§2. MỘT SỐ BÀI TOÁN KHÓ VỀ DÃY SỐ VÀ CẤP SỐ

2.1. Biểu diễn số hạng tổng quát của dãy số

Ví dụ 5.

Dãy số $u_{1}$, $u_{2}$, ... $u_{n}$, ... có các số hạng thỏa mãn đẳng thức

$u_{n+1}$ = a$u_{n}$ + b, (n $\geq$ 1).

a) Hãy biểu diễn số hạng tổng quát $u_{n}$ qua $u_{1}$, a, b và n.

b) Tính tổng n số hạng đầu tiên của dãy số đó.

Giải.

a) Từ điều kiện của bài ra ta có: $u_{n+1}$ - $u_{n}$ = a($u_{n}$ - $u_{n-1}$).

Như vậy, nếu đặt $v_{n}$ = $u_{n+1}$ - $u_{n}$ thì ta có dãy {$v_{n}$} có tính chất $v_{n}$ = a.$v_{n-1}$ và $v_{1}$ = (a - 1)$u_{1}$ + b, tức là {$v_{n}$} lập thành 1 cấp số nhân có công bội q = a. Do đó $v_{n}$ = $v_{1}a^{n-1}$.

Trở lại dãy {$u_{n}$} ta có:

b) Tổng $S_{n}$ = $u_{1}$ + $u_{2}$ + ... + $u_{n}$ được tính như sau:

Nếu a = 1 thì

Nếu a $\neq$ 1 thì

Chú ý. Nếu a = 1 thì dãy $u_{n}$ là cấp số cộng có công sai d = b.

Rõ ràng là

Nếu b = 0 thì dãy $u_{n}$ là cấp số nhân có công bội q = a. Khi đó

Ví dụ 6.

Dãy số $u_{1}$, $u_{2}$, ... $u_{n}$, .., được xác định như sau: $u_{1}$ = 4, $u_{2}$ = 26, $u_{3}$ = 74 và với n $\geq$ 1 thì

Hãy tìm $u_{n}$.

Giải.

Đặt $u_{n}$ = $v_{n}$ + a$n^{3}$ + b$n^{2}$ + cn, ta có:

Ta chọn a, b, c sao cho:

tức là a = 1, b = 2, c = 5. Khi đó

Xét phương trình $X^{3}$ - 6$X^{2}$ + 11X - 6 = 0. Nó có các nghiệm là $X_{1}$ = 1, $X_{2}$ = 2, $X_{3}$ = 3. Đặt trong đó $c_{1}$, $c_{2}$, $c_{3}$ được xác định bởi hệ sau:

Từ đó $c_{1}$ = - 5, $c_{2}$ = -1, $c_{3}$ = 1.

Vậy :

2.2. Cấp số cộng, cấp số nhân

Ví dụ 7.

Cho một cấp số nhân với công bội là một số nguyên khác và 0. Chứng minh rằng, tổng của hai (hay một số lớn hơn) các số hạng chọn tuỳ ý của nó không thể bằng số hạng nào của cấp số đó.

Giải.

Mỗi số hạng của cấp số nhân được viết dưới dạng a$q^{n}$, (n $\geq$ 0), trong đó a là số hạng đầu tiên và q là công bội. Giả sử trái với điều khẳng định của bài toán là tồn tại các số nguyên không âm $k_{1}$, $k_{2}$, ..., $k_{m+1}$, sao cho:

Ta sắp xếp các số $k_{1}$, $k_{2}$, ..., $k_{m}$ theo thứ tự tăng dần:

Sau đó, ta biến đổi biểu thức (1) về dạng:

Từ đó ta có:

Vì q là số nguyên nên vế trái của (4) chia hết cho số nguyên nghĩa là 1 chia hết cho q. Điều đó chứng tỏ Điều này trái với giả thiết nên không tồn tại các số $k_{1}$, $k_{2}$, ..., $k_{m}$ thỏa mãn (1). Bài toán được chứng minh.

Ví dụ 8.

Số hạng thứ nhất và công sai d (d $\neq$ 0) của cấp số cộng là những số nguyên. Chứng minh rằng, tồn tại một số hạng của cấp số sao cho trong dạng thập phân của nó có chữ số 9.

Giải.

Mỗi số hạng của cấp số cộng được viết dưới dạng

$u_{1}$ + (n - 1)d,

trong đó $u_{1}$ là số hạng đầu tiên, d là công sai. Vì không cần quan tâm đến dấu của các số hạng nên ta giả thiết thêm d > 0.

Xét d số có dạng sau:

Trong d số này hoặc có số chia hết cho d, hoặc có 2 số khi chia cho d có cùng số dư. Nghĩa là ta luôn có số dạng:

Giả sử $u_{1}$ là số nguyên có n chữ số. Khi đó trong cấp số cộng có số hạng 99...900...0 (k + n số 0) mà trong cách biểu diễn thập phân của nó có chữ số 9.