§1. HỆ TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN

B/ CÂU HỎI VÀ BÀI TẬP

Bài 1. Trong hệ tọa độ (O; $\vec{i}$, $\vec{j}$, $\vec{k}$) cho các vectơ:

$\vec{u}$ = $\vec{i}$ - 2$\vec{j}$; $\vec{v}$ = 3$\vec{i}$ + 5($\vec{j}$ - $\vec{k}$); $\vec{w}$ = 2$\vec{i}$ - $\vec{k}$ + 3$\vec{j}$

a) Tìm tọa độ của các vectơ đó.

b) Tìm cô sin của các góc ($\vec{v}$,$\vec{i}$), ($\vec{v}$,$\vec{j}$), ($\vec{v}$, $\vec{k}$).

c) Tính các tích vô hướng $\vec{u}$.$\vec{v}$, $\vec{u}$.$\vec{w}$, $\vec{v}$.$\vec{w}$

Giải

a) Ta có $\vec{u}$ = (1; -2; 0), $\vec{v}$ = (3; 5; -5), $\vec{w}$ = (2; 3; -1)

b) cos($\vec{v}$,$\vec{i}$) = $\large \frac{3}{\sqrt{59}}$, cos($\vec{v}$,$\vec{j}$) = $\large \frac{5}{\sqrt{59}}$ , cos($\vec{v}$, $\vec{k}$) = $\large \frac{-5}{\sqrt{59}}$

c) $\vec{u}$.$\vec{v}$= -7, $\vec{u}$.$\vec{w}$ = -4, $\vec{v}$.$\vec{w}$ = 26

Bài 2. Trong hệ tọa độ (O; $\vec{i}$, $\vec{j}$, $\vec{k}$) cho vectơ $\vec{u}$ tùy ý khác $\vec{0}$. Chứng minh rằng:

$cos^{2}$($\vec{u}$, $\vec{i}$) + $cos^{2}$($\vec{u}$,$\vec{j}$) + $cos^{2}$($\vec{u}$,$\vec{k}$) = 1

Giải

Gọi $\vec{u}$ = (x; y; z). Ta có:

cos($\vec{u}$, $\vec{i}$) = $\large \frac{x}{\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}}$

cos($\vec{u}$,$\vec{j}$) = $\large \frac{y}{\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}}$

cos($\vec{u}$,$\vec{k}$) = $\large \frac{z}{\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}}$

Do đó: $cos^{2}$($\vec{u}$, $\vec{i}$) + $cos^{2}$($\vec{u}$,$\vec{j}$) + $cos^{2}$($\vec{u}$,$\vec{k}$) = 1

Bài 3. Tìm góc giữa hai vectơ $\vec{u}$ và $\vec{v}$ trong mỗi trường hợp sau:

a) $\vec{u}$ = (1; 1; 1); $\vec{v}$ = (2; 1; -1)

b) $\vec{u}$ = 3$\vec{i}$ + 4$\vec{j}$; $\vec{v}$ = -2$\vec{j}$ + 3$\vec{k}$

Giải

a) cos($\vec{u}$, $\vec{v}$) = $\large \frac{1.2+1.1+1.(-1)}{\sqrt{3}.\sqrt{6}}$ = $\large \frac{2}{3\sqrt{2}}$ = $\large \frac{\sqrt{2}}{3}$

b) Ta có $\vec{u}$ = (3; 4; 0), $\vec{v}$ = (0; -2; 3)

cos($\vec{u}$, $\vec{v}$) = $\large \frac{-8}{5.\sqrt{13}}$ = $\large \frac{-8\sqrt{13}}{65}$

Bài 4. Biết $\mid \vec{u\mid }$ = 2, $\mid \vec{v\mid }$ = 5, góc giữa hai vectơ $\vec{u}$ và $\vec{v}$ bằng $\large \frac{2\pi }{3}$. Tìm k để vectơ $\vec{p}$ = k$\vec{u}$ + 17$\vec{v}$ vuông góc với vectơ $\vec{q}$ = 3$\vec{u}$ - $\vec{v}$ .

