§3. PHÉP VỊ TỰ VÀ SỰ ĐỒNG DẠNG CỦA CÁC KHỐI ĐA DIỆN, CÁC KHỐI ĐA DIỆN ĐỀU
B. CÂU HỎI VÀ BÀI TẬP
Bài 11. Chứng minh rằng phép vị tự biến mỗi đường thẳng a thành một đường thẳng a' song song hoặc trùng với a, biến mỗi mặt phẳng ($\alpha$) thành một mặt phẳng ($\alpha$') song song hoặc trùng với ($\alpha$).
Giải
Trong không gian, ta xét phép vị tự V tâm O tỉ số k (k $\neq$ 0)
(i) Trên đường thẳng a lấy hai điểm phân biệt A và B và gọi A' = V(A), B' = V(B)
Ta được: $\vec{OA'}$ = k$\vec{OA}$, $\vec{OB'}$ = k$\vec{OB}$
Do đó: $\vec{A'B'}$ = $\vec{OB'}$ – $\vec{OA'}$ = k$\vec{OB}$ - k$\vec{OA}$ = k($\vec{OB}$ - $\vec{OA}$) = k$\vec{AB}$
Suy ra hai vectơ $\vec{AB}$ và $\vec{A'B'}$ cùng phương.
Nếu gọi a' là đường thẳng qua hai điểm A', B' thì a' là đường thẳng cố định và a' song song hoặc trùng với a.
Trên a lấy điểm M bất kì, gọi M' = V(M), tức là $\vec{OM'}$ = k$\vec{OM}$
Ta có:
.png)
Vậy ảnh của a là đường thẳng a' song song hoặc trùng với a. Đường thẳng a' trùng với a khi a đi qua O và song song với a khi a không đi qua O.
(ii) Trên mặt phẳng ($\alpha$) ta lấy ba điểm A, B, C không thẳng hàng
Gọi A' = V(A), B' = V(B), C' = V(C)
Ta được: .png)
Suy ra:
.png)
Suy ra $\vec{AB}$ và $\vec{A'B'}$ cùng phương, $\vec{AC}$ và $\vec{A'C'}$ cùng phương.
Do đó, nếu gọi ($\alpha$') là mặt phẳng qua ba điểm A', B', C' thì ($\alpha$') là mặt phẳng cố định và ($\alpha$') song song hoặc trùng với ($\alpha$).
Trên ($\alpha$) lấy điểm M bất kì, gọi M' = V(M), tức là $\vec{OM'}$ = k$\vec{OM}$
Ta có: $\forall$ M, M $\in$ ($\alpha$) ⇔ ($\vec{AM}$ , $\vec{AB}$, $\vec{AC}$ đồng phẳng)
.png)
Vậy ảnh của mặt phẳng ($\alpha$) là mặt phẳng ($\alpha$') song song hoặc trùng với ($\alpha$). Mặt phẳng ($\alpha$') trùng với ($\alpha$) khi ($\alpha$) đi qua O và song song với ($\alpha$) khi ($\alpha$) không đi qua O.
Bài 12. Cho một khối tứ diện đều, hãy chứng minh rằng:
a) Các trọng tâm của các mặt của nó là các đỉnh của một khối tứ diện đều.
b) Các trung điểm của các cạnh của nó là các đỉnh của một khối tám mặt đều.
Giải
a) Xét khối tứ diện đều ABCD
Gọi A', B', C', D' lần lượt là trọng tâm của các tam giác BCD, ACD, ABD, ABC và G là trọng tâm của khối tứ diện ABCD.
Ta có .png)
Vì A' là trọng tâm của $\Delta$BCD nên .png)
Do đó: .png)
.
Hay .png)
Tương tự: .png)
Như thế A', B', C', D' lần lượt là ảnh của A, B, C, D qua phép vị tự tâm G tỉ số .png)
.
Vậy khối tứ diện A'B'C'D' là ảnh của khối tứ diện ABCD qua phép vị tự tâm G tỉ số .
Nếu gọi a là cạnh của khối tứ diện đều ABCD thì A'B'C'D là khối tứ diện đều cạnh .png)
.
b) Gọi I, J, M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, AC, CD, BD, AD, BC. Ta được một khối đa diện có 8 mặt, mỗi mặt là tam giác là IJMNPQ.
Ta dễ dàng tính được tất cả các cạnh của IJMNPQ đều bằng .png)
Vậy IJMNPQ là một khối tám mặt đều. (đpcm)
.png)
Bài 13. Hai đỉnh của một khối tám mặt đều được gọi là hai đỉnh đối diện nếu chúng không cùng thuộc một cạnh của khối đó. Đoạn thẳng nối hai đỉnh đối diện gọi là đường chéo của khối tám mặt đều. Chứng minh rằng trong khối tám mặt đều:
a) Ba đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường.
b) Ba đường chéo đôi một vuông góc với nhau.
c) Ba đường chéo bằng nhau.
Giải
Ta xét khối tám mặt đều ABCDEG cạnh a với các đường chéo là AC, BD, EG
a) Từ giả thiết ta có AE = AG, BE = BG, CE = CG, DE = DG.
Do đó bốn điểm A, B, C, D cùng nằm trên mặt trung trực của đường chéo EF. Kết hợp với AB = BC = CD = DA = a ta suy ra ABCD là hình thoi.
Gọi O là giao điểm của AC và BD thì O là trung điểm của AC và BD.
Chứng minh tương tự AECG và BEDG cũng là hai hình thoi.
Suy ra O cũng là trung điểm của EG.
Vậy ba đường chéo AC, BD, EG cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.
b) Hai đường chéo của một hình thoi thì vuông góc với nhau nên ta dễ dàng suy ra được ba đường chéo AC, BD, EG vuông góc với nhau từng đôi một.
c) Ta có: EO $\perp$ AC và EO $\perp$ BD. Suy ra EO $\perp$ (ABCD)
Kết hợp với EA = EB = EC = ED = a ta suy ra OA = OB = OC = OD
Do đó ABCD là hình vuông.
Chứng minh tương tự AECG và BEDG là các hình vuông.
Vậy các đường chéo AC, BD, EG bằng nhau.
.png)
Bài 14. Chứng minh rằng:
a) Tâm các mặt của một khối lập phương là các đỉnh của một khối tám mặt đều.
b) Tâm các mặt của một khối tám mặt đều là các đỉnh của một khối lập phương.
Giải
a) Ta xét khối lập phương ABCD.A'B'C'D' cạnh a. Gọi tâm các mặt của nó là M, N, P, Q, I, J như hình vẽ. Ta được một khối tám mặt với mỗi mặt là tam giác là MNPQIJ.
Ta có MN là đường trung bình của tam giác BA'C' nên .png)
Tính tương tự, độ dài các cạnh khác của khối đa diện này cũng bằng .png)
.
Suy ra khối MNPQIJ là khối tám mặt đều.
.png)
b) Xét khối tám mặt đều ABCDEG. Gọi I, J, K, L lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC, CD, DA và M, N, P, Q, U, V, F, H là tâm (trọng tâm) các mặt của nó (như hình vẽ). Ta được khối sáu mặt MNPQ.UVFH.
Ta có: .png)
Như thế phép vị tự tâm E tỉ số .png)
biến tứ giác IJKL thành tứ giác MNPQ. Ta dễ dàng chứng minh được IJKL là một hình vuông cạnh .png)
, do đó MNPQ là hình vuông cạnh .png)
.
Chứng minh tương tự, các mặt khác của khối đa diện MNPQ.UVFH cũng là hình vuông cạnh .png)
Vậy khối đa diện MNPQ.UVFH là một khối lập phương.
.png)