§3. CẤP SỐ CỘNG
3.1. Định nghĩa
Dãy số $u_{1}$, $u_{2}$, $u_{3}$, ... được gọi là cấp số cộng với công sai d nếu như $u_{n}$ = $u_{n-1}$ + d với mọi n = 2, 3, ...
3.2. Tính chất
1) Nếu dãy số $u_{1}$, $u_{2}$, $u_{3}$, ... là cấp số cộng với công sai d thì .png)
với mọi k = 2, 3, ...
2) Nếu dãy số $u_{1}$, $u_{2}$, $u_{3}$, ... là cấp số cộng với công sai d thì nó có số hạng tổng quát là $u_{n}$ = $u_{1}$ + (n - 1)d với mọi k = 2, 3, ...
3) Nếu dãy số $u_{1}$, $u_{2}$, $u_{3}$,...,$u_{n}$ là cấp số cộng thì
.png)
với mọi k = 2, 3, ..., n - 1
4) Tổng của n số hạng đầu tiên trong một cấp số cộng là
.png)
Đọc thêm
Công thức 2) nói trên, ta thường thấy học sinh bậc Tiểu học và THCS sử dụng để tính tổng một dãy số tự nhiên liên tiếp hoặc một dãy số cách đều. Một câu chuyện kể rằng Carl Friedrich Gauss đã tìm ra cách này khi học Tiểu học để trả lời thầy giáo khi tính tổng của 100 số nguyên dương đầu tiên (5050).
Nhà Toán học Carl Friedrich Gauss sinh ngày 30 tháng 4, 1777, mất đi ngày 23 tháng 2, 1855. Ông là một nhà toán học và nhà khoa học người Đức tài năng, người đã có nhiều đóng góp lớn cho các lĩnh vực khoa học, như Lí thuyết số, Giải tích, Hình học vi phân, Khoa trắc địa, Từ học, Thiên văn học và Quang học. Ông được xếp ngang hàng cùng Leonard Euler, Isaac Newton và Archimedes, như là những nhà toán học vĩ đại nhất của lịch sử.
Ví dụ 10.
Cho cấp số cộng có tổng 10 số hạng đầu tiên và 100 số hạng đầu tiên là $S_{10}$ = 100, $S_{100}$ = 10. Tính tổng của 110 số hạng đầu tiên.
Giải.
Sử dụng công thức tổng n số hạng đầu của cấp số cộng:
2$S_{n}$ = n[2a + (n − 1)d],
với a là số hạng đầu và d là công sai, ta được:
200 = 10(2a + 9d) (1)
20 = 100(2a + 99d) (2)
Giá trị cần tìm là .png)
Từ (1) và (2) ta có
180 = -180a - 9810d ⇔ -2 = 2a + 109d.
Suy ra: $S_{110}$ = 55.(-2) = -110.
Ví dụ 11.
Ba cạnh một tam giác vuông có độ dài là các số nguyên dương lập thành một cấp số cộng. Hãy chỉ ra độ dài ba cạnh các tam giác như thế.
Giải.
Gọi độ dài ba cạnh là a - d, a, a + d. Định lý Pi-ta-go cho ta :
$(a-d)^{2}$ + $a^{2}$ = $(a+d)^{2}$ ⇔ a (a - 4d) = 0 ⇔ a = 4d.
(Để ý a > 0). Do đó độ dài các cạnh là 3d, 4d, 5d, là những số chia hết cho 3, 4, 5.
Vậy tam giác vuông có độ dài là các số nguyên dương lập thành một cấp số cộng sẽ có độ dài có dạng 3d, 4d, 5d, trong đó d là số nguyên dương bất kì.
Ví dụ 12.
Hãy chứng minh rằng trong một tam giác ABC, nếu cotA, cotB, cotC theo thứ tự tạo thành một cấp số cộng thì $a^{2}$, $b^{2}$, $c^{2}$ cũng tạo thành một cấp số cộng.
Giải.
Áp dụng định lí hàm số cosin và hàm số sin ta có
.png)
Nếu cotgA, cotgB, cotgC theo thứ tự tạo thành một cấp số cộng thì
cotgA + cotgC = 2 cotgB
.png)
Ví dụ 13.
Cho tam giác ABC có tanA, tanB, tanC theo thứ tự lập thành một cấp số cộng. Tìm giá trị nhỏ nhất của góc B.
Giải.
Vì tanA, tang, tanC theo thứ tự lập thành cấp số cộng nên:
2tanB = tanA + tanC
.png)
.png)
Dấu "=" xảy ra khi cos(A – C) = 1 ⇔ A = B = C, do đó:
.png)
Trong khoảng (0,$\pi$) hàm số cosin luôn luôn giảm nên góc B nhỏ nhất khi cosB lớn nhất. Vậy .png)
khi đó, ABC là tam giác đều.
Ví dụ 14.
Cho p là một số nguyên dương từ 1 đến 10. Gọi $S_{p}$ là tổng 40 số hạng đầu tiên của cấp số cộng mà số hạng đầu là p và công sai là 2p - 1. Hãy tính $S_{1}$ + $S_{2}$ + ... + $S_{10}$.
Giải
.png)
Ví dụ 15.
a) Tìm 3 hệ số đầu trong khai triển của nhị thức Niutơn
.png)
b) Xác định số mũ n, biết rằng ba hệ số nói trên lập thành một cấp số cộng theo thứ tự đó.