Giải

Ta có: $\vec{u}$.$\vec{v}$ = $\mid \vec{u\mid }$.$\mid \vec{v\mid }$ cos($\vec{u}$, $\vec{v}$) = 2.5. ($\large \frac{-1}{2}$) = -5

$\vec{p}$.$\vec{q}$ = (k$\vec{u}$ + 17$\vec{v}$).(3$\vec{u}$ - $\vec{v}$) = 3k$\vec{u}^{2}$ - k$\vec{u}$.$\vec{v}$ + 51$\vec{u}$.$\vec{v}$ - 17$\vec{v}^{2}$

$\vec{p}$.$\vec{q}$ = 12k + 5k + 51.(-5) - 17.25 = 17k - 680

Do đó: $\vec{p}$ $\perp$ $\vec{q}$ ⇔ $\vec{p}$.$\vec{q}$ = 0 ⇔ 17k – 680 = 0 ⇔ k = 40

Bài 5. Cho điểm M(a; b; c)

a) Tìm tọa độ hình chiếu (vuông góc) của M trên các mặt phẳng tọa độ và các trục tọa độ.

b) Tìm khoảng cách từ điểm M đến các mặt phẳng tọa độ, đến các trục tọa độ.

c) Tìm tọa độ của các điểm đối xứng với M qua các mặt phẳng tọa độ.

Giải

a) * Tọa độ hình chiếu vuông góc của điểm M(a; b; c) trên các mặt phẳng tọa độ (Oxy), (Oyz), (Ozx) lần lượt là (a; b; 0), (0; b; c), (a; 0; c)

* Tọa độ hình chiếu vuông góc của M(a; b; c) trên các trục Ox, Oy, Oz lần lượt là (a; 0; 0), (0; b; 0), (0; 0; c)

b) * Khoảng cách từ điểm M(a; b; c) đến các mặt phẳng tọa độ (Oxy), (Oyz), (Ozx) lần lượt là $d_{1}$ = $\mid c\mid$, $d_{2}$ = $\mid a\mid$, $d_{3}$ = $\mid b\mid$

* Khoảng cách từ điểm M(a; b; c) đến các trục tọa độ Ox, Oy, Oz lần lượt là:

$d_{1}$ = $\sqrt{b^{2}+c^{2}}$, $d_{2}$ = $\sqrt{a^{2}+c^{2}}$, $d_{3}$ = $\sqrt{a^{2}+b^{2}}$

c) Tọa độ các điểm đối xứng của M(a; b; c) qua các mặt phẳng tọa độ (Oxy), (Oyz), (Ozx) lần lượt là (a; b; −c), (-a; b; c), (a; -b; c)

Bài 6. Cho hai điểm A($x_{1}$; $y_{1}$; $z_{1}$) và B($x_{2}$; $y_{2}$; $z_{2}$). Tìm tọa độ điểm M chia đoạn thẳng AB theo tỉ số k (tức là $\vec{MA}$ = k$\vec{MB}$), trong đó k $\neq$ 1.

Giải

Gọi M($x_{M}$; $y_{M}$; $z_{M}$) ta có:

Công thức (*) xác định tọa độ điểm M chia đoạn thẳng AB theo tỉ số k.

Bài 7. Cho hình bình hành ABCD với A(-3; -2; 0), B(3; -3; 1), C(5; 0; 2). Tìm tọa độ đỉnh D và góc giữa hai vectơ $\vec{AC}$ và $\vec{BD}$.

Giải

Gọi D(x; y; z)

Vì ABCD là hình bình hành nên ta có:

Vậy D(-1; 1; 1)

• $\vec{AC}$ = (8; 2; 2), $\vec{BD}$ = (-4; 4; 0)

cos($\vec{AC}$, $\vec{BD}$) = $\large \frac{8.(-4)+2.4+2.0}{\sqrt{8^{2}+2^{2}+2^{2}}.\sqrt{(-4)^{2}+4^{2}+0^{2}}}$ = $\large \frac{-1}{2}$

Vậy ($\vec{AC}$, $\vec{BD}$) = $\large \frac{2\pi }{3}$

Bài 8.

a) Tìm tọa độ điểm M thuộc Ox sao cho M cách đều hai điểm A(1; 2; 3) và B(-3; -3; 2).

b) Cho ba điểm A(2; 0; 4), B(4; $\large \sqrt{3}$ ; 5) và C(sin5t; cos3t; sin3t). Tìm t để AB vuông góc với OC (O là gốc tọa độ).

