Các quy tắc tính đạo hàm

§2. CÁC QUY TẮC TÍNH ĐẠO HÀM

2.1. Đạo hàm của tổng, hiệu, tích, thương các hàm số

2.1.1 Định lí. Nếu các hàm số u = u(x), v = v(x) có đạo hàm tại một điểm x', thì tổng (hiệu) của chúng cũng có đạo hàm tại điểm đó và

(u + v)' = u' + v',

(u - v)' = u'- v'.

Công thức mở rộng:

2.1.2. Định lí. Nếu các hàm số u = u(x), v = v(x) có đạo hàm tại điểm x, thì tích của chúng cũng có đạo hàm tại điểm đó và

(uv)' = u'v + uv'.

Hệ quả. Nếu k là một hằng số thì (ku)' = ku'.

Chú ý. Ta dễ dàng chứng minh được công thức suy rộng

(uvw)' = u'vw + uv'w + uvw'.

2.1.3. Định lí. Nếu các hàm số u = u(x), v = v(x) có đạo hàm tại điểm x, và v(x) $\neq$ 0 thì thương $\large \frac{u}{v}$ của chúng cũng có đạo hàm tại điểm đó và ta có :

Hệ quả.

b) Giả sử n là một số nguyên âm. Khi đó n = -m, m $\in$ N. Áp dụng quy tắc trên và kết quả ở định lí 1.4, với giả thiết x $\neq$ 0, ta được

Tóm lại, với mọi số nguyên n và mọi số thực x (x $\neq$ 0 khi n < 0), ta có công thức :

Ví dụ 7.

Cho hàm số : (m là tham số). Tính đạo hàm của hàm số.

Giải

Ví dụ 8.

Tính đạo hàm của các hàm số :

Giải.

Ví dụ 9.

Cho f(x) = a$x^{2}$ + bx + c thỏa mãn điều kiện:

Chứng minh rằng f'(0) $\leq$ 8.

Giải.

Do f'(x)= 2ax + b nên f'(0) = b. Như thế, bài toán sẽ giải xong nếu ta chứng minh được rằng b $\leq$ 8. Điều kiện đã cho có nghĩa :

Từ (*), lần lượt cho x nhận những giá trị 0, 1, $\large \frac{1}{2}$ ta được:

Cộng (1), (2), (3) vế theo vế ta có -8 $\leq$ b $\leq$ 8, suy ra điều phải chứng minh.

2.2. Đạo hàm của hàm hợp

2.2.1. Định nghĩa hàm số hợp

Xét hai hàm số

Giả sử hàm số u = g(x) lấy các giá trị nằm trong khoảng (c ; d). Khi đó với mỗi x $\in$ (a ; b) tương ứng một giá trị duy nhất u = g(x) $\in$ (c; d), và với giá trị này của u lại tương ứng một giá trị duy nhất y = f(u). Vậy ta có thể định nghĩa một hàm số y của x, xác định trên khoảng (a; b) như sau : x $\mapsto$ y = f(u). Hàm số y xác định như vậy được gọi là hàm số hợp của x qua hàm số trung gian u = g(x), và được kí hiệu là

y = f(g(x)).

Có thể nói ngắn gọn : Cho y là hàm số của u, và u là hàm số của x thì y là hàm số hợp của x qua hàm số trung gian u.

Ví dụ 10.

a) Xét hàm số Đặt ta có y = $u^{2}$. Như vậy hàm số là hàm số hợp của x qua hàm số trung gian

b) Xét hàm số Đặt u = 3$x^{2}$ - 7 ta có y = $\sqrt[4]{u}$. Ta phải có tức là phải có

Như vậy hàm số là hàm số hợp của

qua hàm số trung gian u = 3$x^{2}$ – 7.

c) Xét hàm số thì ta có y = tanv. Vậy y là hàm số hợp của x qua các hàm số trung gian v = $u^{3}$ và u = $x^{2}$ - 1.

2.2.2. Đạo hàm của hàm số hợp

Định lí. Nếu hàm số u = g(x) có đạo hàm theo x kí hiệu là $u'_{x}$ và hàm số y = f(u) có đạo hàm theo u kí hiệu là $y'_{u}$ thì hàm số hợp y = f(g(x)) có đạo hàm theo x kí hiệu là $y'_{x}$ và ta có

$y'_{x}$ = $y'_{u}$.$u'_{x}$.

Ví dụ 11.

Tính đạo hàm của hàm số