§1. MẶT CẦU, KHỐI CẦU

B. CÂU HỎI VÀ BÀI TẬP

Bài 1. Trong không gian cho ba đoạn thẳng AB, BC, CD sao cho AB $\perp$ BC, BC $\perp$ CD, CD $\perp$ AB. Chứng minh rằng có mặt cầu đi qua bốn điểm A, B, C, D. Tính bán kính mặt cầu đó nếu AB = a, BC = b, CD = c.

Giải

Từ giả thiết, ta có:

CD $\perp$ BC và CD $\perp$ AB nên CD $\perp$ (ABC). Suy ra CD $\perp$ AC

AB $\perp$ BC và AB $\perp$ CD nên AB $\perp$ (BCD). Suy ra AB $\perp$ BC

Do đó hai điểm B và C cùng nằm trên mặt cầu đường kính AD

Vậy mặt cầu đường kính AD là mặt cầu qua bốn điểm A, B, C, D.

Từ tam giác ACD vuông tại C và tam giác ABC vuông tại A, ta có:

$AD^{2}$ = $AB^{2}$ + $BC^{2}$ + $CD^{2}$ = $a^{2}$ + $b^{2}$ + $c^{2}$

Suy ra bán kính của mặt cầu qua bốn điểm A, B, C, D là:

R = $\large \frac{1}{2}$$\sqrt{a^{2}+b^{2}+c^{2}}$

Bài 2. a) Tìm tập hợp tâm các mặt cầu đi qua hai điểm phân biệt A, B cho trước.

b) Tìm tập hợp tâm các mặt cầu đi qua ba điểm phân biệt A, B, C cho trước.

c) Tìm tập hợp tâm các mặt cầu đi qua một đường tròn cho trước.

d) Có hay không một mặt cầu đi qua một đường tròn và một điểm nằm ngoài mặt phẳng của đường tròn?

Giải

a) Gọi (P) là mặt phẳng trung trực của đoạn AB, với O là điểm bất kì trong không gian, ta có:

O $\in$ (P) ⇔ OA = OB ⇔ O là tâm của mặt cầu qua A và B.

Vậy tập hợp các tâm O của mặt cầu qua A và B là mặt trung trực của đoạn thẳng AB.

b)

* Nếu A, B, C thẳng hàng thì không có mặt cầu nào qua A, B, C. Vậy tập hợp tâm các mặt cầu qua A, B, C là $\varnothing$

* Nếu A, B, C không thẳng hàng, ta gọi $\Delta$ là trục của đường tròn qua ba điểm A, B, C. Với O là một điểm bất kì trong không gian, ta có:

O $\in$ $\Delta$ ⇔ OA = OB = OC ⇔ O là tâm của mặt cầu (S) qua A, B, C.

Vậy tập hợp các tâm O của các mặt cầu qua ba điểm A, B và C là đường thẳng $\Delta$ trục của đường tròn qua A, B, C.

c)

Xét đường tròn (T) tâm I bán kính r, A là điểm bất kì trên (T). Gọi $\Delta$ là trục của đường tròn (T) thì $\Delta$ là một đường thẳng cố định.

* Lấy điểm O bất kì trên $\Delta$ và đặt d = OI. Tam giác IAO vuông tại I nên:

OA = $\sqrt{IA^{2}+OI^{2}}$ = $\sqrt{r^{2}+d^{2}}$

Như vậy, mặt cầu (S) tâm O bán kính R = $\sqrt{r^{2}+d^{2}}$ đi qua đường tròn (T).

* Đảo lại, giả sử (S) là mặt cầu tâm O bán kính R chứa đường tròn (T) thì ta có:

Vậy tập hợp tâm các mặt cầu luôn chứa đường tròn (T) là trục $\Delta$ của đường tròn (T)

d)

Cho đường tròn (T) tâm I nằm trên mặt phẳng ($\alpha$). Dựng đường thẳng $\Delta$ là trục của đường tròn (T). Gọi M là một điểm bất kì không nằm trên mặt phẳng ($\alpha$).

* Nếu M $\in$ $\Delta$: trên (T) ta lấy một điểm N nào đó, dựng mặt phẳng (P) là mặt trung trực của MN. Khi đó nếu gọi O là giao điểm của $\Delta$ và (P) thì OM = ON, suy ra O là tâm của cầu (S) qua M và đường tròn (T).

