Ôn tập chương III: Câu hỏi trắc nghiệm

ÔN TẬP CHƯƠNG III

III. CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM

1. Cho ba điểm M(2; 0; 0), N(0; -3; 0), P(0; 0; 4). Nếu MNPQ là hình bình hành thì tọa độ của điểm Q là:

(A) (-2; -3; 4)

(B) (3; 4; 2)

(D) (-2; -3; -4).

2. Cho ba điểm A(1; 2; 0), B(1; 0; -1), C(0; -1; 2), Tam giác ABC là

(A) Tam giác cân đỉnh A

(B) Tam giác vuông đỉnh A

(D) Không phải như (A), (B), (C).

3. Cho tam giác ABC có A = (1; 0; 1), B = (0; 2; 3), C = (2; 1; 0). Độ dài đường cao tam giác kẻ từ C là

(A) $\large \sqrt{26}$

(B) $\large \frac{\sqrt{26}}{2}$

(D) 26.

4. Ba đỉnh của một hình bình hành có tọa độ là (1; 1; 1), (2; 3; 4), (6; 5; 2). Diện tích của hình bình hành đó bằng

(A) 2$\sqrt{83}$

(B) $\sqrt{83}$

(D) $\large \frac{\sqrt{83}}{2}$

5. Cho A(1; 0; 0), B(0; 1; 0), C(0; 0; 1) và D(-2; 1; -1). Thể tích của tứ diện ABCD là

(A) 1

(B) 2

(D) $\large \frac{1}{2}$

6. Cho A(-1; -2; 4), B(-4; -2; 0), C(3; -2; 1) và D(1; 1; 1). Độ dài đường cao của tứ diện ABCD kẻ từ đỉnh D là

(A) 3

(B) 1

(D) $\large \frac{1}{2}$

7. Cho bốn điểm A(1; 1; 1), B(1; 2; 1), C(1; 1; 2) và D(2; 2; 1). Tâm I của mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD có tọa độ:

(A) ($\large \frac{3}{2}$; -$\large \frac{3}{2}$; $\large \frac{3}{2}$)

(B) ($\large \frac{3}{2}$; $\large \frac{3}{2}$; $\large \frac{3}{2}$)

(D) (3; -3; 3).

8. Bán kính của mặt cầu tâm I(3; 3; -4) tiếp xúc với trục Oy bằng

(A) 5

(B) 4

(D) $\large \frac{5}{2}$

9. Mặt cầu tâm I(2; 1; -1) tiếp xúc với mặt phẳng tọa độ (Oyz) có phương trình là:

(A) $(x-2)^{2}$ + $(y-1)^{2}$ + $(z+1)^{2}$ = 4

(B) $(x-2)^{2}$ + $(y-1)^{2}$ + $(z+1)^{2}$ = 1

(D) $(x+2)^{2}$ + $(y-1)^{2}$ + $(z+1)^{2}$ = 2.

10. Cho ba điểm A(1; 2; 3), B(-1; 3; 2) và C(-1; 2; 3). Mặt phẳng (ABC) có phương trình là

(A) x + 2y + 2z - 3 = 0

(B) x - 2y + 3z - 3 = 0

(D) $x^{2}$ + 2y + 2z + 9 = 0.

11. Cho ba điểm A(1; 0; 0), B(0; 2; 0) và C(0; 0; 3). Phương trình nào sau đây không phải là phương trình mặt phẳng (ABC):

(A) x + $\large \frac{y}{2}$ + $\large \frac{z}{3}$ = 1

(B) 6x + 3y + 2z - 6 = 0

(D) 12x + 6y + 4z - 12 = 0.

12. Cho hai điểm A(1; 3; -4) và B(-1; 2; 2). Phương trình mặt phẳng trung trực của đoạn AB là

(A) 4x + 2y - 12z - 17 = 0

(B) 4x + 2y + 12z - 17 = 0

(D) 4x - 2y + 12z + 17 = 0.

13. Cho A(a; 0; 0), B(0; b; 0), C(0; 0; c), a, b, c là những số dương thay đổi sao cho $\large \frac{1}{a}$ + $\large \frac{1}{b}$ + $\large \frac{1}{c}$ = 2. Mặt phẳng (ABC) luôn đi qua một điểm cố định có tọa độ là

(A) (1; 1; 1)

(B) (2; 2; 2)

(D) (-$\large \frac{1}{2}$; -$\large \frac{1}{2}$; -$\large \frac{1}{2}$)

14. Cho điểm A(-1; 2; 1) và hai mặt phẳng (P): 2x + 4y - 6z – 5 = 0 và (Q): x + 2y - 3z = 0. Mệnh đề nào sau đây là đúng?

