Ôn tập chương II: Câu hỏi trắc nghiệm

ÔN TẬP CHƯƠNG II

III. CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM

1. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?

(A) Mọi hình hộp đều có mặt cầu ngoại tiếp

(B) Mọi hình hộp đứng đều có mặt cầu ngoại tiếp

(D) Mọi hình hộp chữ nhật đều có mặt cầu ngoại tiếp.

2. Trong số các hình hộp nội tiếp một mặt cầu bán kính R thì

(A) Hình hộp có đáy là hình vuông có thể tích lớn nhất

(B) Hình lập phương có thể tích lớn nhất

(D) Hình hộp có các kích thước tạo thành cấp số nhân công bội khác 1 có thể tích lớn nhất.

3. Một hình cầu có thể tích $\large \frac{4}{3}\pi$ ngoại tiếp một hình lập phương. Trong các số sau đây, số nào là thể tích của khối lập phương?

(A) $\large \frac{8\sqrt{3}}{9}$

(B) $\large \frac{8}{5}$

(D) 2$\sqrt{3}$.

4. Trong các mệnh đề sau, mệnh đều nào đúng?

(A) Hình chóp có đáy là tứ giác bất kì có mặt cầu ngoại tiếp

(B) Hình chóp có đáy là hình thang vuông có mặt cầu ngoại tiếp

(D) Hình chóp có đáy là hình thang cân có mặt cầu ngoại tiếp.

5. Cho tứ diện đều ABCD có cạnh bằng a. Tập hợp các điểm M trong không gian sao cho $MA^{2}$ + $MB^{2}$ + $MC^{2}$ + $MD^{2}$ = 2$a^{2}$ là

(A) Mặt cầu có tâm là trọng tâm của tam giác ABC và bán kính bằng $\large \frac{a\sqrt{2}}{2}$

(B) Mặt cầu có tâm là trọng tâm của tứ diện và bán kính bằng $\large \frac{a\sqrt{2}}{4}$

(D) Đường tròn với tâm là trọng tâm tam giác ABC và bán kính bằng $\large \frac{a\sqrt{2}}{4}$

6. Bán kính mặt cầu tiếp xúc với các cạnh của tứ diện đều ABCD cạnh bằng a là

(A) $\large \frac{a\sqrt{2}}{2}$

(B) $\large \frac{a\sqrt{2}}{4}$

(D) 2a$\large \sqrt{2}$.

7. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?

(A) Có duy nhất một mặt cầu đi qua hai đường tròn nằm trong hai mặt phẳng cắt nhau

(B) Có duy nhất một mặt cầu đi qua hai đường tròn nằm trong hai mặt phẳng song song

(D) Có duy nhất một mặt cầu đi qua hai đường tròn cắt nhau tại hai điểm phân biệt và không cùng nằm trong một mặt phẳng.

8. Cho hai điểm A, B cố định. Tập hợp các điểm M trong không gian sao cho diện tích tam giác MAB không đổi là

(A) Hai đường thẳng song song

(B) Mặt cầu

(D) Mặt nón tròn xoay.

9. Cho hai điểm A, B phân biệt. Một đường thẳng l thay đổi luôn đi qua điểm A và cách B một khoảng $\large \frac{AB}{2}$. Gọi H là hình chiếu của B trên l. Tập hợp các điểm H là:

(A) Mặt phẳng

(B) Mặt trụ tròn xoay

(D) Đường tròn.

10. Với điểm O cố định thuộc mặt phẳng (P) cho trước, xét đường thẳng l thay đổi đi qua O và tạo với (P) góc 30°. Tập hợp các đường thẳng l trong không gian là:

(A) Mặt phẳng

(B) Hai đường thẳng

(D) Mặt nón.

11. Một hình trụ có bán kính đáy bằng a, đường cao OO' = a$\sqrt{3}$. Một đoạn thẳng AB thay đổi sao cho góc giữa AB và trục hình trụ bằng 30°, A, B thuộc hai đường tròn đáy của hình trụ. Tập hợp trung điểm I của AB là

(A) một mặt trụ.

