MỘT SỐ ĐỀ KIỂM TRA

Đề 3

Câu 1. Cho hình hộp ABCD. A'B'C'D'. Gọi N là điểm nằm trên cạnh AB và ($\alpha$) là mặt phẳng đi qua ba điểm D, N, B'.

a) Mặt phẳng ($\alpha$) cắt hình hộp đã cho theo tiết diện là hình gì?

b) Chứng minh rằng mặt phẳng ($\alpha$) phân chia khối hộp đã cho thành hai khối đa diện và bằng nhau.

c) Tính tỉ số thể tích của khối đa diện và thể tích khối tứ diện AA'BD.

Câu 2. Trong không gian tọa độ Oxyz cho các điểm A(1; -3; -1) và B(-2; 1; 3)

a) Chứng minh rằng hai điểm A và B cách đều trục Ox.

b) Tìm điểm C trên trục Oz sao cho tam giác ABC vuông tại C.

c) Viết phương trình của đường thẳng là hình chiếu vuông góc của đường thẳng AB trên mặt phẳng (Oyz).

d) Viết phương trình mặt cầu đi qua ba điểm O, A, B và có tâm nằm trên mp(Oxy).

Giải

Câu 1.

a) Gọi P là giao điểm của ($\alpha$) với C'D' thì tứ giác DNB'P là thiết diện của hình hộp cắt bởi mặt phẳng ($\alpha$), dễ thấy DN // PB' và DP // NB' nên tứ giác DNB'P là một hình bình hành.

b) Hai đường chéo NP và DB' của hình bình hành DNB'P cắt nhau tại điểm O là tâm của hình hộp đã cho. Vì O là tâm đối xứng của hình hộp và ($\alpha$) là mặt phẳng đi qua O, nên ($\alpha$) chia hình hộp thành hai hình và bằng nhau.

c) Gọi V là thể tích khối hộp đã cho, $V_{1}$ là thể tích của và $V_{3}$ là thể tích khối tứ diện AA'BD

Ta có $V_{1}$ = $\large \frac{V}{2}$ và $V_{3}$ = $\large \frac{V}{6}$

Suy ra $\large \frac{V_{1}}{V_{3}}$ = 3 ⇔ $V_{1}$ = 3$V_{3}$

Câu 2.

a) Ta có d(A, Ox) = $\sqrt{(-3)^{2}+(-1)^{2}}$ = $\sqrt{10}$, d(B, Ox) = $\sqrt{1^{2}+3^{2}}$ = $\sqrt{10}$

Suy ra d(A, Ox) = d(B, Ox) = $\sqrt{10}$

b) Gọi C(0; 0; c) $\in$ Oz.

Ta có: $\vec{AC}$ = (-1; 3; c + 1), $\vec{BC}$ = (2; -1; c – 3)

$\Delta$ABC vuông tại C ⇔ $\vec{AC}$ $\perp$ $\vec{BC}$ ⇔ (-1).2 + 3.(-1) + (c + 1).(c - 3) = 0

⇔ $c^{2}$ - 2c - 8 = 0 ⇔

Vậy điểm cần tìm là $C_{1}$(0; 0; -2) hoặc $C_{1}$(0; 0; 4)

c) Gọi $A_{1}$ và $B_{1}$ lần lượt là hình chiếu vuông góc của A và B trên mặt phẳng (Oyz), ta có:

$A_{1}$(0; -3; -1), $B_{1}$(0; 1; 3). Đường thẳng $\Delta$ đi qua hai điểm $A_{1}$, $B_{1}$ là hình chiếu vuông góc của đường thẳng AB trên mp(Oyz).

Vectơ chỉ phương của đường thẳng $\Delta$:

$\vec{u}$ = $\vec{AB}$ = (0; 4; 4), vectơ $\vec{u}$ cùng phương với vectơ $\vec{v}$ = (0; 1; 1).

Đường thẳng $\Delta$ đi qua điểm $A_{1}$(0; -3; -1) và có vectơ chỉ phương $\vec{v}$(0; 1; 1) nên có phương trình là:

$\left\{\begin{matrix} x=0\\ y=-3+t\\ z=-1+t \end{matrix}\right.$

d) Gọi I(a; b; c) là tâm của mặt cầu (S) cần tìm, I $\in$ mp(Oxy) ⇒ c = 0.

Phương trình của mặt cầu (S) có dạng:

$x^{2}$ + $y^{2}$ + $z^{2}$ + 2ax + 2by + d = 0

Do (S) đi qua ba điểm O, A, B nên ta có hệ phương trình:

$\left\{\begin{matrix} d=0\\ 11+2a-6b=0\\ 14-4a+2b=0 \end{matrix}\right.$

Giải được a = $\large \frac{53}{10}$, b = $\large \frac{18}{5}$

Vậy phương trình của mặt cầu (S) là:

$x^{2}$ + $y^{2}$ + $z^{2}$ + $\large \frac{53}{5}$x + $\large \frac{36}{5}$y = 0