* Nếu M $\notin$ $\Delta$: dựng mặt phẳng (Q) qua $\Delta$ và M, (Q) cắt (T) theo đường kính AB. Trong (Q) đường trung trực d của MA và gọi O là giao điểm của d và $\Delta$, dễ thấy OM = OA. Do đó O là tâm của mặt cầu (S) qua M và đường tròn (T). Vậy luôn tồn tại một mặt cầu qua M và (T).

Bài 3. Cho điểm M nằm trong mặt cầu (S). Trong các mệnh đề sau đây, mệnh đề nào đúng?

a) Mọi mặt phẳng đi qua M đều cắt (S) theo một đường tròn.

b) Mọi đường thẳng đi qua M đều cắt (S) tại hai điểm phân biệt.

Giải

Dễ thấy cả hai mệnh đề trong hai câu a) và b) đều đúng.

Bài 4. Cho đường thẳng d và điểm A không nằm trên d. Xét các mặt cầu đi qua A và có tâm nằm trên d. Chứng minh rằng các mặt cầu đó luôn đi qua một đường tròn cố định.

Giải

Qua A dựng mặt phẳng (P) vuông góc với d tại I. Vì A và d cố định nên (P) là mặt phẳng cố định, do đó I cũng là một điểm cố định.

Mặt phẳng (P) cắt (S) theo đường tròn (T) bán kính IA, rõ ràng (T) là một đường tròn cố định nằm trên (P). Vậy mặt cầu (S) luôn đi qua đường tròn cố định (T).

Bài 5. Trong các mệnh đề sau đây, mệnh đề nào đúng?

a) Nếu hình đa diện nội tiếp mặt cầu thì mọi mặt của nó là đa giác nội tiếp đường tròn.

b) Nếu các mặt của đa diện nội tiếp đường tròn thì đa diện đó nội tiếp mặt cầu.

Giải

a) Giả sử ta có hình đa diện H nội tiếp trong mặt cầu (S). Gọi (G) là một mặt của H và (P) là mặt phẳng chứa (G). Như vậy (P) cắt (S) theo một đường tròn (T) ngoại tiếp đa giác (G). Vậy câu a) là đúng.

b)

Ta xét một hình đa diện ABCDEFG như hình trên, trong đó ABCD là hình vuông, các mặt còn lại là tam giác. Như vậy các mặt của hình đa diện này đều nội tiếp đường tròn. Hình chóp E.ABCD có đáy là hình vuông nên nội tiếp mặt cầu (S). Có thể chọn F hoặc G không nằm trên (S), khi đó ABCDEFG không nội tiếp mặt cầu. Do đó mệnh đề b) sai.

Bài 6. a) Tìm tập hợp tâm các mặt cầu tiếp xúc với ba cạnh của một tam giác cho trước.

b) Chứng minh rằng nếu có mặt cầu tiếp xúc với sáu cạnh của hình tứ diện ABCD thì AB + CD = AC + BD = AD + BC

Giải

a)

Gọi (T) là đường tròn tâm I nội tiếp trong $\Delta$ABC, (T) tiếp xúc với các cạnh AB, BC, CA lần lượt tại các điểm M, N, P. Suy ra:

IM = IN = IP và IM $\perp$ AB, IN $\perp$ BC, IP $\perp$ CA.

Dựng đường thẳng $\Delta$ là trục của đường tròn (T). Như thế, nếu lấy điểm K bất kì trên $\Delta$ thì KM $\perp$ AB, KN $\perp$ BC, KP $\perp$ CA và KM = KN = KP.

Do đó, với O là một điểm bất kì trong không gian, ta có:

Điều kiện (*) tương đương với: O là tâm của mặt cầu (S) tiếp xúc với AB, BC, CA tại M, N, P. Vậy có vô số mặt cầu tiếp xúc với ba cạnh của $\Delta$ABC, tập hợp các tâm O của các mặt cầu này là trục của đường tròn nội tiếp $\Delta$ABC.

b)

Giả sử ta có mặt cầu (S) tiếp xúc với các cạnh AB, CD, AC, BD, AD, BC lần lượt tại các điểm H, M, I, L, J, K.

Trước hết ta chứng minh

AB+ CD = AC + BD

Ta có: AB + CD = AH + BH + CM + DM

Mà AH = AI (hai đoạn tiếp tuyến kẻ từ A)

BH = BL (hai đoạn tiếp tuyến kẻ từ B)

CM = CI (hai đoạn tiếp tuyến kẻ từ C)

DM = DJ (hai đoạn tiếp tuyến kẻ từ D)

Do đó: AB + CD = AI + BL + CI + DL

AB + CD = (AI + CI) + (BL + DL) = AC + BD

Chứng minh tương tự ta cũng có AB + CD = AD + BC

Vậy: AB + CD = AC + BD = AD + BC.