(B) một mặt cầu

(D) một mặt phẳng.

12. Trong mặt phẳng (P) cho góc xOy. Một mặt phẳng (Q) thay đổi và vuông góc với đường phân giác trong của góc xOy, cắt Ox, Oy tại A,B. Trong (Q) lấy điểm M sao cho $\widehat{AMB}$ = 90°. Khi ấy, tập hợp điểm M là

(A) Đường tròn

(B) Mặt trụ

(D) Mặt cầu.

13. Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh bằng a. Diện tích xung quanh của hình nón tròn xoay sinh bởi đường chéo AC' khi quay quanh trục AA' bằng

(A) $\pi a^{2}\sqrt{6}$

(B) $\pi a^{2}\sqrt{3}$

(D) $\pi a^{2}\sqrt{5}$.

14. Cho hình nón có bán kính đáy bằng a. Một dây cung thay đổi của đường tròn đáy có độ dài không đổi bằng a. Tập hợp trung điểm của đoạn thẳng nối đỉnh hình nón với trung điểm của dây cung đó là

(A) Mặt nón cố định

(B) Mặt phẳng cố định

(D) Đường tròn cố định.

15. Cho hình trụ có bán kính đáy R, đường cao OO'. Cắt hình trụ đó bằng mặt phẳng ($\alpha$) vuông góc với đáy và cách điểm O một khoảng h cho trước (h < R). Khi ấy, mp($\alpha$) có tính chất:

(A) Luôn tiếp xúc với một mặt trụ cố định

(B) Luôn cách một mặt phẳng cho trước qua trục hình trụ một khoảng h

(D) Cả ba tính chất trên đều sai.

16. Một khối trụ có bán kính đáy a$\sqrt{3}$, chiều cao 2a$\sqrt{3}$. Thể tích của khối cầu ngoại tiếp khối trụ là

(A) 8$\sqrt{6}\pi a^{3}$

(B) 6$\sqrt{6}\pi a^{3}$

(D) 4$\sqrt{3}\pi a^{3}$

17. Cho hình nón có đường sinh bằng đường kính đáy và bằng 2. Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình nón đó là:

(A) $\sqrt{3}$

(B) 2$\sqrt{3}$

(D) $\large \frac{2\sqrt{3}}{3}$.

18. Cho hình nón sinh bởi một tam giác đều cạnh a khi quay quanh một đường cao. Một mặt cầu có diện tích toàn phần của hình nón thì có bán kính là

(A) $\large \frac{a\sqrt{3}}{4}$

(B) $\large \frac{a\sqrt{2}}{4}$

(D) $\large \frac{a\sqrt{3}}{2}$.

19. Cho một hình nón sinh bởi một tam giác đều cạnh a khi quay quanh một đường cao. Một khối cầu có thể tích của khối nón thì có bán kính bằng

20. Một hình nón có đường sinh bằng a và góc ở đỉnh bằng 90°. Cắt hình nón bằng mặt phẳng ($\alpha$) đi qua đỉnh sao cho góc giữa ($\alpha$) và mặt đáy hình nón bằng 60°. Khi đó diện tích thiết diện là:

(A) $\large \frac{\sqrt{2}}{3}a^{2}$

(B) $\large \frac{\sqrt{3}}{2}a^{2}$

(D) $\large \frac{3}{2}$.

21. Cho hình chóp tứ giác đều cạnh đáy bằng a, cạnh bên tạo với mặt đáy góc 60°. Diện tích toàn phần của hình nón ngoại tiếp hình chóp là

(A) $\large \frac{3\pi a^{2}}{2}$

(B) $\large \frac{3\pi a^{2}}{4}$

(D) $\large \frac{3\pi a^{2}}{8}$.

22. Cho mặt cầu bán kính R và một hình trụ có bán kính đáy R và chiều cao 2R. Tỉ số thể tích khối cầu và khối trụ là

(A) $\large \frac{2}{3}$

(B) $\large \frac{3}{2}$

(D) $\large \frac{1}{2}$.