(A) mặt phẳng (Q) đi qua A và song song với (P)

(B) mặt phẳng (Q) không đi qua A và song song với (P)

(D) mặt phẳng (Q) không đi qua A và không song song với (P).

15. Cho điểm A(1; 2; -5). Gọi M, N, P là hình chiếu của A trên ba trục Ox, Oy, Oz. Phương trình mặt phẳng (MNP) là

(A) x + $\large \frac{y}{2}$ - $\large \frac{z}{5}$ = 1

(B) x + $\large \frac{y}{2}$ + $\large \frac{z}{5}$ = 1

(D) x + $\large \frac{y}{2}$ - $\large \frac{z}{5}$ + 1 = 0

16. Cho mặt cầu (S): $x^{2}$ + $y^{2}$ + $z^{2}$ - 2(x + y + z) – 22 = 0 và mặt phẳng (P): 3x - 2y + 6z + 14 = 0. Khoảng cách từ tâm I của mặt cầu (S) tới mặt phẳng (P) là:

(A) 1

(B) 2

(D) 4.

17. Mặt phẳng (P) cắt ba trục Ox, Oy, Oz tại A, B, C; trọng tâm tam giác ABC là G(-1; -3; 2). Phương trình mặt phẳng (P) là

(A) x + y - z - 5 = 0

(B) 2x - 3y - z -1 = 0

(D) 6x + 2y - 3z + 18 = 0.

18.

Phương trình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh bằng 1. Gọi M là trung điểm của BC. Tính khoảng cách từ A tới mặt phẳng (A'MD). Một học sinh giải như sau:

Bước 1: Chọn hệ trục tọa độ như hình 69. Kéo dài AM cắt AB tại E. Khi đó

A = (0; 0; 0), E = (2; 0; 0)

D = (0; 1; 0), A' = (0; 0; 1).

Bước 2: Viết phương trình mặt phẳng (A'MD):

$\large \frac{x}{2}$ + $\large \frac{y}{1}$ + $\large \frac{z}{1}$ = 1 ⇔ x + 2y + 2z - 2 = 0

Bước 3: Khoảng cách d(A, (A'MD)) = $\large \frac{\mid -2\mid }{\sqrt{1+4+4}}$ = $\large \frac{2}{3}$

Bài giải trên đúng hay sai? Nếu sai thì sai ở bước nào?

(A) Đúng

(B) Sai ở bước 1

(D) Sai ở bước 3.

19. Cho hai điểm A(1; -1; 5) và B(0; 0; 1). Mặt phẳng (P) chứa A, B và song song với Oy có phương trình là

(A) 4x - z + 1 = 0

(B) 4x + y - z + 1 = 0

(D) y + 4z - 1 = 0.

20. Mặt phẳng (P) chứa trục Oz và điểm A(2; -3; 5) có phương trình là

(A) 2x + 3y = 0

(B) 2x - 3y = 0

(D) 3x - 2y + z = 0.

21. Cho mặt phẳng (P) có phương trình x – y – 1 = 0. Điểm H(2; -1; -2) là hình chiếu vuông góc của gốc tọa độ O trên một mặt phẳng (Q). Góc giữa hai mặt phẳng (P) và (Q) bằng

(A) 30°

(B) 45°

(D) 90°.

22. Cho điểm A(1; 2; 3) và đường thẳng d: $\large \frac{x}{3}$ = $\large \frac{y-1}{4}$ = z + 3. Phương trình mặt phẳng (A, d) là

(A) 23x + 17y - z + 14 = 0

(B) 23x - 17y - z + 14 = 0

(D) 23x - 17y + z - 14 = 0.

23. Cho hai đường thẳng

$d_{1}$: $\large \frac{x-1}{1}$ = $\large \frac{y}{2}$ = $\large \frac{z-3}{3}$

và $d_{2}$: $\left\{\begin{matrix} x=2t & & \\ y=1+4t & & \\ z=2+6t & & \end{matrix}\right.$

Khẳng định nào sau đây là đúng?

(A) $d_{1}$, $d_{2}$ cắt nhau

(B) $d_{1}$, $d_{2}$ trùng nhau

(D) $d_{1}$, $d_{2}$ chéo nhau.

24. Cho mặt phẳng ($\alpha$): x + 3y + z + 1 = 0 và đường thẳng d: $\left\{\begin{matrix} x=1+t & & \\ y=2-t & & \\ z=2-3t & & \end{matrix}\right.$

Tọa độ giao điểm A của d và ($\alpha$) là

(A) A(3; 0; 4)

(B) A(3; -4; 0)

(D) A(3; 0; -4).

25. Cho đường thẳng d: $\left\{\begin{matrix} x=2t & & \\ y=1-t& & \\ z=2+t & & \end{matrix}\right.$

Phương trình nào sau đây cũng là phương trình của đường thẳng d?

