ÔN TẬP CHƯƠNG III
I. CÂU HỎI TỰ KIỂM TRA
1. Cho biết tọa độ của hai điểm A, B, làm thế nào để tìm
a) Tọa độ của vectơ $\large \vec{AB}$;
b) Khoảng cách giữa hai điểm A và B
c) Tọa độ của trung điểm đoạn thẳng AB?
2. Cho tọa độ bốn đỉnh của một hình tứ diện, làm thế nào để tìm:
a) Tọa độ của trọng tâm tứ diện;
b) Tọa độ của tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện;
c) Thể tích tứ diện;
d) Độ dài đường cao ứng với một mặt của tứ diện?
3. Bằng phương pháp tọa độ, làm thế nào để chứng minh:
a) Hai vectơ cùng phương;
b) Ba vectơ đồng phẳng;
c) Ba điểm thẳng hàng;
d) Bốn điểm không đồng phẳng?
4. Trong mỗi trường hợp sau, hãy nêu cách viết phương trình mặt phẳng:
a) Đi qua ba điểm không thẳng hàng
b) Đi qua một điểm và vuông góc với một đường thẳng cho trước;
c) Đi qua một điểm và song song với hai đường thẳng chéo nhau cho trước;
d) Đi qua một đường thẳng và song song với một đường thẳng cho trước;
e) Đi qua một điểm và vuông góc với một mặt phẳng cho trước;
g) Chứa hai đường thẳng song song hoặc cắt nhau;
h) Đi qua một đường thẳng và vuông góc với một mặt phẳng cho trước.
5. Trong những trường hợp sau, làm thế nào để viết phương trình đường thẳng:
a) Đi qua một điểm và có vectơ chỉ phương cho trước;
b) Đi qua hai điểm phân biệt cho trước;
c) Đi qua một điểm và vuông góc với một mặt phẳng cho trước;
d) Đi qua một điểm và song song với hai mặt phẳng cắt nhau cho trước
e) Đi qua một điểm và cắt hai đường thẳng chéo nhau cho trước;
g) Là đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau cho trước?
6. Bằng phương pháp tọa độ, làm thế nào để xác định vị trí tương đối:
a) Giữa hai mặt phẳng;
b) Giữa hai đường thẳng
7. Bằng phương pháp tọa độ, làm thế nào để tính khoảng cách:
a) Từ một điểm đến một mặt phẳng;
b) Từ một điểm đến một đường thẳng;
c) Giữa hai đường thẳng chéo nhau;
d) Giữa hai đường thẳng song song;
e) Giữa hai mặt phẳng song song;
g) Giữa đường thẳng và mặt phẳng song song với đường thẳng đó?
8. Trong các trường hợp sau, làm thế nào để xác định tọa độ của điểm:
a) Là hình chiếu của một điểm trên một mặt phẳng cho trước;
b) Là hình chiếu của một điểm trên một đường thẳng cho trước;
c) Đối xứng với một điểm cho trước qua một mặt phẳng cho trước?
Giải
1. a) Dùng công thức $\large \vec{AB}$ = ($\large x_{B}$ - $\large x_{A}$; $\large y_{B}$ - $\large y_{A}$; $\large z_{B}$ – $\large z_{A}$).
b) Dùng công thức AB = $\large \sqrt{(x_{B}-x_{A})^{2}+(y_{B}-y_{A})^{2}+(z_{B}-z_{A})^{2}}$
c) Dùng công thức I ($\large \frac{x_{A}+x_{B}}{2}$; $\large \frac{y_{A}+y_{B}}{2}$; $\large \frac{z_{A}+z_{B}}{2}$)
2. Xét tứ diện ABCD
a) Dùng công thức:
G($\large \frac{x_{A}+x_{B}+x_{C}+x_{D}}{4}$; $\large \frac{y_{A}+y_{B}+y_{C}+y_{D}}{4}$; $\large \frac{z_{A}+z_{B}+z_{C}+z_{D}}{4}$)
b) Dùng IA = IB = IC = ID = R với I là tâm của mặt cầu.