Giải

a) Gọi M(x; 0; 0) $\large \in$ Ox. Điểm M cách đều hai điểm A và B khi và chỉ khi:

AM = BM ⇔ $\large AM^{2}$ = $\large BM^{2}$

⇔ $\large (x-1)^{2}$ + $\large (-2)^{2}$ + $\large (-3)^{2}$ = $\large (x+3)^{2}$ + $\large (3)^{2}$ + $\large (-2)^{2}$

⇔ 8x + 8 = 0 ⇔ x = -1

Vậy M(-1; 0; 0) .

b) $\large \vec{AB}$ = (2; $\large \sqrt{3}$; 1), $\large \vec{OC}$ = (sin5t; cos3t; sin3t)

$\large \vec{AB}$.$\large \vec{OC}$ = 2sin5t + $\large \sqrt{3}$cos3t + sin3t

Do đó: AB $\large \perp$ OC ⇔ $\large \vec{AB}$ $\large \perp$ $\large \vec{OC}$ ⇔ $\large \vec{AB}$.$\large \vec{OC}$ = 0

⇔ 2sin5t + $\large \sqrt{3}$cos3t + sin3t = 0

⇔ $\large \sqrt{3}$cos3t + sin3t = -2sin5t

⇔ $\frac{\sqrt{3}}{2}$cos3t + $\frac{1}{2}$sin3t = -sin5t

⇔ sin$\large \frac{\pi }{3}$.cos3t + cos$\large \frac{\pi }{3}$. sin3t = -sin5t

⇔ sin5t = sin(-3t - $\large \frac{\pi }{3}$)

Vậy t = -$\large \frac{\pi }{24}$ + k$\large \frac{\pi }{4}$ hoặc t = $\large \frac{2\pi }{3}$ + k$\pi$ (k $\in$ Z)

Bài 9. Xét sự đồng phẳng của ba vectơ $\vec{u}$, $\vec{v}$ và $\vec{w}$ trong mỗi trường hợp sau:

a) $\vec{u}$ (4; 3; 4), $\vec{v}$ (2; -1; 2), $\vec{w}$ (1; 2; 1)

b) $\vec{u}$(1; -1; 1), $\vec{v}$(0; 1; 2), $\vec{w}$ (4; 2; 3)

c) $\vec{u}$ (4; 2; 5), $\vec{v}$ (3; 1; 3), $\vec{w}$ (2; 0; 1)

Giải

a) [$\vec{u}$, $\vec{v}$] = (10; 0; -10) ⇒ [$\vec{u}$, $\vec{v}$]. $\vec{w}$ = 0

Vậy $\vec{u}$, $\vec{v}$, $\vec{w}$ đồng phẳng.

b) [$\vec{u}$, $\vec{v}$] = (-3; -2; 1) ⇒ [$\vec{u}$, $\vec{v}$]. $\vec{w}$ = -13 $\neq$ 0

Vậy $\vec{u}$, $\vec{v}$, $\vec{w}$ không đồng phẳng.

c) [$\vec{u}$, $\vec{v}$] = (1; 3; -2) ⇒ [$\vec{u}$, $\vec{v}$]. $\vec{w}$ = 0

Vậy $\vec{u}$, $\vec{v}$, $\vec{w}$ đồng phẳng.

Bài 10. Cho ba điểm A(1; 0; 0), B(0; 0; 1), C(2; 1; 1).

a) Chứng minh A, B, C không thẳng hàng.

b) Tính chu vi và diện tích tam giác ABC.

c) Tính độ dài đường cao của tam giác ABC kẻ từ đỉnh A.

d) Tính các góc của tam giác ABC.

Giải

a) $\vec{AB}$ = (-1; 0; 1), $\vec{AC}$ = (1; 1; 1) ⇒ [$\vec{AB}$, $\vec{AC}$] = (-1; 2; 1) $\neq$ $\vec{0}$

Suy ra $\vec{AB}$ và $\vec{AC}$ không cùng phương. Vậy ba điểm A, B, C không thẳng hàng.

b) * AB = $\sqrt{2}$, AC = $\sqrt{3}$, BC = $\sqrt{5}$

Chu vi $\Delta$ABC : 2p = $\sqrt{2}$ + $\sqrt{3}$ + $\sqrt{5}$

* Diện tích $\Delta$ABC: S = $\large \frac{1}{2}$ $\mid$[$\vec{AB}$, $\vec{AC}$]$\mid$ = $\large \frac{\sqrt{6}}{2}$

c) Độ dài đường cao của $\large \Delta$ABC kẻ từ D: $\large h_{a}$ = $\large \frac{2S}{BC}$ = $\large \frac{\sqrt{6}}{\sqrt{5}}$ = $\large \frac{\sqrt{30}}{5}$

d) * $\vec{AB}$.$\vec{AC}$ = 0 ⇒ $\large \widehat{A}$ = 90°.

