ÔN TẬP CHƯƠNG I
II. BÀI TẬP
Bài 1. Cho tứ diện ABCD có thể tích bằng V. Gọi B' và D' lần lượt là trung điểm của AB và AD. Mặt phẳng (CB'D) chia khối tứ diện thành hai phần. Tính thể tích mỗi phần đó.
Giải
Gọi $V_{1}$ là thể tích của phần chứa điểm A và $V_{2}$ là thể tích của phần còn lại.
Ta có:
.png)
Ta được $V_{1}$ = $\large \frac{V}{4}$. Suy ra $V_{2}$ = $\large \frac{3V}{4}$
.png)
Bài 2. Cho khối hộp ABCD.A'B'C'D. Chứng minh rằng sáu trung điểm của sáu cạnh AB, BC, CC', C'D', D'A' và A'A nằm trên một mặt phẳng và mặt phẳng đó chia khối hộp thành hai phần có thể tích bằng nhau.
Giải
Gọi I, J, K, M, N, P lần lượt là trung điểm của AB, AA', A'D', C'D', CC', BC.
Ta thấy IM là đường trung bình của mặt chéo ABC'D' nên IM đi qua tâm O của hình hộp và O là trung điểm của IM.
Tương tự O cũng là trung điểm của JN và PK. Hiển nhiên IJ // MN.
Ta có: PK // CD', mà CD' // MN nên PK // MN.
Suy ra PK $\subset$ mp(IJ, MN). Do đó các điểm I, J, K, M, N, P cùng nằm trên một mặt phẳng ($\alpha$) đi qua tâm O của hình hộp.
Vì O là tâm đối xứng của hình hộp nên (P) chia hình hộp thành hai phần có thể tích bằng nhau.
.png)
Bài 3. Cho khối tứ diện ABCD, E và F lần lượt là trung điểm của hai cạnh AB và CD. Hai mặt phẳng (ABF) và (CDE) chia khối tứ diện ABCD thành bốn khối tứ diện.
a) Kể tên bốn khối tứ diện đó.
b) Chứng tỏ rằng bốn khối tứ diên đó có thể tích bằng nhau.
c) Chứng tỏ rằng nếu ABCD là khối tứ diện đều thì bốn khối tứ diện nói trên bằng nhau.
Giải
a) Hai mặt phẳng (ABF) và (CDE) cắt nhau theo giao tuyến EF và hai mặt phẳng chia khối tứ diện ABCD thành bốn khối tứ diện là: EBCF, EBDF, EACF, EADF.
b) Vì F là trung điểm của CD nên hai tam giác BCF và BDF có diện tích bằng nhau. Do đó hai khối tứ diện EBCF, EBDF (tức là hai khối chóp tam giác E.BCF, E.BDF) có thể tích bằng nhau, vì có diện tích đáy bằng nhau và có cùng chiều cao là khoảng cách từ E đến mp(BCD).
Tương tự, hai khối tứ diện EACF, EADF có thể tích bằng nhau. Mặt khác ta xét hai khối tứ diện EBCF và EACF (coi là hai khối chóp tam giác B.CEF và A.CEF). Đoạn thẳng AB có trung điểm E $\in$ (CEF) nên dễ dàng chứng minh được khoảng cách từ B và A đến (CEF) bằng nhau. Do đó hai khối tứ diện EBCF và EACF có thể tích bằng nhau, vì có cùng mặt đáy và chiều cao bằng nhau.
Tóm lại bốn khối tứ diện EBCF, EBDF, EACF, EADF có thể tích bằng nhau.
c) Nếu ABCD là khối tứ diện đều thì ta dễ dàng chứng minh được bốn khối tứ diện EBCF, EBDF, EACF, EADF có các cạnh tương ứng bằng nhau, nên chúng bằng nhau.