c) Dùng công thức $V_{ABCD}$ = $\large \frac{1}{6}$$\mid$[$\vec{AB}$, $\vec{AC}$].$\vec{AD}$$\mid$
d) Dùng công thức $h_{a}$ = $\large \frac{3V_{ABCD}}{S_{BCD}}$
3. a) Dùng công thức $\vec{u}$ và $\vec{v}$ cùng phương khi và chỉ khi [$\vec{u}$, $\vec{v}$] = 0
b) Dùng công thức $\vec{u}$, $\vec{v}$, $\vec{w}$ đồng phẳng khi và chỉ khi [$\vec{u}$, $\vec{v}$]. $\vec{w}$ = 0
c) Dùng điều kiện: ba điểm A, B, C thẳng hàng khi và chỉ khi $\vec{AB}$ và $\vec{AC}$ cùng phương.
d) Dùng điều kiện: bốn điểm A, B, C, D không đồng phẳng khi và chỉ khi [$\vec{AB}$, $\vec{AC}$].$\vec{AD}$ $\neq$ 0.
4. a) Giả sử ta có ba điểm M, N, P không thẳng hàng.
- Chọn một điểm mặt phẳng (MNP) đi qua là M, hoặc N, hoặc P
- Tìm vectơ pháp tuyến của mp(MNP): $\vec{n}$ = [$\vec{MN}$; $\vec{MP}$]
- Dùng phương trình mặt phẳng A(x - $x_{0}$) + B(y - $y_{0}$) + C(z – $z_{0}$) = 0
b) Giả sử ta cần viết phương trình của mặt phẳng ($\alpha$) đi qua điểm $M_{0}$($x_{0}$; $y_{0}$; $z_{0}$) và vuông góc với đường thẳng $\Delta$ cho trước.
- Tìm vectơ pháp tuyến của ($\alpha$): chính là vectơ chỉ phương $\vec{a}$ của $\Delta$ là $\vec{n_{\alpha }}$ = $\vec{a}$ = (A; B; C)
- Dùng phương trình mặt phẳng A(x - $x_{0}$) + B(y - $y_{0}$) + C(z – $z_{0}$) = 0
c) - Tìm vectơ chỉ phương của hai đường thẳng chéo nhau là $\vec{u}$, $\vec{v}$
- Tìm vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $\vec{n}$ = [$\vec{a}$, $\vec{b}$]
- Dùng phương trình mặt phẳng A(x - $x_{0}$) + B(y - $y_{0}$) + C(z – $z_{0}$) = 0
d) Gọi hai đường thẳng chéo nhau là:
$d_{1}$ đi qua điểm $M_{1}$ và có vectơ chỉ phương $\vec{u}$
$d_{2}$ đi qua điểm $M_{2}$ và có vectơ chỉ phương $\vec{v}$
Giả sử ta cần tìm phương trình mặt phẳng ($\alpha$) đi qua $d_{1}$ và song song với $d_{2}$:
- Chọn điểm ($\alpha$) đi qua là $M_{1}$.
- Tìm vectơ pháp tuyến của ($\alpha$): $\vec{n_{\alpha }}$ = [$\vec{u}$, $\vec{v}$].
- Dùng phương trình mặt phẳng A(x - $x_{0}$) + B(y - $y_{0}$) + C(z – $z_{0}$) = 0
e) Giả sử ta cần viết phương trình của mặt phẳng ($\alpha$) đi qua điểm $M_{0}$ và vuông góc với hai mặt phẳng (P) và (Q) cho trước ((P) và (Q) cắt nhau).