Bài 7. a) Tính thể tích khối cầu ngoại tiếp hình chóp tam giác đều có cạnh đáy bằng a và chiều cao bằng h.

b) Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có tất cả các cạnh cùng bằng a. Gọi A', B', C', D' lần lượt là trung điểm của các cạnh SA, SB, SC, SD. Chứng minh rằng các điểm A, B, C, D, A', B', C', D' cùng thuộc một mặt cầu và tính thể tích khối cầu đó.

Giải

a)

Gọi hình chóp tam giác đều là A.BCD. Kẻ AH vuông góc với mặt phẳng (BCD) tại H, thì H là tâm của $\Delta$BCD. Qua trung điểm J của AB, dựng mặt trung trực (P) của đoạn thẳng AB. Gọi O là giao điểm của (P) và AH thì O là tâm của mặt cầu (S) ngoại tiếp hình chóp S.ABC.

Ta có:

(BI là đường cao của $\Delta$BCD)

Từ tam giác AHB vuông tại H:

• Tứ giác BHOJ nội tiếp:

AO.AH = AJ.AB ⇒

Ta được bán kính của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC là

R = $\large \frac{a^{2}+3h^{2}}{6h}$

Thể tích khối cầu ngoại tiếp hình chóp là:

b)

Hạ đường cao SH của hình chóp.

Ta dễ dàng tính được SH = HA = $\large \frac{a\sqrt{2}}{2}$

Suy ra $\Delta$SHA vuông cân tại H nên HA' $\perp$ SA. Gọi I là trung điểm AA', qua I dựng mặt trung trực của AA' cắt đường thẳng SH tại điểm O.

Ta có OA = OA', từ đó suy ra O cách đều các đỉnh của hình chóp cụt ABCD.A'B'C'D, nên hình chóp cụt này tồn tại một mặt cầu ngoại tiếp, có tâm là điểm O.

Để ý rằng $\Delta$SIO vuông cân tại I, do đó: OI = SI = $\large \frac{3a}{4}$

Từ $\Delta$OIA vuông tại H:

Bán kính của mặt cầu: R = OA = $\large \frac{a\sqrt{10}}{4}$

Thể tích khối cầu ngoại tiếp hình chóp cụt là:

V = $\large \frac{4}{3}$$\pi$$R^{3}$ = $\large \frac{5\sqrt{10}\pi a^{3}}{24}$

Bài 8. Cho tứ diện ABCD với AB = CD = c, AC = BD = b, AD = BC = a.

a) Tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp tứ diện.

b) Chứng minh rằng có một mặt cầu tiếp xúc với bốn mặt cầu hình tứ diện (nó được gọi là mặt cầu nội tiếp tứ diện).

Giải

a) Gọi I, J lần lượt là trung điểm của AB và CD thì G là trung điểm của IJ. Ta có thể chứng minh được IJ là đường vuông góc chung của AB và CD.

Vì G $\in$ IJ nên GA = GB và GC = GD.

Kết hợp với giả thiết ta được hai tam giác vuông GIB và GJC bằng nhau, do đó GB = GC.

Suy ra GA = GB = GC = GD

Vậy G là tâm mặt cầu (S) ngoại tiếp tứ diện ABCD.

Áp dụng tính chất của đường trung tuyến trong $\Delta$ACB ta được:

Từ tam giác vuông:

Từ tam giác GIA vuông tại I:

Bán kính của mặt cầu (S):

Diện tích của mặt cầu (S):

b) Vì ABCD là tứ diện gần đều nên các mặt là các tam giác bằng nhau, do đó các đường tròn ngoại tiếp của chúng cũng bằng nhau, vì thế khoảng cách từ G đến các mặt của tứ diện bằng nhau, nên G là tâm mặt cầu tiếp xúc với tất cả các mặt của tứ diện.

Vậy tồn tại một mặt cầu tiếp xúc với tất cả các mặt của tứ diện.

Bài 9. Tìm diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC biết rằng SA = a, SB = b, SC = c và ba cạnh SA, SB, SC đôi một vuông góc. Chứng minh rằng các điểm S, G, I thẳng hàng, trong đó G là trọng tâm tam giác ABC và I là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC.

Giải

* Tam giác SAB vuông tại S nên trung điểm J của AB là tâm đường tròn ngoại tiếp SAB.