(A) $\left\{\begin{matrix} x=2-2t & & \\ y=-t & & \\ z=3+t & & \end{matrix}\right.$

(B) $\left\{\begin{matrix} x=4-2t & & \\ y=-1+t & & \\ z=4-t & & \end{matrix}\right.$

(D) $\left\{\begin{matrix} x=2t & & \\ y=1+t & & \\ z=2+t & & \end{matrix}\right.$

26. Cho hai điểm A(2; 3; -1), B(1; 2; 4) và ba phương trình sau:

(I) $\left\{\begin{matrix} x=2-t & & \\ y=3-t & & \\ z=-1+5t & & \end{matrix}\right.$

(II) $\large \frac{x-2}{1}$ = $\large \frac{y-3}{3}$ = $\large \frac{z+1}{-5}$

(III) $\left\{\begin{matrix} x=1-t & & \\ y=2-t & & \\ z=4+5t & & \end{matrix}\right.$

Mệnh đề nào sau đây đúng?

(A) Chỉ có (I) là phương trình của đường thẳng AB

(B) Chỉ có (III) là phương trình của đường thẳng AB

(D) Cả (I), (II) và (III) đều là phương trình của đường thẳng AB.

27. Cho ba điểm A(1; 3; 2), B(1; 2; 1), C(1; 2; 3). Viết phương trình đường thẳng đi qua trọng tâm G của tam giác ABC và vuông góc với mặt phẳng (ABC).

Một học sinh giải như sau:

Bước 1: Tọa độ trọng tâm của tam giác ABC là $\large \left\{\begin{matrix} x_{G}=\frac{1+1+1}{3}=1 & & \\ y_{G}=\frac{3+2+1}{3}=2 & & \\ z_{G}=\frac{2+1+3}{3}=2 & & \end{matrix}\right.$

Bước 2: Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (ABC) là $\vec{n}$ = [$\vec{AB}$, $\vec{AC}$] = (-3; 1; 0).

Bước 3: Phương trình tham số của đường thẳng $\Delta$ là $\left\{\begin{matrix} x=1-3t & & \\ y=2+t& & \\ z=2 & & \end{matrix}\right.$

Bài giải trên đúng hay sai, nếu sai thì sai ở bước nào?

(A) Đúng

(B) Sai ở bước 1

(D) Sai ở bước 3.

28. Gọi d là đường thẳng đi qua gốc tọa độ O, vuông góc với trục Ox và vuông góc với đường thẳng $\Delta$: $\left\{\begin{matrix} x=1+t & & \\ y=2-t& & \\ z=1-3t & & \end{matrix}\right.$

Phương trình của d là

(A) $\left\{\begin{matrix} x=t & & \\ y=3t& & \\ z=-t & & \end{matrix}\right.$

(B) $\left\{\begin{matrix} x=1 & & \\ y=-3t& & \\ z=-t & & \end{matrix}\right.$

(D) $\left\{\begin{matrix} x=0 & & \\ y=3t& & \\ z=-t & & \end{matrix}\right.$

29. Cho đường thẳng d: $\left\{\begin{matrix} x=3+4t & & \\ y=-1-t & & \\ z=4+2t & & \end{matrix}\right.$ và mặt phẳng (P): x + 2y - z + 3 = 0.

Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?

(A) d song song với (P)

(B) d cắt (P)

(D) d nằm trên (P).

30. Cho điểm A(1; 1; 1) và đường thẳng $\left\{\begin{matrix} x=6-4t & & \\ y=-2-t & & \\ z=-1+2t & & \end{matrix}\right.$

Hình chiếu của A trên d có tọa độ là

(A) (2; -3; 1)

(B) (2; -3; -1)

(D) (-2; 3; 1).

31. Cho tứ diện ABCD có A(1; 0; 0), B(1; 1; 0), C(0; 1; 0) và D(0; 0; 2).

Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AC và BD.

Một học sinh giải như sau:

Bước 1: $\vec{AC}$ = (-1; 1; 0), $\vec{BD}$ = (-1; -1; 2), $\vec{AB}$ = (0; 1; 0)

Bước 2: [$\vec{AC}$, $\vec{BD}$] = (2; 2; 2).

Bước 3: d(AC, BD) = $\large \frac{\mid [\vec{AC}, \vec{BD}].\vec{AB}\mid }{\mid [\vec{AC}, \vec{BD}]\mid }$ = $\large \frac{2}{\sqrt{12}}$ = $\large \frac{\sqrt{3}}{3}$

Bài giải trên đúng hay sai, nếu sai thì sai ở bước nào?

(A) Đúng

(B) Sai ở bước 1

(D) Sai ở bước 3.