- Tìm vectơ pháp tuyến của (P) và (Q): $\vec{n_{p}}$ và $\vec{n_{Q}}$
- Tìm vectơ pháp tuyến của ($\alpha$): $\vec{n_{\alpha }}$ = [$\vec{n_{p}}$, $\vec{n_{Q}}$]
- Dùng phương trình mặt phẳng A(x - $x_{0}$) + B(y - $y_{0}$) + C(z – $z_{0}$) = 0
g) Cho hai đường thẳng:
$d_{1}$ đi qua điểm M và có vectơ chỉ phương $\vec{u}$
$d_{2}$ đi qua điểm N và có vectơ chỉ phương $\vec{v}$
Giả sử ta cần tìm phương trình mặt phẳng ($\alpha$) đi qua $d_{1}$ và $d_{2}$ trong hai trường hợp sau:
a) $d_{1}$ // $d_{2}$: (trong trường hợp này $\vec{u}$ và $\vec{v}$ cùng phương với nhau)
- Tìm vectơ pháp tuyến của ($\alpha$): $\vec{n_{\alpha }}$ = [$\vec{u}$, $\vec{MN}$]
- Dùng phương trình mặt phẳng
A(x - $x_{0}$) + B(y - $y_{0}$) + C(z – $z_{0}$) = 0
b) $d_{1}$ và $d_{2}$ cắt nhau:
- Xác định giao điểm $M_{0}$ của $d_{1}$ và $d_{2}$ bằng cách giải hệ phương trình định bởi phương trình của hai đường thẳng thì $M_{0}$ $\in$ ($\alpha$).
- Tìm vectơ pháp tuyến của ($\alpha$): $\vec{n_{\alpha }}$ = [$\vec{u}$, $\vec{v}$]
- Dùng phương trình mặt phẳng
A(x - $x_{0}$) + B(y - $y_{0}$) + C(z – $z_{0}$) = 0
h) Giả sử ta cần tìm phương trình của mặt phẳng ($\alpha$) đi qua đường thẳng d và vuông góc với mặt phẳng (P) cho trước (d không vuông góc với (P)).
- Tìm một điểm $M_{0}$ $\in$ d, suy ra $M_{0}$ $\in$ ($\alpha$)
- Tìm vectơ chỉ phương $\vec{u}$ của d và vectơ pháp tuyến $\vec{n}$ của (P).
- Tìm vectơ pháp tuyến của ($\alpha$): $\vec{n_{\alpha }}$ = [$\vec{u}$,$\vec{n}$]
- Dùng phương trình mặt phẳng A(x - $x_{0}$) + B(y - $y_{0}$) + C(z – $z_{0}$) = 0
5. a) Dùng phương trình tham số hoặc phương trình chính tắc của đường thẳng.
b) Giả sử ta cần tìm phương trình của đường thẳng $\Delta$ đi qua điểm phân biệt A và B:
- Chọn điểm đường thẳng đi qua là A hoặc B
- Tìm vectơ chỉ phương của $\Delta$ là $\vec{u}$ = $\vec{AB}$
- Dùng phương trình tham số hoặc phương trình chính tắc của đường thẳng.
c) Tìm vectơ chỉ phương của đường thẳng, chính là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng.
- Dùng phương trình tham số hoặc phương trình chính tắc của đường thẳng.
d) Giả sử ta cần tìm phương trình đường thẳng $\Delta$ đi qua điểm $M_{0}$ song song với hai mặt phẳng cắt nhau (P) và (Q) cho trước:
- Tìm các vectơ pháp tuyến của (P) và (Q) là $\vec{n_{P}}$ và $\vec{n_{Q}}$
- Tìm vectơ chỉ phương $\vec{u}$ của $\Delta$: $\vec{u}$ = [$\vec{n_{P}}$, $\vec{n_{Q}}$]
- Dùng phương trình tham số hoặc phương trình chính tắc của đường thẳng.