* $\large \vec{BA}$ = (1; 0; -1), $\large \vec{BC}$ = (2; 1; 0)

⇒ cos$\large \widehat{B}$ = $\large \frac{1.2+0.2+(-1).0}{\sqrt{2}.\sqrt{5}}$ = $\large \frac{\sqrt{10}}{5}$

* $\vec{CA}$ = (-1; -1; -1), $\vec{CB}$ = (-2; -1; 0)

⇒ cos$\widehat{C}$ = $\large \frac{3}{\sqrt{3}.\sqrt{5}}$ = $\large \frac{\sqrt{15}}{5}$

Bài 11. Cho bốn điểm A(1; 0; 0), B(0; 1; 0), C(0; 0; 1) và D(-2; 1; -2).

a) Chứng minh rằng A, B, C, D là bốn đỉnh của một hình tứ diện.

b) Tính góc giữa các đường thẳng chứa các cạnh đối của tứ diện đó.

c) Tính thể tích tứ diện ABCD và độ dài đường cao của tứ diện kẻ từ đỉnh A.

Giải

a) $\vec{AB}$ = (-1, 1; 0), $\vec{AC}$ = (-1; 0; 1), $\vec{AD}$ = (-3, 1; -2)

Ta có: [$\vec{AB}$, $\vec{AC}$] = (1; 1; 1) ⇒ [$\vec{AB}$, $\vec{AC}$]. $\vec{AD}$ = -4 $\neq$ 0

Do đó ba vectơ $\vec{AB}$, $\vec{AC}$, $\vec{AD}$ không đồng phẳng. Vậy A, B, C, D là bốn đỉnh của một tứ diện.

b) * $\vec{AB}$ = (-1; 1; 0), $\vec{CD}$ = (-2; 1; -3). Gọi $\alpha$ là góc tạo bởi AB và CD.

cos$\alpha$ = $\mid$ cos($\vec{AB}$, $\vec{CD}$) $\mid$ = $\large \frac{3}{\sqrt{2}.\sqrt{14}}$ = $\large \frac{3\sqrt{7}}{14}$

* $\vec{AC}$ = (-1; 0; 1), $\vec{BD}$ = (-2; 0; -2)

⇒ $\vec{AC}$.$\vec{CD}$ = 0. Vậy ($\widehat{AC,BD}$) = 90°

* Thể tích khối tứ diện ABCD:

V = $\large \frac{1}{6}$ $\large \mid$[$\vec{AB}$, $\vec{AC}$]. $\vec{AD}$$\large \mid$ = $\large \frac{2}{3}$

* Gọi h là độ dài đường cao của tứ diện ABCD kẻ từ A.

$\vec{BC}$ = (0; -1; 1), $\vec{BD}$ = (-2; 0; 2) ⇒ [$\vec{BC}$, $\vec{BD}$] = (2; -2; -2)

Diện tích $\Delta$BCD: $S_{BCD}$ = $\large \frac{1}{2}$ = $\sqrt{3}$

Suy ra h = $\large \frac{3V}{S_{ABC}}$ = $\large \frac{2}{\sqrt{3}}$ = $\large \frac{2\sqrt{3}}{3}$

Bài 12. Cho hình chóp S.ABC có đường cao SA = h, đáy là tam giác ABC vuông tại C, AC = b, BC = a. Gọi M là trung điểm của AC và N là điểm sao cho $\vec{SN}$ = $\large \frac{1}{3}$$\vec{SB}$

a) Tính độ dài MN.

b) Tìm sự liên hệ giữa a, b, h để MN vuông góc với SB.

Giải

a) Chọn hệ Oxyz sao cho A trùng với gốc tọa độ O, C(b; 0; 0), B(0; a; 0), S(0; 0; h).

Ta có: $\vec{MN}$ = $\vec{ON}$ - $\vec{OM}$.

+ $\vec{ON}$ = $\vec{OS}$ + $\vec{SN}$ = $\vec{OS}$ + $\large \frac{1}{3}$$\vec{SB}$

$\vec{ON}$ = $\vec{OS}$ + $\large \frac{1}{3}$($\vec{SO}$ + $\vec{OC}$ + $\vec{CB}$)

$\vec{ON}$ = $\large \frac{2}{3}$$\vec{OS}$ + $\large \frac{1}{3}$$\vec{OC}$ + $\large \frac{1}{3}$$\vec{CB}$

+ $\vec{OM}$ = $\large \frac{1}{2}$$\vec{OC}$.