23. Cho hình trụ có bán kính đáy R, chiều cao cũng bằng R. Một hình vuông ABCD có hai cạnh AB và CD lần lượt là các dây cung của hai đường tròn đáy, mp(ABCD) không vuông góc với mặt phẳng đáy hình trụ. Diện tích hình vuông đó là

(A) $\large \frac{5R^{2}}{2}$

(B) 5$R^{2}$

(D) 5$R^{2}$$\sqrt{2}$.

24. Một khối hộp chữ nhật nội tiếp trong một khối trụ. Ba kích thước của khối hộp chữ nhật là a, b, c. Thể tích của khối trụ là

(A) $\large \frac{1}{4}\pi(a^{2}+b^{2})c$

(B) $\large \frac{1}{4}\pi(b^{2}+c^{2})a$

(D) $\large \frac{1}{4}\pi(a^{2}+b^{2})c$ hoặc $\large \frac{1}{4}\pi(b^{2}+c^{2})a$ hoặc $\large \frac{1}{4}\pi(c^{2}+a^{2})b$

25. Một khối tứ diện đều có cạnh a nội tiếp một khối nón. Thể tích khối nón là

(A) $\large \frac{\sqrt{3}}{27}\pi a^{3}$

(B) $\large \frac{\sqrt{6}}{27}\pi a^{3}$

(D) $\large \frac{\sqrt{6}}{9}\pi a^{3}$

26. Cho hình nón đỉnh S, đáy là hình tròn tâm O, góc ở đỉnh bằng 120°. Trên đường tròn đáy, lấy một điểm A cố định và điểm M di động. Gọi s là diện tích của tam giác SAM. Có bao nhiêu vị trí của M để s đạt giá trị lớn nhất?

(A) Có 1 vị trí

(B) Có 2 vị trí

(D) Có vô số vị trí.

Giải

1. Chọn D.

Ta đã biết, hình lăng trụ có mặt cầu ngoại tiếp khi và chỉ khi hình lăng trụ đó phải là một hình lăng trụ đứng và đáy có đường tròn ngoại tiếp. Vì vậy trong các hình hộp, chỉ có hình hộp chữ nhật là có mặt cầu ngoại tiếp.

2. Chọn B.

Hình hộp nội tiếp mặt cầu phải là hình hộp chữ nhật, gọi ba kích thước của nó là a, b, c. Thể tích của khối hộp chữ nhật là V = abc.

Ta có: $a^{2}+b^{2}+c^{2}=4R^{2}$

Áp dụng bất đẳng thức Côsi, ta có:

Suy ra V $\leq$ $\large \frac{8R^{3}}{3\sqrt{3}}$.

Vậy V đạt giá trị lớn nhất bằng $\large \frac{8R^{3}}{3\sqrt{3}}$ khi và chỉ khi a = b = c = $\large \frac{2R}{\sqrt{3}}$

3. Chọn A.

Gọi R là bán kính của khối cầu và a là cạnh của khối lập phương.

Ta có $V_{C}$ = $\large \frac{4}{3}\pi R^{3}$ = $\large \frac{4}{3}\pi$ ⇒ R = 1.

Suy ra a$\sqrt{3}$ = 2R ⇒ a =$\large \frac{2}{\sqrt{3}}$ . Do đó $V_{LP}$ = $\large (\frac{2}{\sqrt{3}})^{2}$ = $\large \frac{8\sqrt{3}}{9}$.

4. Chọn D.

Hình thang cân luôn có đường tròn ngoại tiếp. Vậy hình chóp có đáy là hình thang cân luôn có mặt cầu ngoại tiếp.