32. Cho $\mid \vec{u}\mid$ = 2.$\mid \vec{v}\mid$ = 1, ($\vec{u}$, $\vec{v}$) = $\large \frac{\pi }{3}$. Góc giữa vectơ $\vec{v}$ và vectơ $\vec{u}$ – $\vec{v}$ bằng

(A) 30°

(B) 45°

(D) 90°

33. Cho $\mid \vec{u}\mid$ = 2.$\mid \vec{v}\mid$ = 5, ($\vec{u}$, $\vec{v}$) = $\large \frac{\pi }{6}$. Độ dài vectơ [$\vec{u}$, $\vec{v}$] bằng

(A) 10

(B) 5

(D) 5$\sqrt{3}$.

34. Mặt phẳng 2x - 3y + z – 1 = 0 cắt các trục tọa độ tại các điểm:

(A) ($\large \frac{1}{2}$; 0;0), (0; -$\large \frac{1}{3}$; 0), (0; 0; 1)

(B) (1; 0; 0), (0; $\large \frac{1}{3}$; 0), (0; 0; 1)

D ($\large \frac{1}{2}$;0;0), (0; -$\large \frac{1}{3}$; 0), (0; 0; -1).

35. Cho đường thẳng d: $\large \left\{\begin{matrix} x=-\frac{9}{5}-t & & \\ y=5t & & \\ z=\frac{7}{5}+3t & & \end{matrix}\right.$ và mặt phẳng (P): 3x - 2y + 3z – 1 = 0.

Gọi d' là hình chiếu của d trên (P). Trong các vectơ sau, vectơ nào không phải là vectơ chỉ phương của d'?

(A) (5; -51; -39)

(B) (10; -102; -78)

(D) (5; 51; 39).

36.

Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' cạnh bằng 1. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của A'B', BC, DD'. Chứng minh rằng AC' $\perp$ (MNP).

Một học sinh giải như sau:

Bước 1: Chọn hệ trục tọa độ như ở hình trên.

Khi đó A = (0; 0; 0), C' = (1; 1; 1), M = ($\large \frac{1}{2}$; 0; 1), N = (1; $\large \frac{1}{2}$; 0), P = (0; 1; $\large \frac{1}{2}$)

Bước 2: Tính $\vec{AC'}$ = (1; 1; 1), $\vec{MN}$ = ($\large \frac{1}{2}$; $\large \frac{1}{2}$; -1), $\vec{MP}$ = (-$\large \frac{1}{2}$; 1; -$\large \frac{1}{2}$)

Bước 3. $\left\{\begin{matrix} \vec{AC'}.\vec{MN}=0 & \\ \vec{AC'}.\vec{MP}=0 & \end{matrix}\right.$ ⇒ AC' $\perp$ mặt phẳng (MNP)

Bài giải trên đúng hay sai, nếu sai thì sai ở bước nào?

(A) Đúng

(B) Sai ở bước 1

(D) Sai ở bước 3.

37. Cho đường thẳng d: $\left\{\begin{matrix} x=0 & & \\ y=t & & \\ z=2-t & & \end{matrix}\right.$

Phương trình đường vuông góc chung của d và trục Ox là

(A) $\left\{\begin{matrix} x=1 & & \\ y=t & & \\ z=t & & \end{matrix}\right.$

(B) $\left\{\begin{matrix} x=0 & & \\ y=2t & & \\ z=t & & \end{matrix}\right.$

(D) $\left\{\begin{matrix} x=0 & & \\ y=t & & \\ z=t & & \end{matrix}\right.$

38. Cho mặt phẳng (P): x - 2y - 3z + 14 = 0 và điểm M(1; -1; 1). Tọa độ của điểm M' đối xứng với M qua mặt phẳng (P) là

(A) (-1; 3; 7)

(B) (1; -3; 7)

(D) (2; -1; 1).

39. Cho điểm A(0; -1; 3) và đường thẳng d: $\left\{\begin{matrix} x=1+2t & & \\ y=2 & & \\ z=-t & & \end{matrix}\right.$

Khoảng cách từ A đến d bằng

(A) $\sqrt{3}$

(B) $\sqrt{14}$

(D) $\sqrt{8}$

40. Cho điểm M(-1; 2; -3). Gọi $M_{1}$, $M_{2}$, $M_{3}$ lần lượt là điểm đối xứng của M qua các mặt phẳng (Oxy), (Oxz), (Oyz). Phương trình mặt phẳng ($M_{1}$$M_{2}$$M_{3}$) là

(A) 6x + 2y + 3z + 6 = 0

(B) 6x – 2y + 3z + 6 = 0

(D) 6x - 3y - 2z + 6 = 0.

41. Cho mặt cầu (S): $(x-1)^{2}$ + $(y+3)^{2}$ + $(z-2)^{2}$ = 49. Phương trình nào sau đây là phương trình của mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu (S)?