.png)
Bài 4. Cho khối lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có diện tích đáy bằng S và AA' = h. Một mặt phẳng (P) cắt các cạnh AA', BB', CC' lần lượt tại $A_{1}$, $B_{1}$ và $C_{1}$. Biết A$A_{1}$ = a, B$B_{1}$ = b, C$C_{1}$ = c.
a) Tính thể tích hai phần của khối lăng trụ được phân chia bởi mặt phẳng (P).
b) Với điều kiện nào của a, b, c thì thể tích hai phần đó bằng nhau?
Giải
.png)
a) Gọi V là thể tích của khối lăng trụ ABC.A'B'C', $V_{1}$ là thể tích của phần chứa điểm A và $V_{2}$ là thể tích của phần còn lại.
Ta có:
.png)
• Hai tứ giác BC$C_{1}$$B_{1}$ và BCC'B' là hai hình thang có cùng chiều cao nên: .png)
Suy ra .png)
Để ý rằng AA' // (BCC'B') nên với $A_{1}$ $\in$ AA'
ta có .png)
Như vậy .png)
Thế (1) và (2) vào (*) ta được .png)
Suy ra .png)
b) .png)
Vậy nếu a + b + c = $\large \frac{3h}{2}$ thì hai phần đó có thể tích bằng nhau.
Bài 5. Cho khối lăng trụ đều ABC.A'B'C' và M là trung điểm của cạnh AB. Mặt phẳng (B'C'M) chia khối lăng trụ thành hai phần. Tính tỉ số thể tích hai phần đó.
Giải
.png)
Gọi N là giao điểm của mặt phẳng (B'C'M) và AC (MN // B'C'). Tứ giác B'C'NM là thiết diện của khối lăng trụ cắt bởi mặt phẳng (B'C'M).
Gọi I là giao điểm của hai đường thẳng AA' và MB' (hiển nhiên ba điểm C', N, I thẳng hàng).
Lại gọi $V_{1}$ là thể tích của phần chứa điểm A', $V_{2}$ là thể tích của phần còn lại và V là thể tích khối lăng trụ đã cho.
Trong mặt phẳng ABB'A':
AM // A'B' ⇒ $\large \frac{IA}{IA'}$ = $\large \frac{AM}{A'B'}$ = $\large \frac{1}{2}$
Suy ra IA = h với h = AA' là chiều cao của khối lăng trụ
Ta có:
.png)
Do đó .png)
Suy ra $V_{2}$ = V – $V_{1}$ = $\large \frac{5}{12}$V.
Vậy tỉ số thể tích của hai phần là: $\large \frac{V_{1}}{V_{2}}$ = $\large \frac{7}{5}$
Bài 6. Cho khối chóp S.ABC có đường cao SA = a, đáy là tam giác vuông cân có AB = BC = a. Gọi B' là trung điểm của SB, C' là chân đường cao hạ từ A của tam giác SAC.
a) Tính thể tích khối chóp S.ABC.
b) Chứng minh rằng SC vuông góc với mp(AB'C').
c) Tính thể tích khối chóp S.AB'C'.
Giải
.png)
a) Gọi V là thể tích của khối chóp S.ABC. Ta có:
.png)
b) Từ giả thiết suy ra:
BC $\perp$ AB và BC $\perp$ SA, do đó BC $\perp$ (SAB)
Mà AB' $\subset$ (SAB) nên BC $\perp$ AB' (1)
Tam giác SAB vuông cân tại A, B' là trung điểm của SB nên AB' $\perp$ SB (2)
Từ (1) và (2) ta được AB' $\perp$ (SBC), suy ra AB' $\perp$ SC (3)
Do C' là chân đường cao của $\Delta$SAC hạ từ A nên SC $\perp$ AC' (4)
Từ (3) và (4) ta kết luận SC $\perp$ (AB'C')
c) Từ tam giác SAC vuông tại A với đường cao AC':
SC'.SC = $SA^{2}$ ⇒ .png)
Suy ra .png)
Do đó .png)
Vậy .png)