5. Chọn B.

Gọi I, J lần lượt là trung điểm của AB và CD, trọng tâm G của ABCD là trung điểm của IJ. Ta có:

$\vec{MA}$ + $\vec{MB}$ = 2$\vec{MI}$ ⇒ $MA^{2}$ + $MB^{2}$ + 2$\vec{MA}$.$\vec{MB}$ = 4$MI^{2}$

Hay $MA^{2}$ + $MB^{2}$ + ($MA^{2}$ + $MB^{2}$ - $AB^{2}$) = 4$MI^{2}$

Hay 2($MA^{2}$ + $MB^{2}$) - $a^{2}$ = 4$MI^{2}$ (1)

Tương tự: 2($MC^{2}$ + $MD^{2}$) - $a^{2}$ = 4$MJ^{2}$ (2)

Cộng (1) và (2):

$MA^{2}$ + $MB^{2}$ + $MC^{2}$ + $MD^{2}$ - $a^{2}$ = 2($MI^{2}$ + $MJ^{2}$) (3)

Mà $MI^{2}$ + $MJ^{2}$ = 2$MG^{2}$ + $\large \frac{IJ^{2}}{2}$ = 2$MG^{2}$ + $\large \frac{a^{2}}{4}$, ($IJ^{2}$ = $\large \frac{a^{2}}{2}$)

Thế vào (3): $MA^{2}$ + $MB^{2}$ + $MC^{2}$ + $MD^{2}$ - $a^{2}$ = 4$MG^{2}$ + $\large \frac{a^{2}}{2}$

Suy ra $MG^{2}$ = $\large \frac{1}{4}$($MA^{2}$ + $MB^{2}$ + $MC^{2}$ + $MD^{2}$ - $\large \frac{3a^{2}}{2}$)

Như vậy: $MA^{2}$ + $MB^{2}$ + $MC^{2}$ + $MD^{2}$ = 2$a^{2}$ khi và chỉ khi:

$MG^{2}$ = $\large \frac{a^{2}}{8}$ ⇔ MG = $\large \frac{a\sqrt{2}}{4}$

Vậy tập hợp các điểm M là mặt cầu tâm G bán kính R = $\large \frac{a\sqrt{2}}{4}$

6. Chọn B.

Lấy kết quả câu 5. Mặt cầu tiếp xúc với các cạnh của tứ diện đều ABCD có tâm G và bán kính là R = $\large \frac{IJ}{2}$ = $\large \frac{a\sqrt{2}}{4}$

7. Chọn D. Dựa theo kết quả của bài tập 3.

8. Chọn C.

Gọi $\Delta$ là đường thẳng qua hai điểm A, B và H là hình chiếu vuông góc của M trên $\Delta$. Ta có $S_{ABC}$ = $\large \frac{1}{2}$AB.MH. Do AB và $S_{ABC}$ không đổi nên MH không đổi.

Vậy tập hợp các điểm M là mặt trụ tròn xoay, trục $\Delta$.

9. Chọn D

10. Chọn D

11. Chọn C

Kẻ đường sinh BC, suy ra $\widehat{ABC}$ = 30°. Suy ra AC = BCtan30° = a

Gọi J là trung điểm của AC. Ta có:

IJ = $\large \frac{BC}{2}$ = $\large \frac{a\sqrt{3}}{2}$ và d(I; OO') = OJ = $\large \frac{a\sqrt{3}}{2}$

Vậy tập hợp các điểm I là đường tròn có tâm là trung điểm của OO' và có bán kính r = $\large \frac{a\sqrt{3}}{2}$

12. Chọn C.

Tam giác OAB cân tại O, gọi I là trung điểm của AB

Đặt $\widehat{xOy}$ = 2$\alpha$

Tam giác MAB vuông tại M, suy ra MI = $\large \frac{AB}{2}$

Gọi Oz là phân giác trong góc xOy.

Do Oz $\perp$ (Q) nên Oz $\perp$ MI ⇒ $\Delta$OMI vuông tại I.

Dễ thấy hai tam giác vuông OIM và OIA bằng nhau.

Suy ra $\widehat{MOI}$ = $\widehat{AOI}$ = $\alpha$

Do đó, nếu gọi d là đường thẳng qua O và M thì d luôn tạo với Oz một góc không đổi $\alpha$.

Suy ra tập hợp các điểm M là mặt nón đỉnh O có trục Oz và góc đỉnh 2$\alpha$.