(A) 6x + 2y + 3z = 0

(B) 2x + 3y + 6z - 5 = 0

(D) x + 2y + 2z - 7 = 0.

42. Cho mặt cầu (S): $x^{2}$ + $y^{2}$ + $z^{2}$ - 2x - 4y - 6z = 0. Trong ba điểm (0; 0; 0), (1; 2; 3), (2; -1; -1), có bao nhiêu điểm nằm trong mặt cầu (S)?

(A) 0

(B) 1

(D) 3.

Giải

1. Chọn C

MNPQ là hình bình hành ⇒ $\vec{MQ}$ = $\vec{NP}$ ⇔ $\left\{\begin{matrix} x_{Q}-2=0 & & \\ y_{Q}-0=3 & & \\ z_{Q}-0=4 & & \end{matrix}\right.$ ⇔ $\left\{\begin{matrix} x_{Q}=2 & & \\ y_{Q}=3 & & \\ z_{Q}=4 & & \end{matrix}\right.$

Vậy Q(2; 3; 4)

2. Chọn D.

Ta có AB = $\sqrt{5}$ , BC = $\sqrt{11}$, AC = $\sqrt{14}$

3. Chọn C

Đường thẳng AB đi qua điểm A(1; 0; 1) và có vectơ chỉ phương $\vec{u}$ = (-1; 2; 2)

Ta có $\vec{AC}$ = (1; 1; -1) ⇒ [$\vec{AC}$, $\vec{u}$] = (4; -1; 3)

Suy ra $\mid$[$\vec{AC}$, $\vec{u}$]$\mid$ = $\sqrt{26}$, $\mid$$\vec{u}$$\mid$ = 3

Khoảng cách từ C đến đường thẳng AB: d(C, AB) = $\large \frac{\sqrt{26}}{3}$

4. Chọn A

Gọi A(1; 1; 1), B(2; 3; 4), C(6; 5; 2)

Ta có $\vec{AB}$ = (1; 2; 3), $\vec{AC}$ = (5; 4; 1) ⇒ [$\vec{AB}$, $\vec{AC}$] = (-10; -14; -6)

Diện tích hình bình hành:

S = $\mid$[$\vec{AB}$, $\vec{AC}$]$\mid$ = $\sqrt{332}$ = 2$\sqrt{83}$

5. Chọn D

Ta có $\vec{AB}$ = (-1; 1; 0), $\vec{AC}$ = (-1; 0; 1), $\vec{AD}$ = (-3; 1; -1)

Suy ra [$\vec{AB}$, $\vec{AC}$] = (1; 1; 1) ⇒ [$\vec{AB}$, $\vec{AC}$]. $\vec{AD}$ = -3

Thể tích khối tứ diện ABCD:

$V_{ABCD}$ = $\large \frac{1}{6}$$\mid$[$\vec{AB}$, $\vec{AC}$]. $\vec{AD}$$\mid$ = $\large \frac{1}{2}$

6. Chọn A

Dễ thấy phương trình của mặt phẳng (ABC) là y + 2 = 0

Độ dài đường cao của tứ diện ABCD kẻ từ A là:

h = d(D,(ABC)) = $\mid$1 + 2$\mid$ = 3

7. Chọn B

Gọi I(a; b; c) là tâm của mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD, ta có:

AI = BI = CI = DI ⇔ $\left\{\begin{matrix} AI^{2}=BI^{2} & & \\ AI^{2}=CI^{2} & & \\ AI^{2}=DI^{2} & & \end{matrix}\right.$

⇔ $\left\{\begin{matrix} (a-1)^{2}+(b-1)^{2}+(c-1)^{2}=(a-1)^{2}+(b-2)^{2}+(c-1)^{2} & & \\ (a-1)^{2}+(b-1)^{2}+(c-1)^{2}=(a-1)^{2}+(b-1)^{2}+(c-2)^{2} & & \\ (a-1)^{2}+(b-1)^{2}+(c-1)^{2}=(a-2)^{2}+(b-2)^{2}+(c-1)^{2} & & \end{matrix}\right.$ ⇔ $\large \left\{\begin{matrix} a=\frac{3}{2} & & \\ b=\frac{3}{2} & & \\ c=\frac{3}{2}& & \end{matrix}\right.$

8. Chọn A

Bán kính của mặt cầu là R = $\sqrt{3^{2}+(-4)^{2}}$ = 5

9. Chọn A

Bán kính của mặt cầu là R = |2| = 2

Phương trình của mặt cầu: $(x-2)^{2}$ + $(y-1)^{2}$ + $(z+1)^{2}$ = 4

10. Chọn C

Ta có $\vec{AB}$ = (-2; 2; -1), $\vec{AC}$ = (-2; 1; 0) ⇒ [$\vec{AB}$, $\vec{AC}$] = (1; 2; 2)

