}{24}$.

23. Cho khối mười hai mặt đều có thể tích V và diện tích mỗi mặt của nó bằng S. Khi đó tổng các khoảng cách từ một điểm bên trong đến các mặt của nó bằng

(A) $\large \frac{3V}{4S}$

(B) $\large \frac{V}{4S}$

(D) $\large \frac{V}{12S}$.

24. Một khối lăng trụ tam giác có các cạnh đáy bằng 19, 20, 37, chiều cao của khối lăng trụ bằng trung bình cộng của các cạnh đáy. Khi đó thể tích của khối lăng trụ là

(A) 4332

(B) 1245 $\sqrt{2}$

(D) 4273.

25. Đáy của một hình hộp là một hình thoi có cạnh bằng 6 cm và góc nhọn bằng 45°, cạnh bên của hình hộp dài 10 cm và tạo với mặt phẳng đáy một góc 45°. Khi đó thể tích của hình hộp là

(A) 124 $\sqrt{3}$ $cm^{3}$

(B) 180 $cm^{3}$

(D) 180$\sqrt{2}$ $cm^{3}$

26. Với một tấm bìa hình vuông, người ta cắt bỏ ở mỗi góc tấm bìa một hình vuông cạnh 12 cm rồi gấp lại thành một hình hộp chữ nhật không có nắp. Nếu dung tích của cái hộp đó là 4800 $cm^{3}$ thì cạnh tấm bìa có độ dài là

(A) 42 cm

(B) 36 cm

(D) 38 cm.

27. Cho một hình chóp tam giác đều có cạnh đáy bằng a và cạnh bên tạo với mặt phẳng đáy một góc $\alpha$. Thể tích của hình chóp đó là

28. Một hình chóp tam giác đều có cạnh bên bằng b và cạnh bên tạo với mặt phẳng đáy một góc $\alpha$. Thể tích của hình chóp là

29. Cho hình chóp tứ giác đều có diện tích đáy bằng 4 và diện tích của một mặt bên bằng $\sqrt{2}$ . Thể tích của là

(A) $\large \frac{4\sqrt{3}}{3}$

(B) 4

(D) $\large \frac{4\sqrt{2}}{3}$.

30. Một khối chóp tam giác có các cạnh bằng 6, 8, 10. Một cạnh bên có độ dài bằng 4 và tạo với đáy góc 60°. Thể tích của khối chóp đó là

(A) 16$\sqrt{3}$

(B) 8$\sqrt{3}$

(D) 16$\pi$.

31. Nếu một hình chóp đều có chiều cao và cạnh đáy cùng tăng lên n lần thì thể tích của nó tăng lên

(A) $n^{2}$ lần

(B) 2$n^{2}$ lần

(D) 2$n^{3}$ lần.

32. Khi chiều cao của một hình chóp đều tăng lên n lần nhưng mỗi cạnh đáy giảm đi n lần thì thể tích của nó

(A) Không thay đổi

(B) Tăng lên n lần

(D) Giảm đi n lần.

Giải

1. Chọn C

Mỗi đỉnh của một hình đa diện là đỉnh chung của ít nhất ba cạnh.

2. Chọn D

Trong khối chóp n-giác S.$A_{1}$$A_{2}$...$A_{n}$:

- Cạnh của khối chóp gồm có n cạnh bên và n cạnh đáy, nên tổng số cạnh của khối chóp là 2n.

- Các đỉnh là S và $A_{1}$, $A_{2}$..., $A_{n}$ nên có n + 1 đỉnh.

- Các mặt gồm có các mặt bên và mặt đáy nên nó có n + 1 mặt.

- Theo kết quả trên thì số mặt và số đỉnh của khối chóp bằng nhau và bằng n + 1.