13. Chọn A.

Đường sinh của hình nón l = AC' = a$\sqrt{3}$

Bán kính đáy của hình nón R = A'C' = a$\sqrt{2}$

Diện tích xung quanh của hình nón:

Sxq = $\pi$.a$\sqrt{2}$.a$\sqrt{3}$ = $\pi$$a^{2}$$\sqrt{6}$

14. Chọn D.

Kẻ trục SO, gọi dây cung thay đổi là AB, trung điểm của dây là I.

Ta có OI = $\sqrt{OA^{2}-IA^{2}}$ = $\large \sqrt{a^{2}-\frac{AB^{2}}{4}}$ (không đổi)

Vậy tập hợp các trung điểm I là đường tròn tâm O bán kính r = $\large \sqrt{a^{2}-\frac{AB^{2}}{4}}$ nằm trên mặt phẳng chứa đường tròn đáy.

15. Chọn A.

Gọi thiết diện của hình trụ cắt bởi mp($\alpha$) là ABCD (A, B $\in$ (O), C, D $\in$ (О'))

Gọi I là trung điểm của AB thì OI $\perp$ mp(ABCD) hay OI $\perp$ mp($\alpha$)

Từ giả thiết ta có OI = h (không đổi).

Suy ra mp($\alpha$) thay đổi nhưng luôn cách trục OO' một khoảng cách bằng h.

Vậy mặt phẳng ($\alpha$) luôn tiếp xúc với một mặt trụ có trục OO' và bán kính bằng h.

16. Chọn A.

Gọi I là trung điểm của trục OO' của hình trụ. Đường tròn đáy của hình trụ phải nằm trên mặt cầu.

Ta có IO = $\large \frac{OO'}{2}$ = $a\sqrt{3}$

Bán kính của khối cầu:

Thể tích của khối cầu:

17. Chọn D.

Từ giả thiết suy ra, thiết diện qua trục của hình trụ là tam giác đều cạnh 2.

Chiều cao của hình nón: h = 2.$\large \frac{\sqrt{3}}{2}$ = $\sqrt{3}$

Suy ra bán kính của mặt cầu ngoại tiếp hình nón là:

R = $\large \frac{2}{3}$.$\sqrt{3}$ = $\large \frac{2\sqrt{3}}{3}$

18. Chọn A.

Hình nón tạo thành có đường sinh l = a, bán kính đáy R = $\large \frac{a}{2}$ và chiều cao h = $\large \frac{a\sqrt{3}}{2}$

Diện tích toàn phần của hình nón:

Stp = $\pi$R(R + l) = $\pi$.$\large \frac{a}{2}$($\large \frac{a}{2}$ + a) = $\large \frac{3\pi a^{2}}{4}$

Từ giả thiết ta có: $S_{C}$ = Stp ⇔ 4$\pi r^{2}$ = $\large \frac{3\pi a^{2}}{4}$ ⇔ r = $\large \frac{a\sqrt{3}}{4}$

19. Chọn A.

Tiếp theo câu 18.

Thể tích khối nón

Từ giả thiết ta có:

20. Chọn A.

Gọi S là đỉnh và O và tâm đường tròn đáy của khối nón. Dựng thiết diện qua đỉnh là SAB. Gọi I là trung điểm của AB thì AB $\perp$ SI và AB $\perp$ OI. Suy ra $\widehat{SIO}$ = 60°. Từ giả thiết suy ra tam giác SOA vuông cân tại O nên OA = OS = $\large \frac{a}{\sqrt{2}}$

Từ tam giác SOI vuông tại O, ta có:

OI = SOcot60° = $\large \frac{a}{\sqrt{2}}$.$\large \frac{\sqrt{3}}{3}$ = $\large \frac{a\sqrt{6}}{6}$ và SI = 2OI = $\large \frac{a\sqrt{6}}{3}$

Từ tam giác OIA vuông tại I:

IA = $\sqrt{OA^{2}-OI^{2}}$ = $\large \sqrt{\frac{a^{2}}{2}-\frac{a^{2}}{6}}$ = $\large \frac{a\sqrt{3}}{3}$

* Diện tích của thiết diện:

Std = $\large \frac{1}{2}$AB.SI = $\large \frac{a\sqrt{3}}{3}$.$\large \frac{a\sqrt{6}}{3}$ = $\large \frac{a^{2}\sqrt{2}}{3}$

21. Chọn A

Xét hình chóp tứ giác đều S.ABCD, kẻ đường cao SH. Từ giả thiết suy ra $\widehat{SAH}$ = 60°.

