§2. KHÁI NIỆM VỀ MẶT TRÒN XOAY
§3. MẶT TRỤ, HÌNH TRỤ VÀ KHỐI TRỤ
B/ CÂU HỎI VÀ BÀI TẬP
Bài 11. Chứng minh rằng hình tròn xoay có vô số mặt phẳng đối xứng.
Giải
.png)
Ta xét hình tròn xoay H trục $\Delta$. Gọi (P) là một mặt phẳng bất kì qua $\Delta$. Trên H lấy điểm M bất kì. Qua M dựng mặt phẳng (Q) vuông góc với $\Delta$ tại điểm O, mặt phẳng (Q) cắt H theo đường tròn ($C_{M}$) tâm O và cắt (P) theo giao tuyến d. (O $\in$ d)
Trong (Q) gọi M' là điểm đối xứng của M qua d thì M' $\in$ ($C_{M}$), nên M' $\in$ H.
Ta dễ dàng chứng minh được (P) là mặt trung trực của đoạn thẳng MM'. Như vậy phép đối xứng Đp qua mặt phẳng (P) biến M thành M', tức là Đp(M) = M'.
Suy ra Đp(H) = H. Do vậy (P) là mặt đối xứng của mặt tròn xoay H.
Vì (P) là mặt phẳng bất kì qua $\Delta$ nên H có vô số mặt đối xứng.
Bài 12. Trong mỗi trường hợp sau, gọi tên các hình tròn xoay:
a) Sinh bởi ba cạnh của hình chữ nhật khi quay quanh đường thẳng chứa cạnh thứ tư.
b) Sinh bởi một hình chữ nhật (kể cả điểm trong) khi quay quanh đường thẳng chứa một cạnh.
Giải
a) Hình trụ tròn xoay, trục đối xứng là đường thẳng chứa cạnh thứ tư.
b) Khối trụ tròn xoay.
Bài 13. Cho đường tròn (O; R) nằm trong mặt phẳng (P). Tìm tập hợp các điểm M trong không gian sao cho hình chiếu của chúng trên (P) luôn nằm trên đường tròn đã cho.
Giải
.png)
Gọi M' là hình chiếu vuông góc của M trên (P), theo giả thiết M' $\in$ (O; R). Rõ ràng MM' // $\Delta$. Suy ra d(M, $\Delta$) = d(M', $\Delta$) = R (không đổi). Vậy tập hợp các điểm M là mặt trụ trục $\Delta$ bán kính R.
Bài 14. Chứng minh rằng các tiếp tuyến của mặt cầu song song với một đường thẳng cố định luôn nằm trên một mặt trụ xác định.
Giải
.png)
Ta xét mặt cầu (S) tâm O bán kính R và d là một đường thẳng cố định cho trước.
Qua điểm O dựng đường thẳng $\Delta$ song song với d, thì $\Delta$ là một đường thẳng cố định. Gọi a là một tiếp tuyến nào đó của (S) song song với d, tiếp điểm với (S) là điểm M. Dễ thấy a // $\Delta$ và d(a, $\Delta$) = d(M, $\Delta$) = R (không đổi). Vậy đường thẳng a luôn nằm trên mặt trụ trục $\Delta$ bán kính R.
Bài 15. Một mặt phẳng đi qua trục của hình trụ, cắt hình trụ theo thiết diện là hình vuông cạnh 2R.
a) Tính diện tích xung quanh và diện tích toàn phần của hình trụ.
b) Tính thể tích của khối trụ.
c) Tính thể tích khối lăng trụ tứ giác đều nội tiếp hình trụ.
Giải
.png)
a) Gọi MNPQ là thiết diện qua trục của hình trụ, theo giả thiết MNPQ là hình trụ vuông cạnh 2R.
Suy ra hình trụ có bán kính đáy R và chiều cao h = 2R.
Diện tích xung quanh của hình trụ: $S_{xq}$ = 2$\pi$R.2R = 4$\pi$$R^{2}$
Diện tích toàn phần của hình trụ:
$S_{TP}$ = 2$\pi$R(h + R) = 2$\pi$R(2R + R)
$S_{TP}$ = 6$\pi$$R^{2}$
b) Thể tích khối trụ: V = $\pi$$R^{2}$.2R = 2$\pi$$R^{3}$
c) Dựng ABCD.A'B'C'D' là khối lăng trụ tứ giác đều nội tiếp trong hình trụ, cạnh đáy của khối lăng trụ này là a = R$\sqrt{2}$
Thể tích khối lăng trụ: $V_{LT}$ = $(R\sqrt{2})^{2}$.2R = 4$R^{3}$.
Bài 16. Một hình trụ có bán kính R và chiều cao R$\sqrt{3}$
a) Tính diện tích xung quanh và diện tích toàn phần của hình trụ.
b) Tính thể tích của khối trụ giới hạn bởi hình trụ.
c) Cho hai điểm A và B lần lượt nằm trên hai đường tròn đáy sao cho góc giữa AB và trục của hình trụ bằng 30°. Tính khoảng cách giữa AB và trục của hình trụ.
Giải
a) * Diện tích xung quanh của hình trụ:
$S_{xq}$ = 2$\pi$R.R$\sqrt{3}$ = 2$\sqrt{3}$ = 2$\sqrt{3}$$\pi$$R^{2}$
* Diện tích toàn phần của hình trụ:
$S_{TP}$ = 2$\pi$R(R + R$\sqrt{3}$) = 2$\pi$(1 + $\sqrt{3}$)$R^{2}$
b) Thể tích của khối trụ giới hạn bởi hình trụ:
V = $\pi$$R^{2}$.R$\sqrt{3}$ = $\sqrt{3}$$\pi$$R^{3}$
c) Gọi hai đường tròn đáy là (O), (O') và A $\in$ (O), B $\in$ (O'). Kẻ hai đường sinh AD, BC ta được tứ giác ACBD là một hình chữ nhật và mặt phẳng (ACBD) // OO'. Do đó, khoảng cách giữa OO' và AB bằng khoảng cách từ O đến mặt phẳng (ACBD).
Từ giả thiết suy ra $\widehat{ABC}$ = 30°
Tam giác ACB vuông tại C nên ta có:
AC = BCtan30° = R$\sqrt{3}$.$\large \frac{\sqrt{3}}{3}$ = R
Gọi I là trung điểm của AC, ta có:
.png)
Vậy khoảng cách giữa đường thẳng AB và trục OO' của hình trụ là: OI = $\large \frac{R\sqrt{3}}{2}$
.png)