3. Chọn D

4. Chọn B

Xét hai đường thẳng d và d' cắt nhau tại điểm O. Gọi ($\alpha$) là mặt phẳng chứa d và d'. Trong mặt phẳng ($\alpha$) dựng hai đường phân giác a và b của các góc tạo bởi d và d'. Gọi (P) và (Q) là hai mặt phẳng lần lượt qua d và d' đồng thời vuông góc với mặt phẳng ($\alpha$). Ta thấy các phép đối xứng Đp qua mặt phẳng (P) và phép đối xứng Đq qua mặt phẳng Q là hai phép đối xứng qua mặt phẳng biến d thành d'.

5. Chọn D

• Nếu d và d' cắt nhau thì theo câu 4, có hai phép đối xứng qua mặt phẳng biến d thành d'.

• Nếu d và d' song song với nhau, gọi ($\alpha$) là mặt phẳng chứa d và d'. Trong ($\alpha$) gọi a là đường thẳng song song và cách đều với d và d'. Gọi ($\beta$) là mặt phẳng qua a và vuông góc với ($\alpha$), thì phép đối xứng qua mặt phẳng ($\beta$) sẽ biến d thành d'.

6. Chọn D

Xét hình chóp tứ giác đều S.ABCD. Gọi I, J, K, L lần lượt là trung điểm của AB, BC, CD, DA.

Hình chóp đều S.ABCD có 4 mặt đối xứng đó là (SAC), (SBD), (SIK) và (SJL).

7. Chọn C

Xét hình hộp đứng ABCD.A'B'C'D' trong đó ABCD là hình thoi (không phải là hình vuông), hình hộp này có ba mặt đối xứng đó là: (ACC'A'), (BDD'B') và mặt trung trực của các cạnh bên.

8. Chọn C

Ta có hai trường hợp $\vec{OB}$ = $\large \frac{1}{2}$$\vec{OA}$ hoặc $\vec{OB}$ = -$\large \frac{1}{2}$$\vec{OA}$.

Vậy

9. Chọn A

Từ O dựng đường thẳng a vuông góc với d và d', cắt d và d' lần lượt tại H và H'. Đặt k = $\large \frac{OH'}{OH}$ . Nếu d và d' nằm cùng phía đối với O thì $\vec{OH'}$ = k$\vec{OH}$, và nếu d và d' nằm khác phía đối với O thì $\vec{OH'}$ = -k$\vec{OH}$ (điều này luôn thực hiện được). Phép vị tự tâm O tỉ số k (hoặc –k) là phép vị tự duy nhất biến d thành d'.

10. Chọn D

11. Chọn B

12. Chọn C.

Nếu ba kích thước của khối hộp chữ nhật (H) được tăng lên k lần thì ta được một khối hộp chữ nhật (H') đồng dạng với (H), tỉ số đồng dạng là k. Vậy thể tích của chúng được tăng lên $k^{3}$ lần.

13. Chọn A.

Gọi a là cạnh của hình lập phương, ta có:

$6a^{2}$ = 96 ⇔ $a^{2}$ = 16 ⇔ a = 4

Vậy V = $4^{3}$ = 64

14. Chọn D

Gọi các cạnh của hình hộp chữ nhật là a, 2a, 4a. Ta có phương trình:

a. 2a.4a = 1728 ⇔ $a^{3}$ = 216 ⇔ a = 6

Các cạnh của hình hộp là 6, 12, 24.

15. Chọn C

Gọi a, b, c là ba kích thước của hình hộp chữ nhật (a < b < c). Theo giả thiết ta có hệ phương trình:

Suy ra $a^{2}$ + $b^{2}$ + $c^{2}$ = 14 (4)

Lấy (4) lần lượt trừ cho (1), (2), (3) ta được: a = 1, b = 2, c = 3.

