Các quy tắc tính xác suất

§5. CÁC QUY TẮC TÍNH XÁC SUẤT

5.1. Quy tắc cộng xác suất

a) Biến cố hợp: Hợp của hai biến cố A và B là biến cố C (còn gọi là tổng của hai biến cố), xảy ra khi có ít nhất một trong hai biến cố A hay B xảy ra. Kí hiệu C = A $\cup$ B (hay C = A + B). Khi đó :

$\Omega _{C}=\Omega _{A}\cup \Omega _{B}$

Tổng quát, giả sử $A_{1}$, $A_{2}$,..., $A_{n}$ là n biến cố cùng liên quan đến một phép thử, khi đó, hợp của n biến cố này là biến cố “có ít nhất một trong các biến cố $A_{1}$, $A_{2}$,..., $A_{n}$ xảy ra”, được kí hiệu là

$A_{1}$ $\cup$ $A_{2}$ $\cup$ ... $\cup$ $A_{n}$

b) Biến cố xung khắc: Hai biến cố được gọi là xung khắc nhau nếu chúng không thể đồng thời xảy ra trong một phép thử, nghĩa là $\Omega _{A}\cap \Omega _{B}=\varnothing$

c) Quy tắc cộng xác suất:

Nếu A và B là hai biến cố xung khắc thì

P(A $\cup$ B) = P(A) + P(B).

Tổng quát, nếu $A_{1}$, $A_{2}$,..., $A_{n}$ là n biến cố xung khắc nhau từng đôi một thì:

P($A_{1}$ $\cup$ $A_{2}$ $\cup$ ... $\cup$ $A_{n}$) = P($A_{1}$) + P($A_{2}$) +...+ P($A_{n}$).

d) Biến cố đối : Cho A là một biến cố. Khi đó, biến cố “không xảy ra A” được gọi là biến cố đối của A, kí hiệu $\bar{A}$. Ta có :

P($\bar{A}$) = 1 - P(A).

Ví dụ 36.

Gieo 3 lần liên tiếp một con xúc xắc.

a) Tính xác suất của biến cố "tổng số chấm xuất hiện không nhỏ hơn 16".

a) Tính xác suất của biến cố "tổng số chấm nhỏ hơn 16".

Giải.

a) Cách 1. "Tổng số chấm không nhỏ hơn 16" có nghĩa là "Tổng số chấm bằng 16, 17 hoặc bằng 18". Biến cố này xuất hiện theo 10 khả năng như sau:

Tổng số kết quả đồng khả năng là 6.6.6 = 216.

Vậy xác suất để "tổng số chấm không nhỏ hơn 16" là $\large \frac{5}{108}$

Cách 2. Gọi A là biến cố “tổng số chấm bằng 16”, B là biến cố “tổng số chấm bằng 17”, C là biến cố “tổng số chấm bằng 18”, D là biến cố “tổng số chấm không nhỏ hơn 16”. Ta có :

D = A $\cup$ B $\cup$ C, $\mid \Omega \mid$ = 6.6.6 = 216.

$\Omega _{A}$ = {(4, 6, 6), (6, 4, 6), (6, 6, 4), (5, 5, 6), (6, 5, 5), (5, 6,5)},

$\Omega _{B}$ = {(5,6,6), (6,5,6), (6, 6,5)},

$\Omega _{C}$ = {(6, 6, 6)}.

Từ đó, P(A) = $\large \frac{6}{216}$, P(B) = $\large \frac{3}{216}$, P(C) = $\large \frac{1}{216}$. Mặt khác, các biến cố A, B, C xung khắc nhau từng đôi một nên xác suất cần tìm là

b) Biến cố E: "tổng số chấm nhỏ hơn 16" là biến cố đối của biến cố D, do đó,

5.2. Quy tắc nhân xác suất

a) Biến cố giao: Giao của hai biến cố A và B là biến cố D (còn gọi là tích của A và B), xảy ra khi cả A và B cùng xảy ra. Kí hiệu D = A $\cap$ B hay D = AB. Ta cũng có $\Omega _{D}$ = $\Omega _{A}$ $\cap$ $\Omega _{B}$