Suy ra: $\vec{MN}$ = -$\large \frac{1}{6}$$\vec{OC}$ + $\large \frac{2}{3}$$\vec{OS}$ + $\large \frac{1}{3}$$\vec{OB}$

⇒ $\vec{MN}$ = (-$\large \frac{b}{6}$; $\large \frac{a}{3}$; $\large \frac{2h}{3}$)

Vay

b) Ta có: $\vec{MN}$ = (-$\large \frac{b}{6}$; $\large \frac{a}{3}$; $\large \frac{2h}{3}$), $\vec{SB}$ = (b; a; -h)

Do đó MN $\perp$ SB ⇔ $\vec{MN}$ $\perp$ $\vec{SB}$ ⇔ $\vec{MN}$. $\vec{SB}$ = 0

⇔ -$\large \frac{b^{2}}{6}$ + $\large \frac{a^{2}}{3}$ - $\large \frac{2h^{2}}{3}$ = 0

MN $\perp$ SB ⇔ 2$a^{2}$ - $b^{2}$ - 4$h^{2}$ = 0.

Bài 13. Tìm tọa độ tâm và tính bán kính của mỗi mặt cầu sau đây:

a) $x^{2}$ + $y^{2}$ + $z^{2}$ - 8x + 2y + 1 = 0

b) 3$x^{2}$ + 3$y^{2}$ + 3$z^{2}$+ 6x - 3y + 15z - 2 = 0

c) 9$x^{2}$ + 9$y^{2}$ + 9$z^{2}$ - 6x + 18y + 1 = 0

Giải

a) $x^{2}$ + $y^{2}$ + $z^{2}$ - 8x + 2y + 1 = 0 ⇔ $(x-4)^{2}$ + $(y+1)^{2}$ + $z^{2}$ = 16

Mặt cầu có tâm I(4; -1; 0), bán kính R = 4

b) 3$x^{2}$ + 3$y^{2}$ + 3$z^{2}$+ 6x - 3y + 15z - 2 = 0 (*)

(*) ⇔ $x^{2}$ + $y^{2}$ + $z^{2}$ + 2x – y + 5z - $\large \frac{2}{3}$ = 0

⇔ $(x+1)^{2}$ + $(y-\frac{1}{2})^{2}$ + $(z+\frac{5}{2})^{2}$ = $\frac{49}{6}$

Một câu có tâm I(-1; $\large \frac{1}{2}$; -$\large \frac{5}{2}$), bán kính R = $\large \frac{7\sqrt{6}}{6}$

c) 9$x^{2}$ + 9$y^{2}$ + 9$z^{2}$ - 6x + 18y + 1 = 0 (*)

(*) ⇔ $x^{2}$ + $y^{2}$ + $z^{2}$ - $\large \frac{2}{3}$x + 2y + $\large \frac{1}{9}$ = 0

⇔ $\large (x-\frac{1}{3})^{2}$ + $\large (y+1)^{2}$ + $z^{2}$ = 1

Mặt cầu có tâm I($\large \frac{1}{3}$; - 1; 0), bán kính R = 1.

Bài 14. Trong mỗi trường hợp sau, hãy viết phương trình mặt cầu:

a) Đi qua ba điểm A(0; 8; 0), B(4; 6; 2), C(0; 12; 4) và có tâm nằm trên mp(Oyz).

b) Có bán kính bằng 2, tiếp xúc với mặt phẳng (Oyz) và có tâm nằm trên tia Ox.

c) Có tâm I(1; 2; 3) và tiếp xúc với mp(Oyz).

Giải

a) Gọi I(a; b; c) là tâm của mặt cầu qua A, B, C. Do I $\in$ (Oyz) ⇒ I(0; b; c), (a = 0)

Do đó phương trình của mặt cầu có dạng:

$x^{2}$ + $y^{2}$ + $z^{2}$ + 2by + 2cz + d = 0

Ta có hệ phương trình:

Phương trình của mặt cầu là:

$x^{2}$ + $y^{2}$ + $z^{2}$ - 14y - 10z + 48 = 0

b) Gọi I(a; b; c) là tâm của mặt cầu, I nằm trên tia Ox nên b = 0, c = 0 và a > 0. Vì mặt cầu tiếp xúc với mp(Oyz) nên ta có:

R = $\mid$a$\mid$ = 2 ⇒ a = 2.

Vậy phương trình của mặt cầu là: $(x-2)^{2}$ + $y^{2}$ + $z^{2}$ = 4

c) Mặt cầu có tâm I(1; 2; 3) và tiếp xúc với mp(Oyz) có bán kính R = 1.

Vậy phương trình của mặt cầu là: $(x-1)^{2}$ + $(y-2)^{2}$ + $(z-3)^{2}$ = 1.