Từ giả thiết ta suy ra SC $\perp$ (SAB). Do đó, nếu qua J dựng đường thẳng $\Delta$ vuông góc với mặt phẳng (SAB) thì $\Delta$ là trục của đường tròn ngoại tiếp $\Delta$SAB. Qua trung điểm K của SC ta dựng mặt trung trực của SC, mặt phẳng này cắt $\Delta$ tại điểm I. Điểm I là tâm mặt cầu ($\pi$) ngoại tiếp hình chóp SABC.

Ta có: SJ = $\large \frac{AB}{2}$ = $\large \frac{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}{2}$ , IJ = SK = $\large \frac{c}{2}$

Từ tam giác SIJ vuông tại J:

Suy ra, bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC là

R = $\large \frac{1}{2}$$\sqrt{a^{2}+b^{2}+c^{2}}$

Diện tích của mặt cầu ($\pi$): $S_{m/c}$ = 4$\pi R^{2}$ = $\pi$($a^{2}$+$b^{2}$+$c^{2}$)

* Gọi G là giao điểm của SI và CJ. Hai tam giác GSC và GIJ đồng dạng cho: $\large \frac{GS}{GI}$ = $\large \frac{SC}{IJ}$ = 2

⇒ G là trọng tâm của tam giác ABC

Vậy: ba điểm S, G, I thẳng hàng, trong đó G là trọng tâm của tam giác ABC.

Bài 10

a) Chứng minh rằng một hình lăng trụ có mặt cầu ngoại tiếp khi và chỉ khi nó là hình lăng trụ đứng với đáy là đa giác nội tiếp đường tròn.

b) Trong các hình hộp nội tiếp mặt cầu cho trước, hình hộp nào có diện tích toàn phần lớn nhất.

Giải

a) Gọi H là hình lăng trụ n-giác $A_{1}A_{2}...A_{n}$. $B_{1}B_{2}...B_{n}$ trong đó $A_{1}B_{1}$, $A_{2}B_{2}$,...$A_{n}B_{n}$ là các cạnh bên. Gọi (P) là mặt phẳng chứa $A_{1}A_{2}...A_{n}$ và (Q) là mặt phẳng chứa $B_{1}B_{2}...B_{n}$.

* Giả sử H là hình lăng trụ đứng và đáy là đa giác có đường tròn ngoại tiếp. Gọi I, J là tâm của hai đường tròn đáy. Khi đó nếu O là trung điểm của IJ thì dễ thấy O cách đều các đỉnh của H. Vậy H tồn tại một mặt cầu ngoại tiếp.

* Đảo lại, giả sử hình lăng trụ H có mặt cầu ngoại tiếp là (S). Khi đó hiển nhiên hai đáy $A_{1}A_{2}...A_{n}$ và $B_{1}B_{2}...B_{n}$ nằm trên mặt cầu (S). Như vậy hai đa giác này nằm trên hai đường tròn, là giao tuyến của (S) với hai mặt (P) và (Q). Vì (P) // (Q) nên trục của hai đường tròn này trùng nhau. Suy ra H là một hình lăng trụ đứng.

Tóm lại: Một hình lăng trụ có mặt cầu ngoại tiếp khi và chỉ khi nó là hình lăng trụ đứng và đáy có đường tròn ngoại tiếp.

b) Ta xét hình hộp H là ABCD.A'B'C'D' nội tiếp trong mặt cầu ($\pi$) cho trước. Theo câu a) ta suy ra H là một hình hộp chữ nhật. Gọi a, b, c là ba kích thước của H và R là bán kính của ($\pi$). Diện tích toàn phần của H là: S = 2(ab + bc + ca).

Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacôpski, ta có:

$(ab+bc+ca)^{2}$$\leq$ ($b^{2}+c^{2}+a^{2}$) = $d^{4}$

Trong đó $d^{2}$ = $a^{2}$ + $b^{2}$ + $c^{2}$ = 4$R^{2}$

Suy ra ab + bc + ca $\leq$ $d^{2}$ = 4$R^{2}$

Do đó: S $\leq$ 8$R^{2}$

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi:

$\large \frac{a}{b}$ = $\large \frac{b}{c}$ = $\large \frac{c}{a}$ = $\large \frac{a+b+c}{b+c+a}$ = 1 ⇔ a = b = c = $\large \frac{2R}{\sqrt{3}}$

Vậy: Hình lập phương cạnh $\large \frac{2R}{\sqrt{3}}$ có diện tích toàn phần lớn nhất.