Tổng quát, giả sử $A_{1}$, $A_{2}$,..., $A_{n}$ là n biến cố cùng liên quan đến một phép thử, khi đó, giao của n biến cố này là biến cố “tất cả các biến cố $A_{1}$, $A_{2}$,..., $A_{n}$ cùng xảy ra”, được kí hiệu là

$A_{1}$$A_{2}$...$A_{n}$, hay $A_{1}$ $\cap$ $A_{2}$ $\cap$ ... $\cap$ $A_{n}$

b) Biến cố độc lập: Hai biến cố A và B được gọi là độc lập nhau nếu sự kiện xảy ra hoặc không xảy ra của A không làm ảnh hưởng đến B, và ngược lại (việc biến cố B có xảy ra hay không xảy ra không ảnh hưởng đến việc xảy ra biến cố A).

c) Quy tắc nhân xác suất : Nếu hai biến cố A và B độc lập nhau thì ta có P(AB) = P(A).P(B).

Quy tắc trên có thể mở rộng cho một hệ tùy ý n biến cố độc lập nhau từng đôi một.

Ví dụ 37.

Gieo hai con xúc xắc một cách vô tư. Tính xác suất của biến cố "các mặt xuất hiện có số chấm bằng nhau".

Giải.

Cách 1. Tổng số kết quả đồng khả năng là 6.6 = 36. Tổng số kết quả thuận lợi cho biến cố "các mặt xuất hiện có số chấm bằng nhau" là 6, đó là sự xuất hiện:

(1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4), (5, 5), (6, 6).

Vậy xác suất cần tìm bằng $\large \frac{6}{36}$ = $\large \frac{1}{36}$

Cách 2. Tổng số kết quả đồng khả năng là 6.6 = 36.

Gọi A là biến cố "xuất hiện một mặt bất kì ở con xúc xắc thứ nhất", ta có P(A) = 1, vì A là biến cố chắc chắn.

Gọi B là biến cố "Xuất hiện ở con xúc xắc thứ hai một mặt giống mặt đã xuất hiện ở con xúc xắc thứ nhất", ta có P(B) = $\large \frac{1}{6}$

Như vậy, biến cố "các mặt xuất hiện có số chấm bằng nhau" là AB, hai biến cố A và B độc lập nên : Xác suất cần tìm bằng

P(A).P(B) = $\large \frac{1}{6}$

Ví dụ 38.

Hai người cùng bắn vào mục tiêu một cách độc lập nhau. Xác suất trúng đích của người thứ nhất là 0,6, của người thứ hai là 0,7. Tính xác suất để :

a) Cả hai người cùng bắn trúng mục tiêu.

b) Mục tiêu bị bắn trúng bởi ít nhất một người.

Giải.

a) Gọi $A_{1}$ là biến cố “người thứ nhất bắn trúng mục tiêu”, $A_{2}$ là biến cố “người thứ hai bắn trúng mục tiêu”, A là biến cố “cả hai người bắn trúng mục tiêu”. Ta có : A = $A_{1}A_{2}$, B = $A_{1}\cup A_{2}$

Do $A_{1}$, $A_{2}$ độc lập nhau nên:

P(A) = P($A_{1}$).P($A_{2}$) = 0,6.0,7 = 0,42.

b) Gọi B là biến cố “mục tiêu bị bắn trúng bởi ít nhất một người”. Như vậy $\bar{B}$ là biến cố “cả hai người đều bắn không trúng mục tiêu”. Do đó, $\bar{B}$ = $\bar{A_{1}}$.$\bar{A_{2}}$ . Do $\bar{A_{1}}$, $\bar{A_{2}}$ độc lập nhau nên:

P($\bar{B}$) = P($\bar{A_{1}}$).P($\bar{A_{2}}$) = (1 – P(A))(1 – P(B))

= 0,4.0,3 = 0,012.

Từ đó suy ra P(B) = 1 - P($\bar{B}$) = 0,88.

Nhận xét.

Học sinh dễ nhầm lẫn khi viết : B = $A_{1}\cup A_{2}$. Nên nhớ rằng $A_{1}$, $A_{2}$ độc lập nhau, nhưng chúng không xung khắc nhau.

Ví dụ 39.

Gieo ngẫu nhiên đồng thời 4 đồng xu. Tính xác suất để được ít nhất hai đồng xu lật ngửa.

Giải.