Phương trình của mặt phẳng (ABC):

1.(x - 1) +2.(y - 1) + 2.(z - 3) = 0 ⇔ x + 2y + 2z - 9 = 0

11. Chọn C

Dễ thấy điểm A(1; 0; 0) không thuộc mặt phẳng 6x + 3y + 2z + 6 = 0

12. Chọn A

Trung đểm I của đoạn thẳng AB: I(0; $\large \frac{5}{2}$; -1)

Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng trung trực đoạn thẳng AB: $\vec{n}$ = $\vec{AB}$ = (-2; -1; 6)

Phương trình của mặt phẳng trung trực đoạn đoạn AB:

-2.(x – 0) - 1.(y - $\large \frac{5}{2}$) + 6.(z + 1) = 0 ⇔ 2x + y - 6z - $\large \frac{17}{2}$ = 0 ⇔ 4x + 2y - 12z - 17 = 0

13. Chọn C

Phương trình của mặt phẳng (ABC): $\large \frac{x}{a}$ + $\large \frac{y}{b}$ + $\large \frac{z}{c}$ = 1

Với điều kiện $\large \frac{1}{a}$ + $\large \frac{1}{b}$ + $\large \frac{1}{c}$ = 2 ta thấy mặt phẳng (ABC) luôn đi qua điểm có tọa độ ($\large \frac{1}{2}$; $\large \frac{1}{2}$; $\large \frac{1}{2}$)

14. Chọn A

Trước hết ta thấy rằng hai mặt phẳng (P) và (Q) song song với nhau và điểm A(-1; 2; 1) $\in$ (Q)

15. Chọn A

A(1; 2; -5) ⇒ M(1; 0; 0), N(0; 2; 0), P(0; 0; -5)

Phương trình của mặt phẳng (MNP)

$\large \frac{x}{1}$ + $\large \frac{y}{2}$ + $\large \frac{z}{-5}$ = 1 ⇔ x + $\large \frac{y}{2}$ - $\large \frac{z}{5}$ = 1

16. Chọn C

Mặt cầu (S) có tâm I(1; 1; 1) và bán kính R = 5

Do đó: d(I, (P)) = $\large \frac{\mid 3.1-2.1+6.1+14\mid }{7}$ = 3

17. Chọn D

Gọi A(a; 0; 0), B(0; b; 0), C(0; 0; c)

Vì G là trọng tâm của AABC nên ta có:

$\large \left\{\begin{matrix} -1=\frac{a}{3} & & \\ -3=\frac{b}{3} & & \\ 2=\frac{c}{3} & & \end{matrix}\right.$ ⇔ $\left\{\begin{matrix} a=-3& & \\ b=-9& & \\ c=6 & & \end{matrix}\right.$

Phương trình của mặt phẳng (P):

$\large \frac{x}{-3}$ + $\large \frac{y}{-9}$ + $\large \frac{z}{6}$ = 1 ⇔ 6x + 2y – 3z + 18 = 0

18. Chọn A

19. Chọn A

Ta có $\vec{AB}$ = (1; 1; -4), $\vec{j}$ = (0; 1; 0)

Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P):

$\vec{n}$ = [$\vec{AB}$, $\vec{j}$] = (4; 0; -1)

Phương trình của mặt phẳng (P):

4.(x - 1) - 1.(z - 5) = 0 ⇔ 4x - z + 1 = 0

20. Chọn C

Dễ thấy mặt phẳng (P) có phương trình 3x + 2y = 0 chứa trục Oz và đi qua điểm A(2; -3; 5)

21. Chọn B

Từ giả thiết suy ra hai mặt phẳng (P) và (Q) có vectơ pháp tuyến lần lượt là:

$\vec{n_{P}}$ = (1; -1; 0), $\vec{n_{Q}}$ = (2; -1 -2)

Gọi $\varphi$ là góc giữa (P) và (Q) ta có:

cos$\varphi$ = $\mid$cos($\vec{n_{P}}$, $\vec{n_{Q}}$)$\mid$ = $\large \frac{\mid 1.2+(-1).(-1)+0.(-2)\mid }{\sqrt{2}.3}$ = $\large \frac{1}{\sqrt{2}}$

Vậy $\varphi$ = 45°

22. Chọn B

Đường thẳng d đi qua điểm M(0; 1 -3) và có vectơ chỉ phương $\vec{u}$ = (3; 4; 1)

Ta có $\vec{AM}$ = (-1; -1; -6). Suy ra vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P) là:

$\vec{n}$ = [$\vec{AM}$, $\vec{u}$] = (23; -17; -1)

