§3. PHƯƠNG TRÌNH CỦA ĐƯỜNG THẲNG

A/ KIẾN THỨC CẦN NHỚ

1. Phương trình tham số và phương trình chính tắc của đường thẳng:

a) Phương trình tham số của đường thẳng:

Đường thẳng đi qua điểm $M_{0}$($x_{0}$; $y_{0}$; $z_{0}$) có vectơ chỉ phương $\vec{u}$ (a; b; c) có phương trình tham số là:

b) Phương trình chính tắc của đường thẳng:

$\large \frac{x-x_{0}}{a}$ = $\large \frac{y-y_{0}}{b}$ = $\large \frac{z-z_{0}}{c}$ , (abc $\neq$ 0)

2. Góc

a) Góc giữa hai đường thẳng:

Cho hai đường thẳng $\Delta$ và $\Delta$' có vectơ chỉ phương lần lượt là $\vec{u}$ (a; b; c) và $\vec{v}$ (a'; b'; c').

Gọi $\varphi$ là góc giữa $\Delta$ và $\Delta$', ta có:

cos $\varphi$ = $\mid$cos($\vec{u}$, $\vec{v}$)$\mid$ = $\large \frac{\mid aa'+bb'+cc'\mid }{\sqrt{a^{2}+b^{2}+c^{2}}.\sqrt{a'^{2}+b'^{2}+c'^{2}}}$

Hệ quả: $\Delta$ $\perp$ $\Delta$' ⇔ aa' + bb' + cc' = 0

b) Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng:

Cho đường thẳng $\Delta$ có vectơ chỉ phương $\vec{u}$(a; b; c) và mặt phẳng ($\alpha$) có vectơ pháp tuyến $\vec{n}$(A; B; C). Gọi $\varphi$ là góc hợp bởi $\Delta$ và ($\alpha$), ta có:

sin$\varphi$ = $\mid$cos($\vec{u}$, $\vec{n}$)$\mid$ = $\large \frac{\mid Aa+Bb+Cc\mid }{\sqrt{A^{2}+B^{2}+C^{2}}.\sqrt{a^{2}+b^{2}+c^{2}}}$

Đặt biệt: $\Delta$ $\perp$ ($\alpha$) ⇔ $\vec{u}$ và $\vec{n}$ cùng phương ⇔ A : B : C = a : b : c.

3. Vị trí tương đối giữa đường thẳng và mặt phẳng:

Ta xét vị trí tương đối giữa đường thẳng $\Delta$ đi qua điểm $M_{0}$($x_{0}$; $y_{0}$; $z_{0}$) có vectơ chỉ phương $\vec{u}$ (a; b; c) với mặt phẳng ($\alpha$) có phương trình Ax + By + Cz + D = 0.

(Mặt phẳng ($\alpha$) có vectơ pháp tuyến $\vec{n}$ (A; B; C)).

+ $\Delta$ cắt ($\alpha$) ⇔ $\vec{u}$ $\vec{n}$ ⇔ Aa + Bb + Cc $\neq$ 0

+ $\Delta$ // ($\alpha$) ⇔ ($\vec{u}$ $\perp$ $\vec{n}$ và $M_{0}$ $\notin$ ($\alpha$)) ⇔ $\left\{\begin{matrix} Aa+Bb+Cc=0 & \\ Ax_{0}+By_{0}+Cz_{0}+D\neq 0 & \end{matrix}\right.$

+ $\Delta$ $\subset$ ($\alpha$) ⇔ ($\vec{u}$ $\perp$ $\vec{n}$ và $M_{0}$ $\in$ ($\alpha$)) ⇔ $\left\{\begin{matrix} Aa+Bb+Cc=0 & \\ Ax_{0}+By_{0}+Cz_{0}+D=0& \end{matrix}\right.$

4. Vị trí tương đối giữa hai đường thẳng:

Cho hai đường thẳng:

- Đường thẳng $\Delta _{1}$ đi qua điểm $M _{1}$ có vectơ chỉ phương $\vec{u_{1}}$.

- Đường thẳng $\Delta _{2}$ đi qua điểm $M _{2}$ có vectơ chỉ phương $\vec{u_{2}}$.

i) $\Delta _{1}$ và $\Delta _{2}$ chéo nhau ⇔ [$\vec{u_{1}}$, $\vec{u_{2}}$]. $\vec{M_{1}M_{2}}$ $\neq$ 0

ii) $\Delta _{1}$ // $\Delta _{2}$ ⇔

iii) $\Delta _{1}$ và $\Delta _{2}$ cắt nhau ⇔

iv) $\Delta _{1}$ và $\Delta _{2}$ trùng nhau ⇔ ⇔ [$\vec{u_{1}}$, $\vec{u_{2}}$] = [$\vec{u_{1}}$, $\vec{M_{1}M_{2}}$] = $\vec{0}$

5. Khoảng cách

a) Bài toán 1: Cho $\Delta$ là đường thẳng đi qua điểm $M_{0}$($x_{0}$; $y_{0}$; $z_{0}$) có vectơ chỉ phương $\vec{u}$(a; b; c). Hãy tính khoảng cách từ điểm $M_{1}$($x_{1}$; $y_{1}$; $z_{1}$) đến đường thẳng $\Delta$.

Cách 1:

• Viết phương trình mặt phẳng ($\alpha$) đi qua $M_{1}$ và vuông góc với $\Delta$.

• Xác định điểm H là giao điểm của ($\alpha$) và $\Delta$.

• d($M_{1}$, $\Delta$) = $M_{1}$H.

Cách 2:

Dùng công thức: d($M_{1}$, $\Delta$) = $\large \frac{\mid [\vec{M_{1}M_{0},\vec{u}}]\mid }{\mid \vec{u}\mid }$

b) Bài toán 2: Cho đường thẳng $\Delta _{1}$ đi qua điểm $M _{1}$ có vectơ chỉ phương $\vec{u} _{1}$, và đường thẳng $\Delta _{2}$ đi qua điểm $M _{2}$ có vectơ chỉ phương $\vec{u} _{2}$.

Hãy tính khoảng cách giữa hai đường thẳng $\Delta _{1}$ và $\Delta _{2}$.

a) Trường hợp $\Delta _{1}$ // $\Delta _{2}$.

Ta có: d($\Delta _{1}$, $\Delta _{2}$) = d(M, $\Delta _{2}$) với M là một điểm nào đó chọn trên $\Delta _{1}$.

b) Trường hợp $\Delta _{1}$ và $\Delta _{2}$ chéo nhau:

Cách 1:

• Viết phương trình mặt phẳng ($\alpha$) chứa $\Delta _{2}$ và song song với $\Delta _{1}$

• Tính d($M _{1}$, ($\alpha$))

Kết luận: d($\Delta _{1}$, $\Delta _{2}$) = d($M _{1}$, ($\alpha$)).

Cách 2: Dùng công thức:

d($\Delta _{1}$, $\Delta _{2}$) = $\large \frac{\mid \vec{M_{1}M_{2}}.[\vec{u_{1}},\vec{u_{2}}]\mid }{\mid [\vec{u_{1}},\vec{u_{2}}]\mid }$