Thể tích khối hộp là V = abc = 6

16. Chọn C

Chu vi đáy của khối lăng trụ: 2p = 37 + 13 + 30 = 80 ⇒ p = 40

Chiều cao của khối lăng trụ: h = $\large \frac{480}{80}$ = 6

Áp dụng công thức Hê-rông, diện tích đáy của lăng trụ là:

S = $\sqrt{40(40-37)(40-13)(40-30)}$ = 180

Thể tích khối lăng trụ: V = Sh = 1080

17. Chọn B

Gọi khối lăng trụ là ABC.A'B'C'. Hạ A'H vuông góc với (ABC) tại H. Từ giả thiết ta suy ra $\widehat{A'AH}$ = 30°. Nửa chu vi của tam giác ABC: p = 21

Diện tích của tam giác ABC:

S = $\sqrt{21(21-13)(21-14)(21-15)}$ = 84

Chiều cao của khối lăng trụ:

h = A'H = AA’sin30° = 4

Thể tích khối lăng trụ:

V = Sh = 336

18. Chọn D.

Xét hình hộp ABCD.A'B'C'D, đáy ABCD là hình thoi cạnh a, với $\widehat{BAC}$ = 60°

Tam giác ABD đều, suy ra BD = a

AC = 2 AO = a$\sqrt{3}$

Đường chéo nhỏ của hình hộp là BD' = AC = a$\sqrt{3}$

Từ tam giác BDD' vuông tại D, ta có:

$DD'^{2}$ = $BD'^{2}$ - $DB^{2}$ = 3$a^{2}$ - $a^{2}$ = 2$a^{2}$ ⇒ DD' = a$\sqrt{2}$

Thể tích khối hộp là:

19. Chọn D

Gọi a là cạnh của hình lập phương, theo giả thiết ta có phương trình:

$(a+2)^{3}$ - $a^{3}$ = 98 ⇔ $a^{2}$ + 2a - 15 = 0

Giải được a = 3

20. Chọn B

Gọi hình hộp là ABCD.A'B'C'D' với các góc tại A đều bằng 60°.

Hạ A'H vuông góc với (ABCD) tại H.

Tứ diện ABDA' là tứ diện đều cạnh a nên A'H = $\large \frac{a\sqrt{6}}{3}$

Thể tích khối hộp là:

21. Chọn D

Theo bài tập 14, độ dài cạnh của khối tám mặt đều là $\large \frac{a\sqrt{2}}{2}$ và độ dài đường chéo bằng a (cạnh của lập phương). Khối tám mặt đều gồm có hai khối chóp tứ giác đều có cạnh đáy bằng $\large \frac{a\sqrt{2}}{2}$ và có chiều cao h = $\large \frac{a}{2}$

Thể tích của khối tám mặt đều là:

22. Chọn A

Theo bài tập 12, khối tám mặt đều với các đỉnh là trung điểm các cạnh của khối tứ diện đều cạnh a có cạnh bằng $\large \frac{a}{2}$. Khối tám mặt đều này gồm có hai khối chóp tứ giác đều có cạnh đáy bằng $\large \frac{a}{2}$ và có chiều cao h = $\large \frac{a\sqrt{2}}{4}$.

Thể tích của khối tám mặt đều này là:

23. Chọn C

Gọi điểm bên trong khối mười hai mặt đều là M. Ta có là lắp ghép của 12 khối chóp tam giác đỉnh M với đáy là các mặt của . Gọi $h_{1}$, $h_{2}$, ..., $h_{12}$ là các khoảng cách từ M đến các mặt của , và đặt h = $h_{1}$ + $h_{2}$ + ... + $h_{12}$.

Như thế ta có

Vậy h = $\large \frac{3V}{S}$

24. Chọn A

Gọi p là nửa chu vi đáy của khối lăng trụ. Ta có p = $\large \frac{19+20+37}{2}$ = 38

Suy ra h = 38

Diện tích đáy: S = $\sqrt{38(38-19)(38-20)(38-37)}$ = 114

Thể tích khối lăng trụ: V = 144.38 = 4332

25. Chọn B

Gọi hình hộp là ABCD.A'B'C'D' với $\widehat{BAD}$ = 45°. Hạ A'H vuông góc với (ABCD) tại H thì $\widehat{A'AH}$ = 45°.

