Một số phương trình lượng giác đơn giản đưa được về phương trình lượng giác cơ bản

§4. MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC ĐƠN GIẢN ĐƯA ĐƯỢC VỀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN

Nhiều dạng phương trình có thể đưa được về phương trình lượng giác cơ bản (3.1 - 3.4). Chẳng hạn, các phương trình bậc nhất đối với một hàm số lượng giác (ví dụ 17, 18).

4.1. Phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác

Khi gặp phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác, ta thường thay biến để đưa về phương trình đại số bậc hai. (Khi đặt t bằng sinx hoặc cosx, nhớ là phải có điều kiện $\mid t\mid \leq 1$).

Ví dụ 20.

Giải phương trình 2$sin^{2}$x – 5sinx - 3 = 0.

Giải.

Đặt u = sinx, -1 $\leq$ u $\leq$ 1, ta có phương trình bậc hai theo u:

2$u^{2}$ - 5u - 3 = 0.

Ta có $\Delta$ = 25 + 24 = 9. Suy ra (loại nghiệm này). Từ đó sin x = -$\large \frac{1}{2}$, hay

Ví dụ 21. Giải phương trình 2cos2x + 2cosx - $\sqrt{2}$ = 0.

Giải.

Ta có

2cos2x + 2cosx – $\sqrt{2}$ ⇔ 4$cos^{2}$x + 2cosx – (2 + $\sqrt{2}$) = 0.

Từ đó, ta có :

Nhưng do 1 + $\sqrt{2}$ > 2 nên phương trình thứ hai vô nghiệm.

Phương trình thứ nhất cho ta nghiệm

Ví dụ 22.

Giải phương trình: tanx + cotx = 2.

Giải.

Cách 1. Phương trình tanx + cotx = 2 có điều kiện xác định là x $\neq$ k$\large \frac{\pi }{2}$. Khi đó, nó tương đương với

Từ đó, nghiệm của phương trình là x = $\large \frac{\pi }{4}$ + k$\pi$.

Cách 2. Phương trình tanx + cotx = 2 có điều kiện xác định là x $\neq$ k$\large \frac{\pi }{2}$. Khi đó, nó tương đương với

và đi đến kết quả như trên.

Cách 3. Khi tanx < 0 thì cotx < 0, do vậy, phương trình

tanx + cotx = 2

chỉ có nghiệm khi tanx > 0 và cotx > 0 (do điều kiện xác định, chúng không thể bằng 0). Do đó, theo bất đẳng thức TBC-TBN ta có

tanx + cotx $\geq$ 2$\sqrt{tanx.cotx}$ = 2,

dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi tanx = cotx = 1. Như vậy, phương trình tanx + cotx = 2 tương đương với tanx = cotx = 1, và cũng đi đến kết quả trên.

Ví dụ 23.

Cho phương trình cos2x - (2m + 1)cosx + m + 1 = 0.

Tìm mọi giá trị thực của m để phương trình có nghiệm

Giải.

Biến đổi phương trình thành

2$cos^{2}$x - (2m + 1)cos x + m = 0.

Đặt u = cosx, (-1 $\leq$ u $\leq$ 0) ta có

Từ u = $\large \frac{1}{2}$ nghiệm này không thỏa mãn vì -1 $\leq$ u $\leq$ 0

Do đó, để phương trình có nghiệm ta cần có

-1 $\leq$ m $\leq$ 0

lúc đó, nghiệm u = m sẽ cho ta nghiệm thỏa mãn yêu cầu.

Vậy giá trị của m phải tìm là : -1 $\leq$ m $\leq$ 0.

4.2. Phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx

Đó là phương trình có dạng a sin x + b cosx = c ($a^{2}$ + $b^{2}$ > 0).

Cách giải 1. Theo cách này, ta dùng cách biến đổi như 2.2.3 (trang 17) để đưa về phương trình cơ bản. Tóm tắt như sau:

Đặc biệt :

Cách giải 2. Với a $\neq$ 0, ta có

Đặt $\large \frac{b}{a}$ = tan $\varphi$, ta có

Cách giải 3. Với x $\neq$ (2k + 1)$\pi$ đặt t = tan$\large \frac{x}{2}$. Từ các công thức

ta đưa được phương trình đã cho về dạng(b + c)$t^{2}$ - 2at – b + c = 0.

Với x = (2k + 1)$\pi$ thử trực tiếp vào phương trình

Chú ý. Trong ba cách giải trên, ta thường sử dụng cách 1 hơn. Ngoài ra, nên để ý đến các bất đẳng thức

Khi các bất đẳng thức này không thỏa mãn, ta kết luận ngay rằng phương trình vô nghiệm mà không cần phải giải.

Ví dụ 24.

Giải phương trình sin x + $\sqrt{3}$ cosx = $\sqrt{2}$.

Giải.

Ví dụ 25.

Giải phương trình 2$\sqrt{2}$2 (sinx + cosx)cosx = 3 + cos2x.

Giải.

Phương trình đã cho tương đương với :

Điều kiện có nghiệm

Vậy phương trình vô nghiệm.

Ví dụ 26.

Tìm tập giá trị của hàm số

Giải.