Bán kính đáy của hình nón R = HA = $\large \frac{a\sqrt{2}}{2}$

Đường sinh của hình nón l = SA = a$\large \sqrt{2}$

Diện tích toàn phần của hình nón:

Sxq = $\pi$R(R + l) = $\pi$.$\large \frac{a\sqrt{2}}{2}$.($\large \frac{a\sqrt{2}}{2}$ + a$\sqrt{2}$) = $\large \frac{3\pi a^{2}}{2}$

22. Chọn A.

- Thể tích khối cầu: $V_{C}$ = $\large \frac{4}{3}\pi R^{3}$

- Thể tích khối trụ: $V_{T}$ = $\pi .R^{2}.2R$ = 2$\pi R^{3}$

Suy ra $\large \frac{V_{C}}{V_{T}}$ = $\large \frac{2}{3}$

23. Chọn A.

Gọi hai đường tròn đáy của hình trụ là (O), (O'). Theo giả thiết ta có thể cho A, B $\in$ (O) và C, D $\in$ (O). Đặt AB = BC = a.

Kẻ hai đường sinh CE và DF thì dễ thấy tứ giác ABEF là hình chữ nhật. Như vậy AE và BF là đường kính của (O).

Từ các tam giác vuông ABE và BEC ta có:

$AE^{2}$ - $AB^{2}$ = $BC^{2}$ - $CE^{2}$ (cùng bằng $BE^{2}$)

Hay 4$R^{2}$ - $a^{2}$ = $a^{2}$ - $R^{2}$ ⇔ $a^{2}$ = $\large \frac{5R^{2}}{2}$

Vậy diện tích hình vuông là S = $a^{2}$ = $\large \frac{5R^{2}}{2}$

24. Chọn D.

Giả sử khối hộp chữ nhật ABCD.A'B'C'D' nội tiếp trong khối trụ với AB = a, AD = b, AA' = c. Nếu hai đáy ABCD và A'B'C'D' nội tiếp trong hai đáy khối thì khối trụ có bán kính đáy R = $\large \frac{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}{2}$ và chiều cao h = c.

Thể tích khối trụ là: V = $\pi R^{2}$h = $\large \frac{1}{4}\pi (a^{2}+b^{2}).c$

Thay đổi ABCD và A'B'C'D' bằng các cặp mặt đối còn lại thì thể tích khối trụ là

V = $\large \frac{1}{4}\pi (a^{2}+c^{2})$.b hoặc V = $\large \frac{1}{4}\pi (b^{2}+c^{2})$.a

25. Chọn B.

- Bán kính đáy của khối nón: R = $\large \frac{a\sqrt{3}}{3}$

- Chiều cao của khối nón: h = $\large \frac{a\sqrt{6}}{3}$

Thể tích của khối nón

26. Chọn B.

Gọi a là đường sinh của hình nón, I là trung điểm của AM. Từ giả thiết suy ra $\widehat{OSA}$ = 60°, do đó SO = $\large \frac{a}{2}$, OA = $\large \frac{a\sqrt{3}}{2}$.

Đặt d = OI. Ta có:

Diện tích của tam giác SAM:

Suy ra s đạt giá trị lớn nhất khi và chỉ khi:

$\large d^{2}$ = $\large \frac{a^{2}}{4}$ ⇔ d = $\large \frac{a}{2}$

Vậy có hai vị trí của M để s lớn nhất.

Chương 1: Khối Đa Diện Và Thể Tích Của Chúng

Chương 2: Mặt Cầu, Mặt Trụ, Mặt Nón

Chương 3: Phương Pháp Tọa Độ Trong Không Gian

Câu Hỏi Và Bài Tập Ôn Cuối Năm