Phương trình của mặt phẳng (P)

23(x - 0) - 17(y - 1) - 1.(z + 3) = 0 ⇔ 23x - 17y - z + 14 = 0

23. Chọn C

Đường thẳng $d_{1}$ đi qua điểm M(1; 0; 3) và có vectơ chỉ phương $\vec{u}$ = (1; 2; 3)

Đường thẳng $d_{2}$ đi qua điểm N(0; 1; 2) và có vectơ chỉ phương $\vec{v}$ = (2; 4; 6)

Dễ thấy $\vec{u}$ và $\vec{v}$ cùng phương và điểm N $\in$ $d_{2}$ nhưng N $\notin$ $d_{1}$

Vậy $d_{1}$ // $d_{2}$

24. Chọn D

Thế phương trình của d vào phương trình của ($\alpha$) ta được:

(1 + t) + 3(2 - t) + (2 - 3t) + 1 = 0 ⇔ t = 2

Suy ra giao điểm của d và ($\alpha$) là điểm I(3; 0; -4)

25. Chọn B.

Từ phương trình của d suy ra d đi qua điểm M(4; -1; 4) và có vectơ chỉ phương $\vec{u}$ = (2; -1; 1), vectơ này cùng phương với $\vec{v}$ = (-2; 1; -1)

Vậy phương trình $\left\{\begin{matrix} x=4-2t & & \\ y=-1+t & & \\ z=4-t & & \end{matrix}\right.$ là phương trình tham số của d.

26. Chọn D

Đường thẳng AB có vectơ chỉ phương $\vec{u}$ = $\vec{AB}$ = (-1; -1; 5), cùng phương với $\vec{v}$ = (1; 1; -5)

Vậy cả ba phương trình đều là phương trình của đường thẳng AB.

27. Chọn C

Lời giải sai từ bước 2: [$\vec{AB}$, $\vec{AC}$] = (-3; 0; 0)

28. Chọn D

Trục Ox và $\Delta$ có vectơ chỉ phương lần lượt là $\vec{i}$ = (1; 0; 0) và $\vec{u}$ = (1; -1; -3)

Vectơ chỉ phương của d: $\vec{a}$ = [$\vec{i}$, $\vec{u}$] = (0; 3; -1)

Phương trình của d là: $\left\{\begin{matrix} x=0 & & \\ y=3t & & \\ z=-t & & \end{matrix}\right.$

29. Chọn D

Đường thẳng d đi qua điểm $M_{0}$(3; -1; 4) và có vectơ chỉ phương $\vec{u}$ = (4; -1; 2)

Mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến $\vec{n}$ = (1; 2; -1)

Ta có $\vec{u}$.$\vec{n}$ = 0 và 3 + 2(-1) – 4 + 3 = 0. Vậy d $\subset$ (P)

30. Chọn A

Đường thẳng d có vectơ chỉ phương $\vec{u}$ = (-4; -1; 2)

Phương trình của mặt phẳng (P) đi qua điểm A(1; 1; 1) và vuông góc với d:

-4(x - 1) - 1.(y - 1) + 2.(z - 1) = 0 ⇔ 4x + y - 2z - 3 = 0

Tọa độ giao điểm của d và (P) ứng với t nghiệm đúng phương trình:

4.(6 - 4t) + (- 2 - t) - 2.(-1 + 2t) - 3 = 0 ⇔ t = 1

Suy ra giao điểm của d và (P) là điểm H(2; -3; 1). Điểm H chính là hình chiếu vuông góc của điểm A trên đường thẳng d.

31. Chọn A

32. Chọn A

Ta có: $\vec{u}$.$\vec{v}$ = $\mid$$\vec{u}$$\mid$.$\mid$$\vec{v}$$\mid$.cos$\large \frac{\pi }{3}$ = 2.1.$\large \frac{1}{2}$ = 1

$(\vec{u}-\vec{v})^{2}$ = $\vec{u}^{2}$ - $\vec{v}^{2}$ - 2$\vec{u}$.$\vec{v}$ = 4 + 1 - 2.2.1.cos$\large \frac{\pi }{3}$ = 3

⇒ $\mid$ $\vec{u}$ - $\vec{v}$ $\mid$ = $\sqrt{3}$

Gọi $\varphi$ là góc tạo bởi $\vec{v}$ và $\vec{u}$ - $\vec{v}$ ta có:

cos$\varphi$ = $\large \frac{\vec{u}.(\vec{u}-\vec{v})}{\mid \vec{u}\mid.\mid \vec{u}-\vec{v}\mid }$ = $\large \frac{4-1}{2.\sqrt{3}}$ = $\large \frac{\sqrt{3}}2{}$