Do cosx + 2 > 0 với mọi x nên hàm số có tập xác định là R. Xét phương trình

Ta có y là một giá trị của hàm số khi và chỉ khi phương trình trên có nghiệm, tức là

Vậy tập giá trị của hàm số là

Nhận xét. Cách làm như trên có thể áp dụng được cho lớp các hàm số có dạng

4.3. Phương trình thuần nhất bậc hai đối với sinx và cosx

Đó là phương trình có dạng

a $sin^{2}$ x + b sin x cos x + c $cos^{2}$ x = 0. (*)

Với a, c $\neq$ 0, để giải phương trình này, ta chia hai vế cho $cos^{2}$x hoặc $sin^{2}$x để đưa về phương trình bậc hai theo tanx hoặc cotx. Việc chia như thế không cần đặt điều kiện, vì từ phương trình, ta thấy ngay rằng không thể xảy ra trường hợp $cos^{2}$x = 0 hoặc $sin^{2}$ = 0.

Trường hợp đặc biệt, a = 0 hoặc c = 0, (*) có thể đưa được về phương trình tích. Chẳng hạn, khi a = 0, (*) trở thành

sin x(a sin x + b cos x) = 0.

Ví dụ 27.

Giải phương trình 4$sin^{2}$x - 5sinxcosx - 6$cos^{2}$x = 0.

Giải.

Đây là phương trình thuần nhất bậc hai đối với sinx và cosx. Chia hai vế cho $cos^{2}$x, ta được

4$tan^{2}$x - 5tanx - 6 = 0.

Phương trình này cho ta nghiệm tan x = 2, tanx = -$\large \frac{3}{4}$. Từ đó :

• Xét phương trình a $cos^{2}$ x + b $sin^{2}$ x + c sin x cos x = d.

Cách 1. Viết d = d($sin^{2}$x + $cos^{2}$x) rồi chuyển vế để đưa về phương trình thuần nhất bậc hai đối với sinx và cosx.

Cách 2. Thử với $cos^{2}$x = 0 ⇔ nếu nghiệm đúng phương trình thì nhận x = $\large \frac{\pi }{2}$ + k$\pi$ là nghiệm.

Với $cos^{2}$x $\neq$ 0, chia hai vế cho $cos^{2}$x và để ý ta được : và có phương trình bậc hai theo tanx: (b - d) $tan^{2}$x + c tan x + a - d = 0.

Cách 3. Áp dụng công thức hạ bậc, chuyển phương trình đã cho về dạng bậc nhất đối với sin2x và cos2x.

Ví dụ 28.

Giải phương trình 2$sin^{2}$x - 5sinxcosx - $cos^{2}$x = -2.

Hướng dẫn.

Cách 1. Ta có:

2 $sin^{2}$ x - 5 sin x cos x - $cos^{2}$ x = -2($sin^{2}$ x + $cos^{2}$ x)

4 $sin^{2}$ x - 5 sin x cos x + $cos^{2}$ x = 0.

Tiếp tục theo cách giải một phương trình thuần nhất bậc hai đối với sinx và cosx, để suy ra nghiệm.

Cách 2. Dùng các công thức hạ bậc và công thức nhân đôi để đưa về phương trình bậc nhất đối với sin2x và cos2x. Ta có :

Ví dụ 29.

Giải phương trình 2$sin^{2}$x + sin x cosx - $cos^{2}$x = 4.

Giải.

Phương trình vô nghiệm. Thật vậy, không cần giải, chỉ cần nhận xét rằng vế trái luôn nhỏ hơn 4.

4.4. Một số ví dụ khác

Trong nhiều trường hợp, ta cần vận dụng các công thức biến đổi để đưa về phương trình cơ bản. Đôi khi, ta xét điều kiện có nghiệm để thấy ngay rằng phương trình vô nghiệm.

Ví dụ 30.

Giả sử $\alpha$ là hằng số sao cho 0 < $\alpha$ < $\pi$ , hãy giải phương trình

x + $\large \frac{1}{x}$ = 2cos$\alpha$.

Giải.

Do 0 < $\alpha$ < $\pi$ nên -2 < 2cos$\alpha$ < 2.

Mặt khác, với mọi x $\neq$ 0 ta có:

Nên

Vậy phương trình x + $\large \frac{1}{x}$ = 2cos$\alpha$ vô nghiệm

Ví dụ 31.

Giải phương trình

Giải.

Ta có:

Ví dụ 32.

Giải phương trình lượng giác: tan x + tan2x = -sin3x cos2x.

Giải.

Phương trình tương đương: hay

Ta có (2) ⇔ sin3x [1 + $cos^{2}$2x.cosx] = 0.

* Trường hợp 1:

sin3x = 0 ⇔ x = $\large \frac{k\pi }{3}$ (chấp nhận, vì thoả (1))

* Trường hợp 2:

⇔ x = $\pi$ + k2$\pi$ (chấp nhận, vì thoả (1)).

Vậy phương trình đã cho có các nghiệm x = $\large \frac{k\pi }{3}$, với k $\in$ Z. (Họ nghiệm x = $\pi$ + k2$\pi$ nằm trong họ nghiệm x = $\large \frac{k\pi }{3}$)

BÀI TẬP

1.9. Giải phương trình 2sin(4x - $\large \frac{\pi }{3}$) - 1 = 0.

1.10. Giải phương trình $cot^{2}$3x - cot3x - 2 = 0.

1.11. Giải phương trình 9cos3x - 5sin3x = 2.

1.12. Giải phương trình sin2xsin5x = sin3xsin4x

1.13. Giải phương trình : cos2x – 4cosx + $\large \frac{5}{2}$ = 0.

1.14. Giải phương trình $cos^{2}$x - sinxcosx - 2$sin^{2}$x - 1 = 0.

1.15. Giải phương trình sin2x + 2tanx = 3.

1.16. Giải phương trình 4($sin^{4}$x + $cos^{4}$x) + $\sqrt{3}$sin 4x = 2.

1.17. Giải phương trình 1 + 3tanx = 2sin2x.

HƯỚNG DẪN GIẢI

1.9.