Bài tập tổng hợp cuối chương 2

BÀI TẬP TỔNG HỢP CUỐI CHƯƠNG 2

2.38. Một người bắn liên tiếp vào một mục tiêu cho đến khi có một phát đạn trúng mục tiêu thì ngưng bắn (các phát súng độc lập nhau). Biết rằng xác suất trúng mục tiêu của mỗi lần bắn là như nhau và bằng 0,6. Tính xác suất sao cho bắn đến phát thứ 4 thì ngưng bắn

2.39. Từ một chiếc hộp có 3 viên bi màu trắng và 7 viên bi màu đỏ, ta lấy ngẫu nhiên cùng một lúc hai viên. Tính xác suất để được 2 viên bi cùng màu.

2.40. Tính tổng của tất cả các số tự nhiên gồm 5 chữ số khác nhau đôi một được thành lập từ 6 chữ số 1, 3, 4, 5, 7, 8.

2.41. Trên mặt phẳng cho một thập giác lồi (hình mười cạnh lồi) $A_{1}$, $A_{2}$...$A_{10}$. Xét tất cả các tam giác mà ba đỉnh của nó là đỉnh của thập giác. Hỏi trong số các tam giác đó, có bao nhiêu tam giác mà cả ba cạnh của nó đều không phải là cạnh của thập giác?

2.42. a) Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 6 chữ số đôi một khác nhau (chữ số đầu tiên phải khác 0) trong đó có mặt chữ số 0 nhưng không có mặt chữ số 1?

b) Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 7 chữ số, biết rằng chữ số 2 có mặt đúng hai lần, chữ số 3 có mặt đúng ba lần và các chữ số còn lại có mặt không quá một lần?

2.43. Cho 8 chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7. Hỏi có thể lập được bao nhiêu số gồm 6 chữ số khác nhau từ các chữ số trên, trong đó nhất thiết phải có mặt chữ số 4.

2.44. Một kho hạt giống chia thành 3 loại : Loại I chiếm 70% kho, loại II chiếm 20% kho, loại III chiếm 10%. Biết rằng tỉ lệ nảy mầm của loại I là 90%, tỉ lệ nảy mầm của loại II là 70% và loại III là 50%. Hỏi tỉ lệ nảy mầm chung của kho hạt giống là bao nhiêu ?

Hướng dẫn : Dùng công thức xác suất toàn phần (ở phần kiến thức mở rộng).

2.45. Chứng minh rằng :

HƯỚNG DẪN GIẢI

2.38. Gọi $A_{i}$ là biến cố “người thứ i bắn trúng mục tiêu”, i = 1, 2, 3, 4. A. là biến cố “bắn đến phát thứ tư thì ngưng”. Ta có :

Suy ra P(A) = (1 - 0,6).(1 – 0,6).(1 – 0,6).0,6 = 0,0384.

2.39. Gọi A là biến cố “hai viên bi lấy ra cùng màu”, $A_{1}$ là biến cố “hai viên bi lấy ra có màu trắng”, $A_{2}$ là biến cố “hai viên bi lấy ra màu đỏ”. Khi đó A = $A_{1}\cup A_{2}$. Vì $A_{1}$, $A_{2}$ là hai biến cố xung khắc nên theo (1.1) ta suy ra :

P(A) = P($A_{1}$) + P($A_{2}$).

2.40. Số các chữ số tạo ra được là

Để tìm tổng của tất cả các số ta cộng từng cột, chẳng hạn khi cộng cột ở hàng đơn vị thì các chữ số 1, 3, 4, 5, 7, 8 có mặt $A_{5}^{4}$ lần nên tổng của cột ở hàng đơn vị là $A_{5}^{4}$(1 + 3 + 4 + 5 + 7 + 8) = 28$A_{5}^{4}$.

Tương tự, tổng của các cột khác cũng là 28$A_{5}^{4}$

Vậy giá trị của tổng cần tìm là:

S = 28$A_{5}^{4}$(1 + 10 + $10^{2}$ + $10^{3}$ + $10^{4}$) = 37332960.