Suy ra $\varphi$ = 30°

33. Chọn B.

Ta có $\mid [\vec{u},\vec{v}]\mid$ = $\mid \vec{u}\mid$.$\mid \vec{v}\mid$.sin($\vec{u}$, $\vec{v}$) = 2.5.$\large \frac{1}{2}$ = 5

34. Chọn A.

35. Chọn B.

Đường thẳng d có vectơ chỉ phương $\vec{u}$ = (-1; 5; 3) và mp(P) có vectơ pháp tuyến $\vec{n}$ = (3; -2; 3)

Ta có [$\vec{u}$, $\vec{n}$] = (21; 12; -13) ⇒ [[$\vec{u}$, $\vec{n}$], $\vec{n}$] = (10; -102; -78)

Vậy d' có vectơ chỉ phương là $\vec{a}$ = (10; -102; -78)

36. Chọn A.

37. Chọn D.

Nhận thấy đường thẳng d nằm trên mp(Oyz) nên d và trục Ox vuông góc với nhau.

Do đó đường vuông góc chung của d và Ox là đường thẳng đi qua O, nằm trên mp(Oyz) và vuông góc với d. Dễ thấy đường vuông góc chung này có phương trình: $\left\{\begin{matrix} x=0 & & \\ y=t & & \\ z=t & & \end{matrix}\right.$

38. Chọn A.

Phương trình của đường thẳng $\Delta$ đi qua điểm M(1; -1; 1) và vuông góc với mp(P) là: $\left\{\begin{matrix} x=1+t & & \\ y=-1-2t & & \\ z=1-3t & & \end{matrix}\right.$

Gọi H là hình chiếu vuông góc của M trên mp(P) thì H là giao điểm của $\Delta$ và mp(P), do đó

Tọa độ của H ứng với t nghiệm đúng phương trình:

(1 + t) - 2(-1 - 2t) - 3(1 - 3t) + 14 = 0 ⇔ t = -1

Suy ra H(0; 1; 4). Vì H là trung điểm của đoạn thẳng MM' nên ta suy ra M'(-1; 3; 7)

39. Chọn B.

Đường thẳng d đi qua điểm M(1; 2; 0) và có vectơ chỉ phương $\vec{u}$ = (2; 0; -1)

Ta có: $\vec{AM}$ = (1; 3; -3) ⇒ [$\vec{AM}$, $\vec{u}$] = (-3; -5; -6)

Suy ra $\mid$[$\vec{AM}$, $\vec{u}$]$\mid$ = $\sqrt{70}$, $\mid$$\vec{u}$$\mid$ = $\sqrt{5}$

Do đó khoảng cách từ A đến đường thẳng là:

d(A, d) = $\large \frac{\sqrt{70}}{\sqrt{5}}$ = $\sqrt{14}$

40. Chọn C.

M(-1; 2; -3) ⇒ $M_{1}$(-1; 2; 3), $M_{2}$(-1; -2; -3), $M_{3}$(1; 2; -3)

Ta có $\vec{M_{1}M_{2}}$ = (0; -4; -6), $\vec{M_{1}M_{3}}$ = (2; 0; -6)

Vectơ pháp tuyến của mp($M_{1}M_{2}M_{3}$):

$\vec{n}$ = [$\vec{M_{1}M_{2}}$, $\vec{M_{1}M_{3}}$] = (24; -12; 8), cùng phương với $\vec{u}$ = (6; -3; 2)

Phương trình của mp($M_{1}M_{2}M_{3}$):

6(x + 1) - 3(y - 2) + 2(z - 3) = 0 ⇔ 6x - 3y + 2z + 6 = 0

41. Chọn C.

Mặt cầu (S) có tâm I(1; -3; 2), bán kính R = 7

Ta có: khoảng cách từ I đến các mặt phẳng trong các câu A, B, C, D lần lượt là:

$h_{1}$ = $\large \frac{6}{7}$, $h_{2}$ = 0, $h_{3}$ = 7, $h_{4}$ = $\large \frac{8}{3}$

Vậy chỉ có mặt phẳng 6x + 2y + 3z – 55 = 0 là tiếp xúc với mặt cầu (S).

42. Chọn B.

Mặt cầu (S) có tâm I(1; 2; 3), bán kính R = $\sqrt{14}$

Gọi A(1; 2; 3), B(2; -1; -1). Ta có: IO = $\sqrt{14}$, IA = 0, IB = $\sqrt{26}$

Vậy chỉ có điểm B nằm trong mặt cầu (S).

Chương 1: Khối Đa Diện Và Thể Tích Của Chúng

Chương 2: Mặt Cầu, Mặt Trụ, Mặt Nón

Chương 3: Phương Pháp Tọa Độ Trong Không Gian

Câu Hỏi Và Bài Tập Ôn Cuối Năm