Cách 1. Gọi A là biến cố “ít nhất hai đồng xu lật ngửa”. Khi đó, A sẽ là hợp của các biến cố B, C, D sau đây:

B: “Có đúng hai đồng xu lật ngửa”;

C: “Có đúng ba đồng xu lật ngửa”;

D: “Có đúng bốn đồng xu lật ngửa”.

Không gian mẫu có số phần tử là 2.2.2.2 = 16.

Xét biến cố B. B xảy ra khi có hai đồng xu ngửa, còn hai đồng xu sấp thì được phân tùy ý vào 4 vị trí. Do vậy, số kết quả thuận lợi cho biến cố B là Suy ra

Xét biến cố C. C xảy ra khi có ba đồng xu ngửa, còn một đồng xu sấp thì được phân tùy ý vào 4 vị trí. Do vậy, số kết quả thuận lợi cho biến cố C là $A_{4}^{1}$ = 4. Suy ra P(C) = $\large \frac{4}{16}$

Xét biến cố D. Rõ ràng chỉ có 1 kết quả thuận lợi cho D. Suy ra P(D) = $\large \frac{1}{16}$

Hơn nữa, B, C và D xung khắc nhau từng đôi một nên,

Cách 2. Gọi A là biến cố "ít nhất hai đồng xu lật ngửa”.

Khi đó, $\bar{A}$ là biến cố “có 0 hoặc chỉ 1 đồng xu lật ngửa”. $\bar{A}$ sẽ là hợp của hai biến cố E, F sau đây:

E: “Không có đồng xu nào lật ngửa”;

F: “Có đúng một đồng xu lật ngửa”.

Không gian mẫu có số phần tử là 2.2.2.2 = 16.

Biến cố E xảy ra khi cả bốn đồng xu đều sấp, nên P(E) = $\large \frac{1}{16}$.

Xét biến cố F. F xảy ra khi có một đồng xu ngửa, còn ba đồng xu sấp thì được phân tùy ý vào 4 vị trí. Do vậy, số kết quả thuận lợi cho biến cố F là Suy ra P(B) = $\large \frac{4}{16}$.

Hơn nữa, E và F xung khắc nhau nên

Sau cùng, ta được P(A) = 1 - P($\bar{A}$) = $\large \frac{11}{16}$

BÀI TẬP

2.34. Hai người cùng bắn, mỗi người bắn một phát vào cùng một mục tiêu. Gọi $A_{1}$ là biến cố người thứ nhất bắn trúng mục tiêu, $A_{2}$ là biến cố người thứ hai bắn trúng mục tiêu. Hãy diễn tả bằng lời các biến cố $A_{1}$ $\cup$ $A_{2}$, $A_{1}$ $\cap$ $A_{2}$, $A_{1}$ $\cap$ $\bar{A_{2}}$, ($A_{1}$ $\cap$ $\bar{A_{2}}$) $\cup$ ($\bar{A_{1}}$ $\cap$ $A_{2}$)

2.35. Gieo ngẫu nhiên một con xúc xắc 6 lần. Tính xác suất để được một số lớn hơn hay bằng 5 chấm xuất hiện ít nhất 5 lần trong 6 lần gieo đó.

HƯỚNG DẪN GIẢI

2.34.

$A_{1}\cup A_{2}$ là biến cố “có ít nhất một người bắn trúng”.

$A_{1}\cap A_{2}$ là biến cố “cả hai người bắn trúng mục tiêu”.

$\overline{A_{1}\cup A_{2}}$ = $\bar{A_{1}}\cap \bar{A_{2}}$ là biến cố “cả hai đều không bắn trúng”.

$A_{1}\cap \bar{A_{2}}$ là biến cố “chỉ có người thứ nhất bắn trúng”.

($A_{1}\cap \bar{A_{2}}$) $\cup$ ($\bar{A_{1}}\cap A_{2}$) là biến cố “chỉ có một người bắn trúng”.

2.35. Gọi A là biến cố được một số lớn hơn hay bằng 5 chấm trong mỗi lần gieo. Như vậy, để A xảy ra, con xúc xắc xuất hiện mặt 5 chấm hoặc 6 chấm. Ta có Trong 6 lần gieo, xác suất để biến cố A xảy ra đúng 6 lần là