Ta có: $S_{ABCD}$ = AB.ADsin45°

= 6.6.$\large \frac{\sqrt{2}}{2}$ = 18$\sqrt{2}$

Tam giác AHA' vuông cân tại H, suy ra

A'H = $\large \frac{10\sqrt{2}}{2}$ = $5\sqrt{2}$

Thể tích khối hộp là:

V = $S_{ABCD}$.A’H = 18$\sqrt{2}$.5$\sqrt{2}$ = 180 ($cm^{3}$)

26. Chọn C

Gọi X là cạnh của tấm bìa (x > 24).

Khi gấp lại ta được một hình hộp chữ nhật có đáy là một hình vuông cạnh x – 24 và chiều cao là h = 12. Thể tích của hộp tính theo x là:

V = $(x-24)^{2}$.12 = 12($x^{2}$ - 48x + 756)

Theo giả thiết ta có phương trình:

12($x^{2}$ – 48x + 576) = 4800 ⇔ $x^{2}$ - 48x + 176 = 0

Phương trình này có hai nghiệm $x_{1}$ = 4, $x_{2}$ = 44 (loại $x_{1}$ = 4)

Vậy cạnh tấm bìa có độ dài 44 cm.

27. Chọn B.

Xét hình chóp tam giác đều S.ABC. Hạ đường cao SH, thì H là tâm của $\Delta$ABC

Gọi I là trung điểm của BC. Từ giả thiết ta suy ra $\widehat{SAH}$ = $\alpha$

Ta có:

Thể tích của khối chóp S.ABC:

28. Chọn B

Dùng hình vẽ bài 27. Gọi a là cạnh đáy. Từ giả thiết suy ra $\widehat{SAH}$ = $\alpha$

Ta có: SH = SAsin$\alpha$ = bsin$\alpha$

AH = SAcos$\alpha$ = bcos$\alpha$ ⇒ bcos$\alpha$ = $\large \frac{a\sqrt{3}}{3}$. Suy ra a = $\sqrt{3}$bcos$\alpha$

Thể tích khối chóp:

29. Chọn C

Gọi hình chóp tứ giác đều là S.ABCD. Kẻ đường cao SH và trung đoạn SI với I là trung điểm của AB.

Từ giả thiết, ta có:

$S_{ABCD}$ = 4 ⇒ AB = 2

$S_{SAB}$ = $\sqrt{2}$ ⇒ $\large \frac{1}2{}$.AB.SI = $\sqrt{2}$

⇒ SI = $\sqrt{2}$

Từ tam giác SHI vuông tại H: SH = $\sqrt{SI^{2}-HI^{2}}$ = $\sqrt{2-1}$ = 1

Thể tích khối chóp:

V = $\large \frac{1}{3}$$S_{ABCD}$.SH = $\large \frac{1}{3}$.4.1 = $\large \frac{4}{3}$

30. Chọn A

Gọi khối chóp tam giác là S.ABC. Hạ đường cao SH của hình chóp. Suy ra $\widehat{SAH}$ = 60°

Gọi p là nửa chu vi của $\Delta$ABC thì p = $\large \frac{6+8+10}{2}$ = 12

Diện tích tam giác ABC:

S = $\sqrt{12(12-6)(12-8)(12-10)}$ = 24

Chiều cao khối chóp:

SH = Sasin60° = 4.$\large \frac{\sqrt{3}}{2}$ = $2\sqrt{3}$

Thể tích khối chóp:

31. Chọn C

32. Chọn D

Gọi V, S, h là thể tích, diện tích đáy và chiều cao của khối chóp ban đầu, và gọi $V_{1}$, $S_{1}$, $h_{1}$ là thể tích, diện tích đáy và chiều cao của khối chóp mới.

Ta có:

$S_{1}$ = $\large \frac{S}{n^{2}}$, $h_{1}$ = nh

Như vậy thể tích khối chóp mới là:

Vậy thể tích của khối chóp giảm đi n lần.

Chương 1: Khối Đa Diện Và Thể Tích Của Chúng

Chương 2: Mặt Cầu, Mặt Trụ, Mặt Nón

Chương 3: Phương Pháp Tọa Độ Trong Không Gian

Câu Hỏi Và Bài Tập Ôn Cuối Năm