MỘT SỐ ĐỀ KIỂM TRA

ĐỀ II

Câu 1. Cho tứ diện đều ABCD có cạnh bằng a. Gọi B', C', D' lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, AC và AD.

a) Chứng minh rằng 6 điểm B, C, D, B', C', D' nằm trên một mặt cầu. Tính bán kính mặt cầu đó.

b) Tính thể tích khối chóp D.BCC'B'.

Câu 2. Trong không gian tọa độ Oxyz cho các điểm A(2; 0; 0), A'(6; 0; 0), B(0; 3; 0), B'(0; 4; 0), C(0; 0; 4), C'(0; 0; 3).

a) Viết phương trình mặt cầu đi qua bốn điểm A, A', B, C. Chứng minh rằng B' và C' cũng nằm trên mặt cầu đó.

b) Chứng minh rằng trực tâm H của tam giác ABC, trọng tâm G của tam giác A'B'C' cũng nằm trên một đường thẳng đi qua O. Viết phương trình đường thẳng đó.

c) Tính khoảng cách từ điểm O tới giao tuyến của mp(ABC') và mp(A'B'C)

Giải

Câu 1.

a) Kẻ đường cao AH của tứ diện đều ABCD thì H là tâm $\Delta$BCD và đường thẳng AH là trục của đường tròn ngoại tiếp $\Delta$BCD. Gọi I là trung điểm của BB' qua I dựng mặt trung trực ($\alpha$) của BB' cắt AH tại điểm O, dễ thấy điểm O cách đều các đỉnh B, C, D, B', C', D' nên O là tâm của mặt cầu (S) đi qua 6 điểm B, C, D, B', C', D'.

Từ hai tam giác vuông AIO và AHB đồng dạng:

$\large \frac{IO}{BH}$ = $\large \frac{AI}{AH}$ ⇒ IO = $\large \frac{AI.BH}{AH}$

Trong đó AI = $\large \frac{3a}{4}$, BH = $\large \frac{a\sqrt{3}}{3}$, AH = $\large \frac{a\sqrt{6}}{3}$

Suy ra: IO = $\LARGE \frac{\frac{3a}{4}.\frac{a\sqrt{3}}{3}}{\frac{a\sqrt{6}}{3}}$ = $\large \frac{3\sqrt{2}a}{8}$

Từ tam giác OIB vuông tại I:

OB = $\sqrt{IB^{2}+OI^{2}}$ = $\large \sqrt{\frac{a^{2}}{16}+\frac{18a^{2}}{64}}$ = $\large \frac{a\sqrt{22}}{8}$

Vậy bán kính của mặt cầu (S) là R = $\large \frac{a\sqrt{22}}{8}$

b) Gọi V là thể tích khối chóp D.BCC'B', ta có V = $\large \frac{1}{3}$S.h

+ Tứ giác BCC'B' là hình thang cân có độ dài hai đáy là a, $\large \frac{a}{2}$ và có chiều cao h = $\large \frac{a\sqrt{3}}{4}$

Do đó S = $S_{BCC'B'}$ = $\large \frac{1}{2}$(a + $\large \frac{a}{2}$).$\large \frac{a\sqrt{3}}{4}$ = $\large \frac{3\sqrt{3}a^{2}}{16}$

+ h = d(D, (ABC)) = $\large \frac{a\sqrt{6}}{3}$

Suy ra V = $\large \frac{1}{3}$.$\large \frac{3\sqrt{3}a^{2}}{16}$.$\large \frac{a\sqrt{6}}{3}$ = $\large \frac{a^{3}\sqrt{2}}{16}$

Câu 2.

a) Phương trình của mặt cầu (S) đi qua bốn điểm A, A', B, C có dạng:

$x^{2}$ + $y^{2}$ + $z^{2}$ + 2ax + 2by + 2cz + d = 0

Ta có hệ phương trình:

$\left\{\begin{matrix} 4+4a+d=0\\ 36+12a+d=0\\ 9+6b+d=0\\ 16+8c+d=0 \end{matrix}\right.$ ⇔ $\large \left\{\begin{matrix} a=-4\\ b=-\frac{7}{2}\\ c=-\frac{7}{2}\\ d=12 \end{matrix}\right.$