Giải.
a) Số hạng thứ nhất của khai triển .png)
là
.png)
Vậy hệ số đầu là 1.
Số hạng thứ hai là
.png)
Vậy hệ số thứ hai là $\large \frac{n}{2}$
Số hạng thứ ba là
.png)
Vậy hệ số thứ ba là: .png)
b) Theo tính chất các số hạng của cấp số cộng, ta có
.png)
hay (n - 8)(n - 1) = 0.
Vì n $\geq$ 2 nên ta có n = 8.
Vậy số mũ trong nhị thức nói trên là 8.
BÀI TẬP
3.4. Cho một cấp số cộng hữu hạn. Biết rằng số các số hạng của nó là một là chẵn. Tổng các số hạng thứ lẻ và các số hạng thứ chẵn lần lượt là 24 và 30. Biết số hạng cuối lớn hơn số hạng đầu là 10,5. Hãy tìm số các số hạng của cấp số cộng đó.
3.5. Biết $C_{n}^{1}$, $C_{n}^{2}$, $C_{n}^{3}$ lập thành một cấp số cộng với n > 3. Hỏi số n bằng bao nhiêu ?
3.6. (Thi vào ĐHGTVT, khu vực 2, 2000).
Cho A, B, C là 3 góc của một tam giác. Chứng minh rằng nếu .png)
theo thứ tự tạo thành một cấp số cộng thì
.png)
3.7. Cho đa giác lồi có góc nhỏ nhất bằng 100° và góc lớn nhất bằng 140°. Tìm số cạnh của đa giác này, biết rằng các góc của chúng lập thành một cấp số cộng.
3.8. Gọi $a_{1}$, $a_{2}$, ... và $b_{1}$, $b_{2}$, ... là các cấp số cộng sao cho
$a_{1}$ = 25, $b_{1}$ = 75 và $a_{100}$ + $b_{100}$ = 100.
a) Chứng minh dãy $a_{1}$ + $b_{1}$, $a_{2}$ + $b_{2}$,... cũng là cấp số cộng
b) Tìm tổng của 100 số hạng đầu tiên của cấp số cộng nói ở câu a).
3.9. Gieo ngẫu nhiên đồng thời ba con xúc xắc (tất cả mặt đều có cùng khả năng xuất hiện). Tìm xác suất để ba số hiện ra có thể sắp xếp để tạo thành một cấp số cộng với công sai là 2.
3.10. Giả sử x $\neq$ y và hai dãy số x, $a_{1}$, $a_{2}$, y và x, $b_{1}$, $b_{2}$, $b_{3}$, y đều là cấp số cộng. Tính
.png)
HƯỚNG DẪN GIẢI
3.4. Gọi d và 2n là công sai và số các số hạng của cấp số cộng đã cho. Gọi $S_{0}$ và $S_{1}$ lần lượt là tổng số các số hạng chẵn và số hạng lẻ. Ta có $S_{0}$ - $S_{1}$ = nd vì hiệu số mỗi số hạng thứ chẵn n số hạng thứ lẻ đứng trước nó đều là d. Hơn nữa hiệu số giữa số hạng đầu và số hạng cuối là (2n – 1)d. Do đó, ta có:
nd = 30 – 24 = 6 và (2n - 1)d = 10,5
Suy ra : d = 2nd – 10,5 = 12 – 10,5 = 1,5 và
n = $\large \frac{6}{1,5}$ = 4 hay 2n = 8.
Vậy số các số hạng của cấp số cộng đã cho là 8.
3.5. Điều kiện : n $\in$ $Z^{+}$ và n > 3. Ta có :
.png)
Vậy đáp số cho bài toán là n = 7.
3.6. Theo giả thiết, .png)
tạo thành một cấp số cộng, suy ra .png)
hay
.png)
.png)
Chia 2 vế cho sinAsinC ta có:
.png)
3.7. Gọi n là số cạnh đa giác, tổng số đo các góc (S) là tổng n số hạng của một cấp số cộng, số hạng đầu 100°, số hạng cuối 140°.
Do đó ta có: .png)
Mặt khác tổng các góc một đa giác có n cạnh là (n - 2)180°, do đó ta có phương trình :
120n = (n – 2) 180 ⇔ n = 6.
Vậy đa giác lồi đã cho có 6 cạnh.
3.8. Gọi $d_{1}$, $d_{2}$ là công sai của các cấp số cộng $a_{1}$, $a_{2}$, ... và $b_{1}$, $b_{2}$ ... . Khi đó :
.png)
suy ra
.png)
Vậy dãy $a_{1}$ + $b_{1}$, $a_{2}$ + $b_{2}$,... cũng là cấp số cộng với công sai $d_{1}$ + $d_{2}$.
Từ đó ta có
.png)
Suy ra tổng cần tìm là :
.png)
3.9. Gọi A là biến cố “ba số hiện ra có thể sắp xếp để tạo thành một cấp số cộng với công sai là 2”. Các kết quả thuận lợi cho A là các hoán vị của
(1, 3, 5), (2, 4, 6).
Có tất cả 3!.2 = 12 hoán vị như thế. Vậy xác suất cần tìm là
.png)
3.10. Ta có $a_{2}$ - $a_{1}$, là công sai của cấp số cộng thứ nhất, do đó
y - x = 3($a_{2}$ - $a_{1}$).
Tương tự, $b_{2}$ - $b_{1}$, là công sai của cấp số cộng thứ hai, do đó :
y - x = 4($b_{2}$ - $b_{1}$).
Suy ra: .png)