2.41. Số tam giác có 3 đỉnh là đỉnh của thập giác là:

Trong số $S_{1}$ các tam giác nói trên, số tam giác có cạnh là cạnh của thập giác là:

$S_{2}$ = 10.8 - 10 = 70.

Vậy số tam giác thoả đề bài là:

S = $S_{1}$ - $S_{2}$ = 50.

2.42. a) Đưa chữ số 0 vào 5 vị trí cuối : có 5 cách. Đưa năm chữ số trong tám chữ số (trừ chữ số 0 và 1): có $A_{8}^{5}$ cách.

Vậy tổng cộng có 5$A_{8}^{5}$ = 33600 số.

b) Đưa hai chữ số 2 vào bảy vị trí: có $C_{7}^{2}$ cách

Đưa ba chữ số 3 vào năm vị trí còn lại: có $C_{5}^{3}$ cách.

Đưa hai chữ số trong tám chữ số (trừ chữ số 2 và 3) vào hai vị trí còn lại: có $A_{8}^{2}$ cách.

Theo quy tắc nhân ta được $C_{7}^{2}$.$C_{5}^{3}$.$A_{8}^{2}$ số.

Ta còn phải loại trừ những số có chữ số 0 đứng đầu, trường hợp này có $C_{6}^{2}$.$C_{4}^{3}$.7 số.

Vậy số các số thỏa yêu cầu là : $C_{7}^{2}$.$C_{5}^{3}$.$A_{8}^{2}$ - $C_{6}^{2}$.$C_{4}^{3}$.7 = 11340 số.

2.43. Cách 1. Số có 6 chữ số lấy từ 8 chữ số đã cho là chỉnh hợp chập 8 của 6 phần tử (kể cả các số có chữ số 0 đứng vị trí đầu tiên) là $A_{8}^{6}$. Với chữ số 0 đứng đầu, ta có $A_{7}^{5}$ số. Vậy có $A_{8}^{6}$ – $A_{7}^{5}$ số có 6 chữ số khác nhau lấy từ 8 chữ số đã cho.

Tương tự, có $A_{7}^{6}$ - $A_{6}^{5}$ số có 6 chữ số khác nhau lấy từ 8 chữ số đã cho và không có chữ số 4.

Vậy tổng cộng các số thỏa yêu cầu là:

Cách 2. Số cần lập có dạng : $\overline{a_{1}a_{2}a_{3}a_{4}a_{5}a_{6}}$

$a_{1}$ = 4, có $A_{7}^{5}$ cách chọn số $\overline{a_{2}a_{3}a_{4}a_{5}a_{6}}$

$a_{1}$ $\neq$ 4, có 6 cách chọn $a_{1}$.

Số 4 có 5 vị trí, còn lại 4 vị trí có $A_{6}^{4}$ cách chọn. Vậy trường hợp này có 6.5$A_{6}^{4}$ cách chọn.

Tổng cộng các số thỏa yêu cầu là : $A_{7}^{5}$ + 6.5.$A_{6}^{4}$ = 13320 số.

2.44. Lấy ngẫu nhiên ra một hạt giống từ kho hạt giống trên, gọi $A_{1}$ là biến cố “hạt giống lấy ra thuộc loại i", i = 1,2,3, B là biến cố “hạt giống lấy ra là hạt nảy mầm”. Khi đó $A_{1}$, $A_{2}$, $A_{3}$ lập thành nhóm biến cố đầy đủ.

Ngoài ra ta có

P($A_{1}$) = 0,7; P($A_{2}$) = 0,2 ; P($A_{3}$) = 0,1 ;

P(B | $A_{1}$) = 0,9; P(B | $A_{2}$) = 0,7; P(B | $A_{3}$) = 0,5.

Theo công thức xác suất toàn phần, ta có :

P(B) = 0,7.0,9 + 0,2.0,7 + 0,1.0,5 = 0,82.

Vậy tỉ lệ nảy mầm chung của kho hạt giống là 0,82.

2.45. Ta có :