Vậy phương trình của mặt cầu (S) là:

$x^{2}$ + $y^{2}$ + $z^{2}$ - 8x - 7y - 7z +12 = 0 (1)

Dễ thấy tọa độ các điểm B' và C' nghiệm đúng phương trình (1), nên B' và C' nằm trên mặt cầu (S).

b) Theo giả thiết A(2; 0; 0) $\in$ Ox, B(0; 3; 0) $\in$ Oy, C(0; 0; 4) $\in$ Oz. Do đó nếu H là trực tâm của $\Delta$ABC thì H là hình chiếu vuông góc của gốc tọa độ O trên mp(ABC), suy ra H nằm trên đường thẳng $\Delta$ đi qua gốc tọa độ O và vuông góc với mp(ABC). Phương trình của mặt phẳng (ABC):

$\large \frac{x}{2}$ + $\large \frac{y}{3}$ + $\large \frac{z}{4}$ = 1 ⇔ 6x + 4y + 3z - 12 = 0

Đường thẳng $\Delta$ có vectơ chỉ phương là vectơ pháp tuyến của mp(ABC): $\vec{n}$ = (6; 4; 3)

Phương trình của $\Delta$

$\large \frac{x}{6}$ = $\large \frac{y}{4}$ = $\large \frac{z}{3}$ (2)

Vì G là trọng tâm của $\Delta$A'B'C' nên ta có G(2; $\large \frac{4}{3}$; 1)

Dễ thấy tọa độ điểm G nghiệm đúng phương trình (2) nên G $\in$ $\Delta$.

Vậy H, G cùng nằm trên đường thẳng $\Delta$ đi qua O có phương trình

$\large \frac{x}{6}$ = $\large \frac{y}{4}$ = $\large \frac{z}{3}$

c) * $\vec{AB}$ = (-2; 3; 0), $\vec{AC'}$ = (-2; 0; 3).

Vectơ pháp tuyến của mp(ABC')

[$\vec{AB}$, $\vec{AC'}$] = (9; 6; 6), cùng phương với $\vec{p}$ = (3; 2; 2)

Phương trình của mp(ABC'):

3.(x - 2) + 2.(y - 0) + 2.(z - 0) = 0 ⇔ 3x + 2y + 2z - 6 = 0

* $\vec{A'B'}$ = (-6; 4; 0), $\vec{A'C}$ = (-6; 0; 4). Vectơ pháp tuyến của mp(A'B'C):

[$\vec{A'B'}$, $\vec{A'C}$] = (16; 24; 24), cùng phương với $\vec{q}$ = (2; 3; 3)

Phương trình của mp(A'B'C):

2.(x - 0) + 3.(y - 0) + 3.(z - 4) = 0 ⇔ 2x + 3y + 3z - 12 = 0

Gọi T là giao tuyến của (ABC') và (A'B'C) thì T có vectơ chỉ phương là:

$\vec{a}$ = [$\vec{p}$, $\vec{q}$] = (0; -5; 5), cùng phương với $\vec{b}$ = (0; 1; -1)

Các điểm thuộc T có tọa độ nghiệm đúng hệ phương trình:

$\left\{\begin{matrix} 3x+2y+2z-6=0\\ 2x+3y+3z-12=0 \end{matrix}\right.$ ⇒ I(-$\large \frac{6}{5}$; $\large \frac{24}{5}$; 0) $\in$ T

Ta có $\vec{OI}$ = (-$\large \frac{6}{5}$; $\large \frac{24}{5}$; 0) ⇒ [$\vec{OI}$, $\vec{b}$] = ($\large \frac{24}{5}$; -$\large \frac{6}{5}$; -$\large \frac{6}{5}$)

Suy ra $\mid$[$\vec{OI}$, $\vec{b}$]$\mid$ = $\large \frac{18\sqrt{2}}{5}$, $\vec{b}$ = $\sqrt{2}$

Vậy khoảng cách từ gốc tọa độ O đến T là

d(O, T) = $\LARGE \frac{\frac{18\sqrt{2}}{5}}{\sqrt{2}}$ = $\large \frac{18}{5}$