e) Giả sử ta cần tìm phương trình đường thẳng $\Delta$ đi qua điểm A và cắt hai đường thẳng chéo nhau $d_{1}$ và $d_{2}$ cho trước, trong đó $d_{1}$ đi qua điểm M và có vectơ chỉ phương $\vec{u}$, $d_{2}$ đi qua điểm N và có vectơ chỉ phương $\vec{v}$
- Tìm phương trình mặt phẳng (P) qua A và $d_{1}$, (P) có vectơ pháp tuyến là $\vec{n_{P}}$ = [$\vec{AM}$, $\vec{u}$]
- Tìm phương trình mặt phẳng (Q) qua A và $d_{2}$, (Q) có vectơ pháp tuyến là $\vec{n_{Q}}$ = [$\vec{AN}$, $\vec{v}$]
- Đường thẳng $\Delta$ là giao tuyến của (P) và (Q). Tìm vectơ chỉ phương $\vec{a}$ của $\Delta$ là $\vec{a}$ = [$\vec{n_{P}}$, $\vec{n_{Q}}$]
- Dùng phương trình tham số hoặc phương trình chính tắc của đường thẳng.
(Kiểm chứng rằng $\Delta$ không song song với $d_{1}$ và $d_{2}$)
g) Giả sử ta cần tìm phương trình đường vuông góc chung $\Delta$ của hai đường thẳng chéo nhau:
$d_{1}$ đi qua điểm M và có vectơ chỉ phương $\vec{u}$
$d_{2}$ đi qua điểm N và có vectơ chỉ phương $\vec{v}$
- Tìm vectơ chỉ phương $\vec{a}$ của $\Delta$: $\vec{a}$ = [$\vec{u}$, $\vec{v}$]
- Viết phương trình mặt phẳng (P) qua $d_{1}$ và $\Delta$, (P) đi qua M và có vectơ pháp tuyến $\vec{n_{P}}$ =[$\vec{a}$,$\vec{u}$]
- Viết phương trình mặt phẳng (Q) qua $d_{2}$ và $\Delta$, (Q) đi qua N và có vectơ pháp tuyến $\vec{n_{Q}}$ = [$\vec{a}$,$\vec{v}$]
- Đường thẳng $\Delta$ là giao tuyến của (P) và (Q).
6. a) Giả sử ta cần xác định vị trí tương đối giữa hai mặt phẳng (P) và (Q) trong không gian.
- Chọn hệ tọa độ Oxyz phù hợp
- Tìm điểm mà (P) đi qua và vectơ pháp tuyến của nó.
- Tìm điểm mà (Q) đi qua và vectơ pháp tuyến của nó.
- Dùng kiến thức về vị trí tương đối của hai mặt phẳng để kết luận.
b) Giả sử ta cần xác định vị trí tương đối giữa hai đường thẳng $d_{1}$ và $d_{2}$ trong không gian.
- Chọn hệ tọa độ Oxyz phù hợp
- Tìm điểm mà $d_{1}$ đi qua và vectơ chỉ phương của nó
- Tìm điểm mà $d_{2}$ đi qua và vectơ chỉ phương của nó
- Dùng kiến thức về vị trí tương đối của hai đường thẳng để kết luận.
7. Chọn hệ Oxyz phù hợp
8. a) Giả sử ta cần tìm hình chiếu H của điểm M trên mặt phẳng (P) cho trước:
- Viết phương trình tham số của đường thẳng $\Delta$ đi qua M và vuông góc với (P).
- Giải hệ phương trình xác định bởi phương trình của $\Delta$ và (P).
b) Giả sử ta cần tìm hình chiếu H của điểm M trên đường thẳng $\Delta$ cho trước:
- Viết phương trình của mặt phẳng (P) đi qua M và vuông góc với $\Delta$.
- Giải hệ phương trình xác định bởi phương trình của $\Delta$ và (P).
c) Giả sử ta cần tìm điểm đối xứng B của điểm A trên mặt phẳng (P) cho trước:
- Tìm tọa độ điểm H hình chiếu vuông góc của A trên (P).
- Dùng công thức tọa độ trung điểm của một đoạn thẳng, ta xác định được tọa độ của điểm B.